精选总结-13.4课题学习最短路径问题

八年级上册 13 4课题学习最短路径问题 蒲团中学程巍 1 如图所示 从A地到B地有三条路可供选择 你会选走哪条路最近 你的理由是什么 两点之间 线段最短 温故知新 2 要在河边修建一个泵站向张村引水 在何处修建才能使所用引水管道最短 为什么 垂线段最短 张村 河流 泵站 3 前面我们研究过一些关于 两点的所有连线中 线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 等的问题 我们称它们为最短路径问题 现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题 本节将利用数学知识探究数学史中著名的 将军饮马问题 4 已知 如图 A B在直线L的两侧 在L上求一点P 使得PA PB最小 连接AB 线段AB与直线L的交点P 就是所求 A B l P 为什么 5 问题1相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 探索新知 6 精通数学 物理学的海伦稍加思索 利用轴对称的知识回答了这个问题 这个问题后来被称为 将军饮马问题 你能将这个问题抽象为数学问题吗 7 这是一个实际问题 你打算首先做什么 将A B两地抽象为两个点 将河l抽象为一条直线 8 1 从A地出发 到河边l饮马 然后到B地 2 在河边饮马的地点有无穷多处 把这些地点与A B连接起来的两条线段的长度之和 就是从A地到饮马地点 再回到B地的路程之和 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为数学问题吗 9 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为数学问题吗 3 现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点 设C为直线上的一个动点 上面的问题就转化为 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 如图 10 如何将B 移 到l的另一侧B 处 满足直线l上的任意一点C 都保持CB与CB 的长度相等 如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 11 你能利用轴对称的有关知识 找到上问中符合条件的点B 吗 如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 12 作法 1 作点B关于直线l的对称点B 2 连接AB 与直线l相交于点C 则点C即为所求 如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 13 问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗 14 证明 如图 在直线l上任取一点C 与点C不重合 连接AC BC B C 由轴对称的性质知 BC B C BC B C AC BC AC B C AB AC BC AC B C 在 AB C 中 AB AC B C AC BC AC BC 即AC BC最短 你能用所学的知识证明AC BC最短吗 15 若直线l上任意一点 与点C不重合 与A B两点的距离和都大于AC BC 就说明AC BC最小 证明AC BC最短时 为什么要在直线l上任取一点C 与点C不重合 证明AC BC AC BC 这里的 C 的作用是什么 16 回顾前面的探究过程 我们是通过怎样的过程 借助什么解决问题的 轴对称 17 造桥选址问题 如图 A B两地在一条河的两岸 现要在河上建一座桥MN 桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短 假设河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 A 18 我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b N为直线b上的一个动点 MN垂直于直线b 交直线a于点M 这样 上面的问题可以转化为下面的问题 当点N在直线b的什么位置时 AM MN NB最小 a b A M N B 19 由于河岸宽度是固定的 因此当AM NB最小时 AM MN NB最小 这样问题可转化为 当点N在直线b的什么位置时 AM NB最小 怎样通过图形的变化 把这个问题转化为前面求距离和最短的情况 20 作法 1 将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E 2 连接AB交河对岸于点N 则点N为建桥的位置 MN为所建的桥 证明 由平移的性质 得AM A N且AM A N MN M N 所以A B两地的距离 AM MN BN A N MN NB A B MN 若桥的位置建在N 处 过N 作N M a 垂足为M 连接AM A N BN 则AB两地的距离为 AM M N N B A N M N N B 在 A N B中 A N N B A B A N N B MN A B MN 即AM M N N B AM MN BN所以在点N的位置建桥MN AB两地的路径AMNB最短 a b A M N B A M N 21 将AM沿与河岸方向垂直的方向平移 点M移动到点N 点A移动到点A 则AA MN AM NB A N NB 这样问题就转化为 当点N在直线b的什么位置时 A N NB最小 a b A M N B A 22 回顾前面的探究过程 我们是通过怎样的过程 借助什么解决问题的 平移 23 勇攀高峰 练习如图 一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客 然后将游客送往河岸BC上 再返回P处 请画出旅游船的最短路径 24 基本思路 由于两点之间线段最短 所以首先可连接PQ 线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路 将河岸抽象为一条直线BC 这样问题就转化为 点P Q在直线BC的同侧 如何在BC上找到一点R 使PR与QR的和最小 A B C P Q 山 河岸 大桥 25 小结 1 本节课研究问题的基本过程是什么 2 轴对称和平移在所研究问题中起什么作用 能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题 体会图形的变化在解决最值问题中的作用 感悟转化思想 利用轴对称和平移将最短路径问题转化为 两点之间 线段最短 问题 26 已知