231-2直线和平面所成的角

第二课时直线和平面所成的角 2 3 1直线与平面垂直的判定 问题提出 1 直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么 直线和平面垂直的定义 如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直 则称这条直线与这个平面垂直 直线和平面垂直的定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 2 当直线与平面相交时 对于直线与平面垂直的情形 我们已作了一些相关研究 对于直线与平面不垂直的情形 我们需要从理论上作些分析 直线和平面所成的角 知识探究 一 平面的斜线 思考1 当直线与平面相交时 它们可能垂直 也可能不垂直 如果一条直线和一个平面相交但不垂直 这条直线叫做这个平面的斜线 斜线和平面的交点叫做斜足 那么过一点作一个平面的斜线有多少条 思考2 过斜线上斜足外一点向平面引垂线 连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影 那么斜线l在平面 内的射影有几条 思考3 两条平行直线 相交直线 异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形 思考4 如图 过平面 外一点P引平面 的两条斜线段PA PB 斜足为A B 再过点P引平面 的垂线 垂足为O 如果PA PB 那么OA与OB的大小关系如何 反之成立吗 思考5 如图 过平面 内一点P引平面 的两条斜线PA PB 这两条斜线段在平面 内的射影分别为PC PD 如果PA PB 那么PC与PD的大小关系确定吗 思考6 如图 直线l是平面 的一条斜线 它在平面 内的射影为b 直线a在平面 内 如果a b 那么直线a与直线l垂直吗 为什么 反之成立吗 知识探究 二 直线和平面所成的角 思考1 平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度 我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度 并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定 那么角的顶点宜选在何处 思考2 如图 AB为平面 的一条斜线 A为斜足 AC为平面 内的任意一条直线 能否用 BAC反映斜线AB与平面 的相对倾斜度 为什么 思考3 反映斜线与平面相对倾斜度的平面角的顶点为斜足 角的一边在斜线上 另一边在平面内的哪个位置最合适 为什么 思考4 我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫做这条斜线和这个平面所成的角 在实际应用或解题中 怎样去求这个角 思考5 特别地 当一条直线与平面垂直时 规定它们所成的角为90 当一条直线和平面平行或在平面内时 规定它们所成的角为0 这样 任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都可以用一个角来反映 那么直线与平面所成的角的取值范围是什么 思考6 如图 BAD为斜线AB与平面 所成的角 AC为平面 内的一条直线 那么 BAD与 BAC的大小关系如何 BAC BAD 思考7 两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何 反之成立吗 一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何 思考8 过平面 外一点P引平面 的斜线 斜足为A 若斜线PA与平面 所成的角为50 那么点A在平面 内的运动轨迹是什么图形 理论迁移 例1在正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求直线A1B和平面ABCD所成的角 2 求直线A1B和平面A1B1CD所成的角 例2如图 AB为平面 的一条斜线 B为斜足 AO 平面