利用一元二次方程解决动点问题.doc

第二章 一元二次方程专题复习：应用一元二次方程解决动点问题沈阳市第一中学 安炜一、学生知识状况分析学生已经学习了一元二次方程及其解法，体会了一元二次方程在解决实际问题中的具体应用，初步具备了利用数学知识解决实际问题的能力；在相关知识的学习过程中，学生已经经历了由具体问题抽象出数学模型的过程，初步积累了一定的数学建模方法；同时在以往的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的机会，具有一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析本节课是一元二次方程的复习课.动点问题，是近几年中考的热点内容之一.也是数学建模思想的具体体现.利用一元二次方程已经能解决一些简单的动点问题，但是学生往往感到还是有一定的难度.本节课以此专题为重点，从简单的动点问题入手，引领学生总结解决此类问题的关键是认真审题，建立数学模型，灵活运用一元二次方程的解法等.为此，设置本节课的教学目标如下：知识目标：1. 能根据问题中数量关系列一元二次方程，体会数学建模的优越性.2. 使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题，体会几何问题代数化.能力目标：1经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；2能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；情感态度价值观：在自主探究与合作交流的过程中，激发学生的求知欲，进一步发展学生合作交流的意识和能力.三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：共同探究，总结方法；第二环节：合作交流，掌握方法；第三环节：活学巧练，强化能力；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业.第一环节：共同探究，总结方法活动内容：动点问题已经成为近几年中考的热点内容之一.利用一元二次方程已经能解决一些简单的动点问题.解决此类问题的基本思想是“动中求静”.投影展示例题，共同探究.例：在矩形ABCD中AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A开始以1 cm/s 的速度沿AB边向点B移动.点Q从点B开始以2 cm/s 的速度沿BC边向点C移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，变式训练： 几秒后PBQ的面积等于8 cm2? 几秒后，P，Q之间的距离是35 cm? 在讲解过程中可逐步分解难点：审清题意；找准各条有关线段的长度关系；建立方程模型，之后求解.解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系. 在和学生共同探究过程中，为了帮助学生更好地理解题意，设计以下几个问题： 有几个动点？ 动点的起点、终点、运动方向、速度分别是什么？ 图中有哪些线段可以用t表示？指导学生将已知条件在图形上表示，并利用几何画板直观展示图形的变化过程，有助学生分析理解. 引导学生找出题目中的等量关系，即： 速度等量： 时间等量： 面积： 三边关系：学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段：PB、BQ的长，根据面积公式和勾股定理列方程求解，并判断解的合理性. 结合此题，引导学生总结利用一元二次方程解决动点问题的关键、方法及常用的数量关系. 活动目的：本环节主要引导学生重点掌握题中动点的四个要素，同时让学生体会用字母表示所需要的线段，进而得出三角形面积的表达式以及利用勾股定理列出三边关系.活动的实际效果：初次接触动点问题对于学生来说有一定的难度.但是通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，再加上利用几何画板将点的运动情况的直观展示，使学生在不知不觉中克服困难，初步体会到利用一元二次方程解决动点问题的分析方式和构建数学模型的基本方法.第二环节 合作交流，掌握方法活动内容：投影展示练习题16cm8 cmBACPQ如图，在RtABC中，C90，AC6 cm，BC8 cm，点P从A点开始沿AC边向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发， 经过多长时间，四边形APQB的面积等于16 cm2？ 经过多长时间，P、Q之间的距离是 cm？先让学生独立思考，然后借助几何画板演示动点变化过程，最后以小组为单位讨论并以小组汇报的形式展示解题方法.活动目的：此题与例题极其相似. 先让学生独立思考，旨在让学生先自我考察解决动点问题方法掌握情况. 小组合作探究，旨在通过小组讨论解决自身还存在的问题. 小组汇报，旨在培养学生的合作意识及语言表达能力.活动实际效果：从小组交流过程巡视及小组汇报情况来看，学生已基本掌握利用一元二次方程解决动点问题的基本方法，能够达到预期的效果.第三环节：活学巧练，强化能力活动内容：1、 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），与点P分别作OA和OB的垂线，垂足为 C，D. 点P在何处时，矩形OCPD的面积为1？2、 某军舰以20 kn的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30 kn的速度由南向北航行，它能侦察出周围50 n mile（包括50 n mile）范围内的目标。如图所示，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90 n mile.如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由.（本题学生分析有一定困难，利用几何画板展示能帮助学生更好理解题意.）APOBQC3、 如图，线段AB=100 cm, 点O是AB的中点，射线OC垂直于AB，动点P以2 cm/s的速度由A向B运动，同时，动点Q以3 cm/s的速度由O沿射线OC运动，问几秒后POQ的面积为450 cm2 ?活动目的：这三道问题中1，2题是教材中的复习题，1题是动点与一次函数结合问题，不仅考察了一次函数的有关知识，同时也考察了本节课所介绍的内容. 2题在题意的分析上给学生制造了一定的困难. 3题是一道多情况问题. 通过这三道题的训练，旨在了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度，提高学生分析问题和解决问题的能力.活动实际效果：学生在前面活动中已经积累了一定的经验，在老师的提示下，可以比较顺利地分析上述问题，遇有疑难可以让学生在合作交流中解决，学生在训练过程中更加理解了建模的重要性大部分学生能够独立解决问题. 第四环节：收获与感悟活动内容： 让学生在学习小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言.活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，还有什么疑难问题希望得到解决，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中；通过对以上几个问题的解决，加深学生利用方程解决实际问题的意识和提高解题的能力；并且通过学生间的合作学习帮助不同层次的孩子解决实际困难，增强孩子学好数学的信心.活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用列一元二次方程解决动点问题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力. 第五环节：布置作业评测练习（见资源）四、课后反思本课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，学生在七八年级已经进行过方程应用的训练，对于方程的实际应用并不陌生，虽然学生已经进行了一定的训练，但本课对学生而言还是有一定的难度。本课采用启发式、问题讨论式、合作学习相结合的方式,引导学生从已有的知识和生活经验出发，以教材提供的素材为基础，引导学生对旧知识进行迁移，找出解