0348《数理统计》【随堂练习】(3)

0348 数理统计 随堂练习 3 2010 12 19 08 30 00 09 50 00 1 设总体设总体 服从参数为服从参数为 N p 的二项分布 其中 N p 为未知参数 为来 自总体 的一个样本 求 N p 的矩法估计 答 答 1 因为 只需以 分 别代 解方程组得 2 设总体设总体 服从服从 a b 上上的均匀分布其中 a b 为两个未知参数 样本 来自总体 求未知参数 a b 的矩法估计 答 答 2 由 服从 a b 上的均匀分布 易知 为求 a b 的矩法估计量只需解方程组 得 3 设连续型总设连续型总体 的概率密度为 来自总体 的一个样本 求未知参数 的极大似然估计量 并讨论 的无偏性 答 答 3 似然函数为 其中 因此 的极大似然估计量 是 的无偏估计量 4 设总体设总体 的概率的概率密度为 其中 为未知参数 样本 来自总体 求未知参数 的矩法估计与极大似然估计 答 答 4 首先求数学期望 从而解方程 得 的矩法估计为 似然函数为 令 解得 的极大似然估计为 5 设设 是是取自正态总体 的一个容量为的样本 试证下列三个估计量都是 的无偏估计量 并指出其中哪一个方差较小 答 答 5 由于 且 独立 故有 故它们均为 的无偏估计 又由于 1 2 5 9 5 8 所以第三个估计量的方差最小 6 设设 是取是取自正态总体 的一个样本 试证 是 的相合估计 答 答 6 由于 服从自由度为 n 1 的 分布 故 从而根据车贝晓夫不等式有 所以是 是 的相合估计 7 设设 是取是取自具有下列指数分布的一个样本 证明 是 的无偏 相合 有效估计 答 答 7 首先由于 故 即样本均值是 的无偏估计 又 故 C R 下界为 因此样本均值是 的有效估计 另外由车贝晓夫不等式 所以样本均值还是 的相合估计 8 设设 是独立是独立同分布随机变量都服从几何分布 则 是 的充分统计量 答 答 8 由于 的联合密度函数为 则由因子分解定理知 是 的充分统计量 9 设设 是独是独立同分布随机变量 其分布是均匀分布 其密度函 数 试证 1 是 的无偏估计 2 是 的 UMVUE 答 答 9 1 由 知 是 的无偏估计 2 则由因子分解定理知 是 的充分统计量 其密度函数为 又若 则 即 两边对 求导得 故 所以 是完备充分统计量 由此得出 是 的 UMVUE 10 随机地从一批钉子随机地从一批钉子中抽取 16 枚 测得其长度 以厘米计 为 2 14 2 10 2 13 2 15 2 13 2 12 2 13 2 10 2 15 2 12 2 14 2 10 2 13 2 11 2 14 2 11 设钉长服从正态 分布 试求总体均值 的 0 9 的置信区间 1 若已知 0 01 厘米 2 若 未知 答 答 10 1 置信度 0 9 即 0 1 查正态分布数值表 知 即 所以总体均值 的 0 9 的置信区间为 2 未知 置信度 0 9 即 0 1 自由度 n 1 15 查 t 分布的临界值表 所以置信度为 0 9 的 的置信区间是 11 某农场为了试验磷某农场为了试验磷肥与氮肥是否提高水稻收获量 任选试验田 18 块 每块面积 1 20 亩进行试验 试验结果 不施肥的 10 块试验田的收获量分别为 8 6 7 9 9 3 10 7 11 2 11 4 9 8 9 5 10 1 8 5 单位 市斤 其余 8 块试验田在 插种前施加磷肥 播种后又追施三次氮肥 其收获量分别为 12 6 10 2 11 7 12 3 11 1 10 5 10 6 12 2 假定施肥与不施肥的收获量都服从正态 分布 且方差相等 试在置信概率 0 95 下 求每 1 20 亩的水稻平均收获量施肥比不施肥 增产的幅度 答 答 11 设正态总体 分别表示施肥和不施肥的每 1 20 亩的水稻收获量 据题意 有 对 1 0 95 即 0 05 查 t 分布表 自由度为 n m 2 16 得 于是 所以在置信概率 0 95 下 求每 1 20 亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产 0 6 到 2 8 市 斤 12 岩石密度的测岩石密度的测量误差服从正态分布 随机抽测 12 个样品 得 S 0 2 求 的置信区 间 0 1 答 答 12 n 12 0 10 s 0 2 查 分布表 自由度为 n 1 11 得 因此 所以 的置信区间为 0 022335 0 09628 13 随机地取某种炮弹随机地取某种炮弹 9 发做试验 得炮口速度的样本标准差为 11 米 秒 设炮口速度 服从正态分布 求这种炮弹速度的标准差 的 0 9 的置信区间 答 答 13 求方差的置信区间 S 11 置信度 0 9 即 0 1 自由度 n 1 8 查 分布的临界值表 得 所以 置信度为 0 9 的炮口速度的标准差 的置信区间是 14 设设 A B 二化验员独二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了 10 次测定 其测 量值的修正方差分别为 设 和 分别为所测量的数据 总体 设为正态总体 的方差 求方差比 的 0 95 的置信区间 答 答 14 1 0 95 0 05 故方差比 的 0 95 的置信区间为 0 222 3 601 15 设总体设总体 服从均服从均匀分布 U 0 其中 为未知参数 样本 来自总体 试在置信概率 1 下