高中数列知识总结.docx

模块六 数列 考纲解读最重要的是 数列求和性质 高考大纲考试内容要求层次ABC数列的概念和表示法数列的概念和表示法P等差数列等差数列的概念P等差数列的通项公式与前n项和公式P等比数列等比数列的概念P等比数列的通项公式与前n项和公式P 分析解读（1）以数列的前n项为背景，考查通项公式.（2）以数列的递推公式为载体，考差数列各项的求法及数列的通项.（3）由数列前n项和，求通项.（4）理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.（5）体会等差数列与一次函数的关系，掌握等差数列的一些基本性质.（6）理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.（7）体会等比数列与指数函数的关系.（8）掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.（9）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题. 知识导航 考点剖析 考点一 数列的通项公式数列的通项的求法：1、公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。2、已知（即）求，用作差法：。3、已知求，用作商法：。4、若求用累加法：。5、已知求，用累乘法：。6、已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。形如的递推数列都可以用倒数法求通项。 考点二 数列的前n项和数列求和的常用方法：1、公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：，.2、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.3、相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.4、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.5、裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：； ；，； ；.6、通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。 考点三 等差数列的运算1、等差数列的判断方法：定义法或。2、等差数列的通项：或。3、等差数列的前和：，。4、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 考点四 等差数列的性质1、当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.2、若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。3、当时,则有，特别地，当时，则有.4、若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 ，也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.5、在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（这里即）；。6、若等差数列、的前和分别为、，且，则.7、“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。8、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究. 考点五 等比数列的运算1、等比数列的判断方法：定义法，其中或。2、等比数列的通项：或。3、等比数列的前和：当时，；当时，。4、等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。 考点六 等比数列的性质1、当时，则有，特别地，当时，则有.2、若是等比数列，则、成等比数列；若 成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列.3、若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.4、当时，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。5、.6、在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.7、如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 考点七 数列的综合应用1、数列应用题常见模型：（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑与的递推关系，还是与之间的递推关系.2、数列应用题的求解策略：（1）构造等差、等比数列的模型（有时也会是其他较特殊的数列）.（2）运用相关概念、性质及求和公式进行运算.（3）通过“归纳猜想证明”的思路探索规律，并尝试应用规律解题.3、等价转化和分类讨论的思想方法在求解中起重要作用，复杂的数列问题总是要通过转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题来解决. 真题演练1.【2010北京,2,5分】在等比数列中，公比.若，则（A）9 （B）10 （C）11 （D）12 举一反三1.1【2010福建,11,4分】在等比数列an中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式an= .1.2 【2012安徽,4,5分】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ） 1.3 【2012浙江,13,4分】设公比为q（q0）的等比数列an的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_。2. 【2008北京,6,5分】已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）A B C D 举一反三2.1 【2012上海,18,5分】设，在中，正数的个数是（ ）A25 B50 C75 D1002.2 【2012课标全国,16,5分】数列满足，则的前项和为 2.3【2012福建,14,4分】数列an的通项公式an=ncos+1，前n项和为Sn，则S2012=_3.【2012北京,10,5分】已知等差数列为其前n项和。若，则=_。 举一反三3.1【2012重庆,1,5分】在等差数列中，则的前5项和= A.7 B.15 C.20 D.25 3.2【2012浙江,7,5分】设是公差为d（d0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是A.若d0，则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项，则d0C.若数列Sn是递增数列，则对任意，均有D. 若对任意，均有，则数列Sn是递增数列3.3 【2012全国,5,5分】已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A) (B) (C) (D) 4.【2011北京,11,5分】在等比数列an中，a1=，a4=-4，则公比q=_；_。 举一反三4.1 【2012辽宁,14,5分】已知等比数列an为递增数列，且，则数列an的通项公式an =_。4.2【2012上海,6,4分】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。4.3 【2012课标全国,5,5分】已知为等比数列，则（ ） 5.【2008北京,14,5分】某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 举一反三5.1【2012上海,10,4分】在行n列矩阵中，记位于第行第列的数为。当时， 5.2【2012湖北,7,5分】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：； ； ； .则其中是“保等比数列函数”的的序号为 A B C D 5.3【2012四川,12,5分】设函数，是公差为的等差数列，则（ ）A、 B、 C、 D、6.【2009北京,14,5分】已知数列满足：则_；=_. 举一反三6.1【2012江西,12,5分】设数列an,bn都是等差数列，若，则_。6.2 【2011江西,5,5分】已知数列an的前n项和sn满足：sn+sm=sn+m，且a1=1，那么a10=（）A1 B.9 C.10 D.556.3【2012山东,20,12分】在等差数列中，.（）求数列的通项公式；（）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.7.【2008北京,20,5分】对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令（）如果数列为5，3，2，写出数列；（）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时， 举一反三7.1【2012四川,16,4分】记为不超过实数的最大整数，例如，。设为正整数，数列满足，现有下列命题：当时，数列的前3项依次为5,3,2；对数列都存在正整数，当时总有；当时，；对某个正整数，若，则。其中的真命题有_。（写出所有真命题的编号）7.2【2010湖南,15,5分】若数列an满足：对任意的nN，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m的个数为（an）+，则得到一个新数列（an）+例如，若数列an是1，2，3，n，则数列（an）+是0，1，2，n-1已知对任意的nN+，an=n2，则（a5）+= 7.3【2012湖南,19,12分】已知数列an的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+an，B（n）=a2+a3+an+1，C（n）=a3+a4+an+2，n=1,2， （1） 若a1=1，a2=5，且对任意nN，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列 an 的通项公式.（2） 证明：数列 an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.8.【2009北京,20,5分】已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于.（）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（）证明：，且；（）证明：当时，成等比数列.k.s.5. 举一反三8.1【2011山东,20,12分】等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和8.2 【2012上海,23,18分】对于数集，其中，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质例如具有性质（1）若，且具有性质，求的值；（2）若具有性质，求证：，且当时，；（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式.9.【2011北京,20,5分】若数列满足，数列为数列，记=（）写出一个满足，且0的数列；（）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。 举一反三9.1【2011江苏,20,16分】设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当nk时，都成立。（1）设M=1，求的值；（2）设M=3，4，求数列的通项公式。9.2【2012全国,22,12分】函数f（x）=x22x3，定义数列 xn如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5），Qn（ xn，f（ xn）的直线PQn与x轴交点的横坐标（）证明：2xnxn+13；（）求数列 xn的通项公式 轻松驿站微米世界里的秩序和斐波纳契数之美1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144这个神秘的、包含了太多大自然秘密的斐波纳契数列，在诞生的800年里已经带给人们太多的痴迷。它的追随者们或许不会想到，在中科院物理研究所的一个实验室里，科学家们在微米（一微米等于一百万分之一米）尺度上用无机材料生长出了迷人的斐波纳契数花样。此前，人们对斐波纳契数列出现在许多植物中已是司空见惯。例如百合有3个花瓣，桃花是5个，这些都是斐波纳契数列中的数字。一些植物的果实对这个数列也有“特殊偏好”：向日葵种子的排列可同时看作是两组螺旋线，如果沿顺时针旋转螺旋的数目是某个斐波纳契数，则沿逆时针旋转螺旋的数目一定是相邻的另一个斐波纳契数。如果向日葵的种子排列用这样的一对斐波纳契螺旋数表示的话，它可以是（21，34），（34，55）直至（89，144）；而在最常见的菠萝表面，其鳞片的排列一般是（5，8）和（8，13）这样的两对斐波纳契螺旋数。大自然就是这么地精确，这么地不可思议。8月5日出版的科学杂志发表了中国科学家的这一发现。文章的反响同样热烈，第二天，电子邮件便“塞”满了通讯作者曹则贤研究员的邮箱，来自世界各地不同领域的“斐迷”们期望能与作者进行更深入的交流。“这个结果支持了学术界关于叶序学的一个大胆设想。”曹则贤研究员说。对于生命中为何出现如此奇特的斐波纳契现象，学术界至今争论不休。代表性的有“效率说”，即植物为了竞争有限空间，叶子要尽可能多地获取阳光以进行光合作用，花要尽可能地展示自己来吸引昆虫传粉，一个花托上要结出尽可能多的种子以利物种的繁衍；也有“基因说”，即认为是某种化学物质决定的遗传现象；还有来自纯美学方面的考虑，认为由于数列中相邻两个数字相除可以得到黄金分割数，这是大自然对和谐之美的选择1941年，英国学生汤姆普森（W.Thompson）曾经在后来成为该领域经典著作的硕士论文生长与形状中提出一种假说，认为有关生物体的许多生长与形状发生的现象，尽管花样繁多，但在本质上必定只是数学问题和物理问题。在李超荣研究员和他的同事们设计的实验中，他们首先在高温条件下形成银为内核、外层为氧化硅的10微米大小的“液滴”。由于冷却在内外两种物质（银和氧化硅）中造成不同程度的收缩，这个结构就会引起应力。当这个应力很大时，应力不再均匀分布，而会重新分布，形成某种花样。在应力不均匀的表面上，来自蒸发源的物质也会出现不均匀的聚集，这相当于对应力分布的花样做了“标记”。这样，通过观察壳层上生长的更小的（几百个纳米大小，一纳米是十亿分之一米）颗粒，就能够得到应力分布花样的信息。在扫描电镜下，他们观察到，在近似球面的大“液滴”上，这些纳米小颗粒以五边形和六边形规则地排列，如同自然界中的蒲公英和轮锋菊花托上的小花。这个结果符合根据多面体欧拉定理所作的预期，因为如果要铺满整个球面，五边形和六边形同时出现是必须的。真正吸引科学杂志关注的是接下来的工作。在略显扁平的盘状“液滴”结构上，他们发现那些纳米小颗粒形成了斐波纳契数花样。用顺时针和逆时针螺旋数来标记，他们观察到了（5，8），（8，13）和（13，21）三组不同的斐波纳契数花样。 “在整个过程中，应力是产生花样的惟一驱动因素。这个实验结果让我们马上想到，植物中斐波纳