高职院校家庭经济困难学生资助

浅谈导数的应用浅谈导数的应用 公主岭市第三高级学数学组公主岭市第三高级学数学组 张鹤张鹤 摘要 导数的广泛应用 为我们解决函数问题提供了有力的工具 用导数 可以解决函数中的最值问题 不等式问题 还可以解析几何相联系 可以在知识的 网络交汇处设计问题 因此 在教学中 要突出导数的应用 关键词 导数 应用 函数 不等式 导数是近代数学的重要基础 是联系初 高等数学的纽带 它的引入为解 决中学数学问题提供了新的视野 是研究函数性质 证明不等式 探求函数的 极值最值 求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具 本文拟就导数 的应用 谈一点个人的感悟和体会 1 以导数概念为载体处理函数图象问题函数图象直观地反映了两个变量之 间的变化规律 由于受作图的局限性 这种规律的揭示有时往往不尽人意 导数 概念的建立拓展了应用图象解题的空间 例 1 2007 浙江卷 设 是函数 f x 的导函数 将 y f x f x 和的图象 画在同一个直角坐标系中 不可能正确的是 D 例 2 2005 江西卷 已知函数 y xf x 的图象如右图所示 其中 f x 是函数 f x 的导函数 下面四个图象中 y f x 的图象大致是 C 分析 由图象知 f 1 f 1 0 所以 x 1 是函数 f x 的极值点 又 因为在 1 0 上 f x 0 因此在 1 1 上 f x 单调递 减 故选 C 2 以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究 导数作为强有力 的工具提供了简单 程序化的方法 具有普遍的可操作方法 例 3 已知 f x x3 bx2 cx d 是定义在 R 上的函数 其图象交 x 轴于 A B C 三点 点 B 的坐标为 2 0 且 f x 在 1 0 和 0 2 有相反的单调性 求 C 的值 若函数 f x 在 0 2 和 4 5 也有相反的单调性 f x 的图象 上是否存在一点 M 使得 f x 在点 M 的切线斜率为 3b 若存在 求出 M 点的坐 标 若不存在 说明理由 分析 f x 3x2 2bx c f x 在 1 0 和 0 2 有相反的单调性 x 0 是 f x 的一个极值点 故 f 0 0 c 0 令 f x 0 得 3x2 2bx 0 x1 0 x2 因为 f x 在 0 2 和 4 5 有相反的单调性 f x 在 0 2 和 4 5 有相反的符号 故 2 2b3 4 6 b 3 假设存在点 M x0 y0 使得 f x 在点 M 的切线斜率为 3b 则 f x0 3b 即 3x02 2bx0 3b 0 4b2 4 3 3b 4b b 9 而 f x0 3b 0 0 使得 ex0 x0 1 a x022 ex0 成立 如果存在 求出符合条件的一个 x0 否则说明理由 分析 1 证明 在 x 0 时 要使 ex x 1 ax2e x 2 成立 只需证 ex a2x2ex x 1 即需证 1 a2x2 x 1ex 令 y x a2x2 x 1ex 求导数 y x ax 1 ex x 1 ex ex 2 ax xex y x x a 1ex 又 a 1 求 x 0 故 y x 0 f x 为增函数 故 f x y 0 1 从而 式得证 在时 x 0 时 要使 ex x 1 ax2e x 2 成立 只需证 ex a2x2ex x 1 即需证 1 ax22e 2x x 1 e x 令 m x ax22e 2x x 1 e x 求导数得 m x xe 2x ex a x 1 而 x ex a x 1 在 x 0 时为增函数 故 x 0 1 a 0 从而 m x 0 m x 在 x 0 时为减函数 则 m x m 0 1 从而 式得证 由于 讨论可知 原不等式 ex x 1 ax2e x 2 在 a 1 时 恒成立 2 解 ex0 x0 1 a x02 x 2ex0 将 变形为 ax022 x0 1ex0 10 使 式成立 只需找到函 t x ax22 x 1ex 1 的最小值 满足 t x min 0 即可 对 t x 求导数 t x x a 1ex 令 t x 0 得 ex 1a 则 x lna 取 X0 lna 在 0 x lna 时 t x lna 时 t x 0 t x 在 x lna 时 取得最小值 t x0 a2 lna 2 a lna 1 1 下面只需证明 a2 lna 2 alna a 1 0 在 0 a 1 时成立即可 又令 p a a2 lna 2 alna a 1 对 p a 关于 a 求导数 则 p a 12 lna 2 0 从而 p a 为增函数 则 p a p 1 0 从而 a2 lna 2 alna a 1 0 得证 于是 t x 的最小值 t lna 0 因此可找到一个常数 x0 lna 0 a0 h x 为增函数 1 x1 时 h x 0 h x 为减函数 故 x 1 时 h x 取极大值 ln2 x 0 时 h x 取极小值 12 因此当 k ln2 原方程无解 当 k ln2 时 原方程有两解 当 12 k ln2 时 原方程有四解 当 k 12 时 原方程有三解 当 k0 的两个极值点 1 若 x1 1 x2 2 求函数 f x 的解析式 2 若 x1 x2 22 求 f x 的最大值 分析 1 f x ax3 bx2 a2x a 0 f x ax3 bx2 a2x a 0 依题意有 f 1 0 f 2 0 3a 2b a2 0 12a 4b a2 0 解得 a 6 b 9 f x 6x2 9x2 36x 2 f x 3ax2 2bx a2 a 0 依题意 x1 x2 是方程 f x 0 的两个根 且 x1 x2 22 x1 x2 2 2x1x2 x1 x2 8 2b3a 2 a3 2 a3 8 b2 3a2 6 a b2 0 00 得 0 a0 得 a 4 即 函数 p a 在区间 0 4 上是增函数 在区间 4 6 上是减函数 当 a 4 时 p a 有极