§8平面直角坐标系及函数有关概念

8 平面直角坐标系及函数有关概念平面直角坐标系及函数有关概念 一 基本知识点 1 象限及坐标轴上点的坐标特征 2 对称点坐标特征 关于坐标轴 及坐标原点对称 3 坐标的平移 位置的确定 4 函数的有关概念 函数 变量 常量 5 函数的自变量取值范围及函数值 6 函数的表示方法 列表法 图象法 解析法 7 函数的图象 1 概念 2 读图象 首先要弄清横轴 纵轴所表示的意义 其次要将实际意义与坐标的变化结合起来 有时还需要先求出函数解析式 例 1 1 已知 A在第二 四象限的角平分线上 则 3 aa 2 若点 P 则点 P 不可能在第 象限 3 aa 3 已知点 P 关于轴的对称点的坐标为 2 3 那么点 P 关于坐标原点对称的点的x 1 P 2 P 坐标为 4 已知点 A 的坐标为 3 4 若将 A 绕点 O 旋转 90 按顺时针方向 得到点 则 1 A 的坐标为 1 A 例 2 1 函数的自变量的取值范围为 42 1 1 3 x xyx 2 若函数的自变量取值范围为一切实数 那么的取值范围为 cxx y 2 1 2 c 例 3 1 某函数的图象如图所示 观察图象 回答下列问题 此函数图象是轴对称图形 则其对称轴为 当自变量 时 函数有最大值 当 时 函数有最小值 xx 当自变量满足 时 随增大而增大 当满足 时 随增大而减xyxxyx 小 当自变量满足 时 0 当满足 时 0 xyxy 2 将一弹簧称下挂着的金属圆柱体缓慢浸入水中 水足够深 在圆柱体接触容器底之前 图中能正确反映弹簧称示数 F 和圆柱体下表面到水面距离 h 关系的图象是 3 如图 两块完全重合的正方形纸片 如果上面的一块绕正方形的中心 O 作 0 90 的旋 转 那么旋转时露出的 ABC 的面积 S 随着旋转角度 的变化而变化 下表示 Sn 与的关系的大致图象是 n 4 如图 在平行四边形ABCD 中 DAB 60 AB 5 BC 3 点P 从起点D 出发 沿 DC CB 向终点B 匀速运动 设点P 所走过的路程为 点P 所经过的线段与线段AD APx 所围成图形的面积为 随的变化而变化 下列图象中 能正确反映 与的函数关系的yyxyx 二 基本方法 1 点的坐标与距离关系 点的坐标与距离关系 1 坐标求法 借助于解析式 利用几何知识 先求线段长 再转化成坐标 2 求线段长 几何图形 如三角形 四边形 圆 中常利用几何知识 如勾股定理 相似形 等 代数图形 如直线 双曲线 抛物线 中 常先求坐标 再转化成线段长 在后面的复习中 我们会举例加以说明 2 列函数解析式 列函数解析式 两种方法 两种方法 1 直接用自变量的代数式表示因变量 直接用自变量的代数式表示因变量 2 构建自变量与因变量的关系式 通过 构建自变量与因变量的关系式 通过 变形可得到函数解析式 另 对于特殊的函数 常可以用待定系数法 变形可得到函数解析式 另 对于特殊的函数 常可以用待定系数法 例 已知等腰三角形的底角为 度 顶角为 度 写出与的函数解析式 yxyx 解法一解法一 可直接用自变量的代数式表示因变量 2 180 x y 解法二解法二 1802 xy 2 180 x y 例 4 某工厂生产某种产品 每种产品的出厂价为 50 元 成本价为 25 元 因为在生产过程中 平 均每生产一件产品有 0 5 立方米污水排出 所以为了净化环境 工厂设计了两种方案对污水 进行处理 并准备实施 方案一方案一 工厂污水先净化处理后再排出 每处理 1 立方米污水所用原料费为 2 元 并且每月排污 设备损耗费为 30000 元 方案二方案二 工厂将污水排到污水厂统一处理 每处理 1 立方米污水需付 14 元的排污费 1 设工厂每月生产件产品 每月利润为元 分别求出依方案一和方案二处理污水xy 时 与的函数关系式 yx 2 设工厂每月的生产量为 6000 件产品 你若作为厂长 在不污染环境又节约资金的前提下 应选用哪种处理污水的方案 请通过计算加以说明 例 5 如图 正方形 ABCD 的边长为 2 E 为 BC 上一点 F 为 CD 上一点 AE EF 设 BE CF xy 1 求与的函数关系式 yx 2 点 E 在何处时 最大 y 9 一次函数 反比例函数及二次函数的图象特征与性质一次函数 反比例函数及二次函数的图象特征与性质 一 一次函数 正比例函数 1 正比例关系及正比例函数 正比例关系及正比例函数 正比例关系 两个量的比值是常数 我们称这两个量成正比例关 系 注 正比例关系中的两个量可以是单独的字母 也可以是代数式 而函数中的变量仅指单个字 母 2 正比例函数的图象特征与性质 正比例函数的图象特征与性质 0 时 图象经过第一 三象限 且随增大而增大 kyx 0 时 图象经过第二 四象限 且随增大而减小 图象是直线 且经过原点 kyx 3 一次函数的解析式与图象特征 一次函数的解析式与图象特征 1 解析式解析式 其中为常数 注意的含义 待定系数法 bkxy bk 0 kbk 2 图象特征图象特征 是一条直线 注意经过的象限与的符号的关系 bk 0 0 0 0kkkk 0 0 0 0bbbb 注 一次函数的图象是直线 但直线未必是一次函数的图象 注 一次函数的图象是直线 但直线未必是一次函数的图象 如直线 直线等等 3 y2 x 3 性质性质 增减性 例 1 1 已知与成正比例关系 且当时 则当时 y1 x3 x2 y3 x y 2 下列各项中的两个量 其中成正比例关系的是 A 锐角与它的正弦值 B 圆的面积与半径 C 一辆汽车从六安驶往合肥 其行驶时间与其行驶的速度 D 某一通电导体两端的电压与通过导体的电流强度 例 2 1 已知关于的一次函数的图象经过第二 三 四象限 则 x nxmy A 0 0 B 0 0 mnmn C 0 0 D 0 0mnmn 2 若直线与的交点在第四象限 则应满足 13 xykxy k 3 已知 A B 1 x 2 3 2 x