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二 第二类换元法 第二节 一 第一类换元法 换元积分法 第四章 第二类换元法 第一类换元法 基本思路 设 可导 则有 一 第一类换元法 定理1 则有换元 公式 也称配元法 即 凑微分法 例1 求 解 令 则 故 原式 注 当 时 注意换回原变量 例2 求 解 令 则 想到公式 例3 求 想到 解 直接配元 例4 求 解 类似 例5 求 解 原式 常用的几种配元形式 万能凑幂法 例6 求 解 原式 例7 求 解 原式 例8 求 解 原式 例9 求 解法1 解法2 两法结果一样 例10 求 解法1 解法2 同样可证 或 P199例18 例11 求 解 原式 例12 求 解 例13 求 解 原式 例14 求 解 原式 分析 例15 求 解 原式 小结 常用简化技巧 1 分项积分 2 降低幂次 3 统一函数 利用三角公式 配元方法 4 巧妙换元或配元 万能凑幂法 利用积化和差 分式分项 利用倍角公式 如 思考与练习 1 下列各题求积方法有何不同 2 求 提示 法1 法2 法3 作业 二 第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求 则得第二类换元积分法 难求 定理2 设 是单调可导函数 且 具有原函数 证 令 则 则有换元公式 例16 求 解 令 则 原式 例17 求 解 令 则 原式 例18 求 解 令 则 原式 令 于是 说明 1 被积函数含有 除采用三角 采用双曲代换 消去根式 所得结果一致 参考P204 P205 或 代换外 还可利用公式 2 再补充两个常用双曲函数积分公式 原式 例19 求 解 令 则 原式 当x 0时 类似可得同样结果 小结 1 第二类换元法常见类型 令 令 令 或 令 或 令 或 第四节讲 2 常用基本积分公式的补充 P205 P206 7 分母中因子次数较高时 可试用倒代换 令 解 原式 P206公式 20 例20 求 例21 求 解 P206公式 23 例22 求 解 原式 P206公式 22 例23 求 解 原式 P206公式 22 例24 求 解 令 得 原式 例25 求 解 原式 令 例16 例16 思考与练习 1 下列积分应如何换元才使积分简便 令 令 令 2 已知 求 解 两边求导 得 则 代回原变量 P2072 4 5 9 11 12 16 20 21 23 28 29 30 32 33 35 36 38 40 42 44 作业 第三节 备用题1
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