山东日照高三数学校际联考试卷理

山东省日照市2019届高三数学1月校际联考试卷 理（含解析）考生注意：1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。参考公式：(其中R是球的半径)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得集合，然后求两个集合的交集.【详解】，故选D【点睛】本小题主要考查两个集合的交集，考查一元二次方程的解法，属于基础题.2.复数满足z(2+i)=36i（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）A. 3B. 3iC. 3iD. 3【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】由题意可得：z=36i2+i=36i2i2+i2i=115i5=153i，据此可知，复数z的虚部为3.本题选择D选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程3.下列函数是偶函数且在0,+上为增函数的是( )A. y=12xB. y=lnxC. y=x2+2xD. y=2x【答案】C【解析】【分析】根据偶函数排除B,D，再根据单调性排除A，得到正确选项.【详解】A选项：当x0时，y=12x，此时函数单调递减，故A错误；B选项：函数定义域为0,+，故函数为非奇非偶函数，故B错误；C选项：x2+2x=x2+2x，函数为偶函数；当x0时，y=x2+2x，此时x2和2x均为增函数，所以整体为增函数，故C正确；D选项：y=2x=12x，为非奇非偶函数，且在0,+上单调递减，故D错误.本题正确选项：C【点睛】本题考查简单函数的奇偶性和单调性的判定，属于基础题.4.将函数y=sinx6的图象上所有的点向右平移4个单位长度，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应函数的解析式为( )A. y=sin2x512B. y=sinx2+12C. y=sinx2512D. y=sinx2524【答案】C【解析】右平移4个单位长度得带sinx512,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到y=sin(x2-512),故选C.5.如图，D是ABC的边AB的中点，则向量CD等于（）A. BC+12BAB. BC12BAC. BC12BAD. BC+12BA【答案】A【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则知，CD=CB+BD，由D是中点和相反向量的定义，对向量进行转化【详解】由题意，根据三角形法则和D是ABC的边AB的中点得，BD=12BA，所以CD=CB+BD=-BC+12BA，故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量加法的三角形法的应用，其中解答中结合图形和题意，合理利用平面向量的三角形法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知双曲线x2a2y2b2=1a0,b0的两条渐近线均与圆C:x2+y26x+5=0相切，则该双曲线的离心率是( )A. 355B. 62C. 32D. 55【答案】A【解析】试题分析：先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再根据圆心到渐近线的距离等于半径得出a,b的关系，进而可求出离心率圆C: x2+y26x+5=0配方得(x3)2+y2=4，所以圆心为C(3,0)，半径为2，由已知圆心C到直线y=bax的距离为2，可得9a2=5c2，可得e=355，故选A考点：1、双曲线；2、渐近线；3、圆；4、点到直线距离【此处有视频，请去附件查看】7.张邱建算经是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾”(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)若该女第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为( )A. 12B. 1629C. 1631D. 815【答案】B【解析】依题意设每天多织d尺,依题意得S30=305+30292d=390,解得d=1629.故选B.8.已知下列四个命题：“若x2x=0，则x=0或x=1”的逆否命题为“若x0且x1，则x2x0”；“x0”的充分不必要条件；命题p:x0R，使得x02+x0+10,y0,x+y=5,则1x+4y+1的最小值为_【答案】32【解析】【分析】将1x+4y+1转化为16(5+y+1x+4xy+1)，然后利用基本不等式求得最小值.【详解】1x+4y+1=16x+y+1(1x+4y+1)=16(1+4+y+1x+4xy+1)=16(5+y+1x+4xy+1)32.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.设x1,x2分别是函数fx=xax和gx=xlogax1的零点(其中a1)，则x1+100x2的取值范围是_【答案】(101,+)【解析】【分析】首先利用零点求得x1,x2满足的方程，根据同底的指数函数与对数函数关于y=x对称，以及y=1x关于y=x对称，得到1x1=x2，由此化简x1+100x2为x1+100x1，再由0x11求得x1+100x1的取值范围.【详解】由已知得1x1=ax1，1x2=logax2 ，因为y=ax与y=logax关于y=x对称，y=1x图象关于y=x对称，所以点(x1,1x1)与点(x2,logax2)关于y=x对称，所以1x1=x2，且0x11，其中a1，则y=x1+100x2=x1+100x1在(0,1)上单调递减，所以y1+1001=101，故x1+100x2的取值范围是(101,+).【点睛】本小题主要考查函数的零点问题，考查了同底的指数函数和对数函数互为反函数，反函数的图像关于y=x对称，考查函数的单调性，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.如图，在平面四边形ABCD中，CD=1,BD=7,AB=4,ABC=120，DCB=120(1)求sinDBC；(2)求AD【答案】(1)2114；(2)33.【解析】【分析】（1）根据正弦定理可求解出结果；（2）利用两角和差公式求出cosABD，再利用余弦定理求解出结果.【详解】（1）在BDC中，CD=1，BD=7，DCB=120由正弦定理得DCsinDBC=BDsin120所以sinDBC=DCBDsin120=1732=2114（2）在BDC中，由已知可知DBC是锐角，又sinDBC=2114所以cosDBC=121142=5714所以cosABD=cosABCDBC=cos120cosDBC+sin120sinDBC=125714+322114=714在ABD中，由余弦定理可知：AD2=AB2+BD22ABBDcosABD=16+7247714=27所以AD=33【点睛】本题考查两角和差公式的应用、正弦定理和余弦定理解三角形的问题，属于基础题.18.已知正三角形ABC 的边长为3，E,F,P 分别是AB,AC,BC边上的点，满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2 (如图1)将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使平面A1EF平面BEFP，连接A1B、A1P(如图2)(1)求证：A1E平面BEFP ；(2)求二面角B-A1P-F的余弦值【答案】(1)见证明；(2) 78【解析】【分析】（1）在图1中，取BE的中点D，连接DF，证明ADF是等边三角形，由此证得AEEF，即在图2中有A1EEF，根据面面垂直的性质定理可证得A1E平面BEFP.（2）以E为原点，以向量EB、EF、EA1的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用平面BA1P的法向量和FA1P的法向量，计算二面角的余弦值.【详解】解：（1）在图1中，取BE的中点D，连结DFAE:EB=CF:FA=1:2，AF=AD=2.而A=60，ADF是正三角形又AE=DE=1，AEEF即在图2中，A1EEF，平面A1EF平面BEFP，平面A1EF平面BEFP=EF，A1EF平面BEFP. （2）由（1）知，即A1EF平面BEFP，BEEF以E为原点，以向量EB、EF、EA1的方向为x、y、z轴的正方向建立如图所示的坐标系，则A1(0,0,1)，B(2,0,0)，F(0,3,0)，P(1,3,0).A1B=(2,0,-1)，A1P=(1,3,-1)，A1F=(0,3,-1). 设m=(x1,y1,z1)，n=(x2,y2,z2)分别是平面A1BP和平面A1PF的法向量，由mA1B=0mA1P=0，得2x1-z1=0x1+3y1-z1=0，取y1=1，得m=(3,1,23)，由nA1F=0nA1P=0，得3y2-z2=0x2+3y2-z2=0，取y2=1，得n=(0,1,3)，所以cosm,n=mn|m|n|=30+11+233(3)2+12+(23)202+12+(3)2=78. 因为二面角B-A1P-F为钝角，所以二面角B-A1P-F的余弦值为-78.【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.19.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：下周一无雨无雨有雨有雨下周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务无雨时收益为20万元，有雨时收益为10万元额外聘请工人的成本为a万元已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由【答案】(1)分布列见解析，14.4万元.(2)当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人：成本低于1.6万元时，外聘工人：成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以.理由见解析.【解析】分析：（）根据基地收益为20万元的概率为0.36，即基地无雨的概率为0.36，可求出周一无雨的概率为p=0.6；根据独立性事件的概率，可求出另外几种情况下的概率。列出基地收益分布列，即可根据公式求期望来表示其预期收益。（）周一采摘完的预期收益为E(Y)=200.6+100.4-a=16-a。所以和两天采摘相比，收益高出来了1.6-a。这时讨论a的情况确定是否外聘工人。详解：（）设下周一无雨的概率为p，由题意，p2=0.36，p=0.6，基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P(X=20)=0.36，P(X=15)=0.24，P(X=10)=0.24，P(X=7.5)=0.16.基地收益X的分布列为：X2015107.5p0.360.240.240.16E(X)=200.36+150.24+100.24 +7.50.16=14.4，基地的预期收益为14.4万元.（）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)=200.6+100.4-a=16-a（万元），E(Y)-E(X)=1.6-a， 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人：成本低于1.6万元时，外聘工人：成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以.点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的求法。主要理解题意，正确判断无雨的概率，进而能够求出在各种情况下的概率，求出其分布列，属于简单题。20.已知抛物线E：y=22pxp0上在第一象限内的点H(1，t)到焦点F的距离为2(1)若M14,0，过点M，H的直线与该抛物线相交于另一点N，求NF的值；(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且OAOB=94(其中O为坐标原点)求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；过点Q作AB的垂线与该抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值【答案】(1) 1716 (2) 见证明； 最小值88【解析】【分析】（1）根据H点的坐标和抛物线的定义，求得p的值，进而求得抛物线E的方程以及H点的坐标，由此求得直线MH的方程，联立直线MH的方程和抛物线的方程，求得N点的横坐标，利用抛物线的定义求得NF的值.（2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算，化简OAOB=94，由此证得直线过定点. 利用的结论求得AB,GD,由此求得四边形AGBD面积S的表达式，换元后利用二次函数的单调性来求得四边形AGBD面积的最小值.【详解】解：（1）点H(1,t)，1+p2=2，解得p=2，故抛物线E的方程为：y2=4x， 所以当x=1时t=2，直线MH的方程为y=85x+25，联立y2=4x可得，xN=116，|NF|=xN+p2=1+116=1716.（2）证明：设直线AB:x=my+t，A(y124,y1)，B(y224,y2)，联立抛物线方程可得y2-4my-4t=0，y1+y2=4m，y1y2=-4t，由OAOB=94得：(y1y2)216+y1y2=94，解得y1y2=-18或y1y2=2（舍去），即-4t=-18t=92，所以直线AB过定点Q(92,0)；由得|AB|=1+m2|y2-y1|=1+m216m2+72同理得，|GD|=1+(-1m)2|y4-y3|=1+1m272+16m2.则四边形AGBD面积S=12|AB|GD|=121+m216m2+721+1m272+16m2=4(2+(m2+1m2)(85+18(m2+1m2).令m2+1m2=(2)，则S=4182+121+170是关于的增函数，故当=2时，Smin=88.当且仅当m=1时取到最小值88.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查弦长公式以及四边形面积的求法，属于中档题.21.设函数px=ex,qx=ax+2，其中aR，e是自然对数的底数(1)若直线y=ax与曲线y=px相切，求实数a的值；(2)令fx=pxqx讨论函数fx的单调性；若a=1,k为整数，且当x0时，kxx+1fx0两类，讨论函数的单调性. 当a=1时，将原不等式分离常数得k0，令f(x)=ex-a0，得x(lna,+).所以，f(x)在(-,lna)上单调递减，在(lna,+)上单调递增. 由于a=1，k-xx+1fx1(k-x)(ex-1)0，ex-10 kx+1ex-1+x，令g(x)=x+1ex-1+x，k0，h(x)在(0,+)单调递增，且h(1)0，h(x)在(0,+)存在唯一的零点，设此零点为x0，则x0(1,2)且h(x0)=0，当x(0,x0)时，g(x)0. g(x)min=g(x0)=x0+1ex0-1+x0，由h(x0)=0ex0=x0+2，g(x0)=x0+1(2,3)，k0，过点P2,4的直线l的参数方程为x=2+22ty=4+22t(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点(1)写出曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若PM,MN,PN成等比数列，求a的值【答案】（1）C:y2=2ax，xy2=0；（2）1.【解析】试题分析：（1）极坐标化为直角坐标方程可得曲线C的方程为y2=2ax(a0)，消去参数可得直线的直