天津市津南区东片学区2016届九年级下期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 31 页） 2015年天津市津南区东片学区九年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共 12个小题，每小题 3分，共 36 分） 1 值等于（ ） A 3 B C D 2在下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 3月球的半径约为 1738000m， 1738000 这个数用科学记数法可表示为（ ） A 06B 07C 07D 05 4如图，这是由 5 个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ） A B C D 5若 m= 2，则估计 m 的值所在的范围是（ ） A 1 m 2 B 2 m 3 C 3 m 4 D 4 m 5 6正六边形的边心距与边长之比为（ ） A ： 3 B ： 2 C 1： 2 D ： 2 7如图是某班 40 名学生一分钟跳绳测试成绩（次数为整数）的频数分布直方图，从左起第一、二、三、四个小长方形的高的比为 1： 4： 3： 2，那么该班一分钟跳绳次数在 100 次以上的学生有（ ） 第 2 页（共 31 页） A 6 人 B 8 人 C 16 人 D 20 人 8等腰三角形一条边的边长为 3，它的另两条边的边长是关于 x 的一元二 次方程 12x+k=0 的两个根，则 k 的值是（ ） A 27 B 36 C 27 或 36 D 18 9如图，点 O 是矩形 中心， E 是 的点，沿 叠后，点 B 恰好与点 O 重合，若 ，则折痕 长为（ ） A B C D 6 10如图， O 的直径 直于弦 足为 E， A= ， 长为（ ） A 2 B 4 C 4 D 8 11甲、乙两人沿相同的路线由 A 地到 B 地匀速前进， A、 B 两地间的路程为 20们前进的路程为 s（ 甲出发后的时间为 t（ h），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A甲的速度是 4km/h B乙的速度是 10km/h 第 3 页（共 31 页） C乙比甲晚出发 1h D甲比乙晚到 B 地 3h 12二次函数 y=bx+c（ a0）的部分图象如图，图象过点（ 1， 0），对称轴为直线 x=2，下列结论： 4a+b=0； 9a+c 3b； 8a+7b+2c 0； 当 x 1 时， y 的值随 x 值的增大而增大 其中正确的结论有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 13方程 =0 的解是 14如图，在 ， 0，点 D， E， F 分别为 中点若 ，则 长为 15如图，转盘中 8 个扇形的面积都相等，任意转动转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指向大于 6 的数的概率为 16 如图， A， B， C 是 O 上的三点， 5， 5，则 度 第 4 页（共 31 页） 17如图，正方形 边长为 6， E 为 的一点， ， F 为 的一点， ， P 为 一点，则 E 的最小值为 18如图，将 在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、 B、 C 均落在 格点上 （ ） 面积等于 ； （ ）若四边形 所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明） 三、解答题（本大题共 7小题，共 66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来 20某校为了了解初三年级 1000 名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位： 成五组（ A： B： C： D： E：并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图 第 5 页（共 31 页） 解答下列问题： （ 1）这次抽样调查的样本容量是 ，并补全频数分布直方图； （ 2） C 组学生的频率为 ，在扇形统计图中 D 组的圆心角 是 度； （ 3）请你估计该校初三年级体重超过 60学生大约有多少名？ 21（ 10 分）（ 2014威海）如图，在 ， C=90， 平分线交 点 E，过点 E 作 B 于点 F， O 是 外接圆 （ 1）求证： O 的切线 （ 2）过点 E 作 点 H，求证： F 22如图，为了测量某风景区内一座塔 高度，小明分别在塔的对面一楼房 楼底 C，楼顶 D 处，测得塔顶 A 的仰角为 45和 30， 已知楼高 10m，求塔的高度（结果精确到 （参考数据： 23某超市为了回馈广大新老客户，元旦期间决定实行优惠活动 优惠一：非会员购物所有商品价格可获九折优惠； 优惠二：交纳 200 元会费成为该超市的一员，所有商品价格可优惠八折优惠 （ 1）若用 x（元）表示商品价格，请你用含 x 的式子分别表示两种购物优惠 后所花的钱数； （ 2）当商品价格是多少元时，两种优惠后所花钱数相同； （ 3）若某人计划在该超市购买价格为 2700 元的一台电脑，请分析选择那种优惠更省钱？ 第 6 页（共 31 页） 24如图，在平面直角坐标系中，已知 等边三角形，点 A 的坐标是（ 0， 4），点 B 在第一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点，连接 把 着点 A 按逆时针方向旋转，使边 合，得到 （ 1）求 B 的坐标； （ 2）当点 P 运动到点（ t， 0）时，试用含 t 的式子表示点 D 的坐标； （ 3）是否存在点 P，使 面积等于 ，若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标（直接写出结果即可） 25如图，抛物线 y= x2+bx+c 与直线 y= x+2 交于 C、 D 两点，其中点 C 在 y 轴上，点 D 的坐标为（ 3，）点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴于点 E，交 点 F （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）若点 P 的横坐标为 m，当 m 为何值时，以 O、 C、 P、 F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由 （ 3）若存在点 P，使 5，请直接写出相应的点 P 的坐标 第 7 页（共 31 页） 2015年天津市津南区东片学区九年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 12个小题，每小题 3分，共 36 分） 1 值等于（ ） A 3 B C D 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案 【解答】解： = 故选： D 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记 忆相关数据是解题关键 2在下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解： A、不是中心对称图形故 A 选项错误； B、不是中心对称图形故 B 选项错误； C、是中心对称图形故 C 选项正确； D、 不是中心对称图形故 D 选项错误 故选： C 【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3月球的半径约为 1738000m， 1738000 这个数用科学记数法可表示为（ ） A 06B 07C 07D 05 【考点】科学记数法 表示较大的数 第 8 页（共 31 页） 【分析】科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点 移动的位数相同当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】解：将 1738000 用科学记数法表示为： 06 故选： A 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4如图，这是由 5 个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 【解答】解：从上面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最左边有一个正方形 故选 A 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图 5若 m= 2，则估计 m 的值所在的范围是（ ） A 1 m 2 B 2 m 3 C 3 m 4 D 4 m 5 【考点】估算无理数的大小 【分析】先估算，再确定 m= 2 的范围，即可解答 【解答】解： 6 7， 4 2 5， 故选： D 【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出 的范围 6正六边形的边心距与边长之比为（ ） A ： 3 B ： 2 C 1： 2 D ： 2 第 9 页（共 31 页） 【考点】正多边形和圆 【分析】首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是 a，由勾股定理即可求得 长，继而求得答案 【解答】解：如图：设六边形的边长是 a，则半径长也是 a； 经过正六边形的中心 O 作边 垂线 则 a， = a， 正六边形的边心距与边长之比为： a： a= ： 2 故选 B 【点评】此题考查了正多边形和圆的关系 此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 7如图是某班 40 名学生一分钟跳绳测试成绩（次数为整数）的频数分布直方图，从左起第一、二、三、四个小长方形的高的比为 1： 4： 3： 2，那么该班一分钟跳绳次数在 100 次以上的学生有（ ） A 6 人 B 8 人 C 16 人 D 20 人 【考点】频数（率）分布直方图；频数与频率 【专题】压轴题；图表型 【分析】从图得出一分钟跳绳次数在 100 次以上的即第三、四组所占比例，然后用： 100 次以上的学生数 =总人数 比例，计算即可 第 10 页（共 31 页） 【解答】解：从左起第一、二、三、四个小长方形的高的比为 1： 4： 3： 2，即各组频率之比为 1： 4： 3：2；一分钟跳绳次数在 100 次以上的即第三、四组，所占比例为 ，即 故有 40 =20 人 故选 D 【点评】本题考查分析频数分布直方图和频率的求法解本题要懂得频率分布直方图的意义，了解频率分布直方图是一种以频数为纵向指标的条形统计 图 8等腰三角形一条边的边长为 3，它的另两条边的边长是关于 x 的一元二次方程 12x+k=0 的两个根，则 k 的值是（ ） A 27 B 36 C 27 或 36 D 18 【考点】等腰三角形的性质；一元二次方程的解 【专题】分类讨论 【分析】由于等腰三角形的一边长 3 为底或腰不能确定，故应分两种情况进行讨论： 当 3 为腰时，其他两条边中必有一个为 3，把 x=3 代入原方程可求出 k 的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可； 当 3 为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根 ，由 =0可求出 k 的值，再求出方程的两个根进行判断即可 【解答】解：分两种情况： 当其他两条边中有一个为 3 时，将 x=3 代入原方程， 得 32 123+k=0， 解得 k=27 将 k=27 代入原方程， 得 12x+27=0， 解得 x=3 或 9 3， 3， 9 不能够组成三角形，不符合题意舍去； 当 3 为底时，则其他两条边相等，即 =0， 此时 144 4k=0， 解得 k=36 将 k=36 代入原方程， 得 12x+36=0， 解得 x=6 3， 6， 6 能够组成三角形，符合题意 第 11 页（共 31 页） 故 k 的值为 36 故选： B 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解 9如图，点 O 是矩形 中心， E 是 的点，沿 叠后，点 B 恰好与点 O 重合，若 ，则折痕 长为（ ） A B C D 6 【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理 【分析】先根据图形翻折变换的性质求出 长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论 【解答】解： 折而成， C， E， B= 0， O 是矩形 中心， 垂直平分线， 3=6， E， 在 ， 62=2，解得 ， 在 ，设 OE=x，则 x， （ 3 x） 2=32+得 x= ， C=3 =2 故选： A 【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键 第 12 页（共 31 页） 10如图， O 的直径 直于弦 足为 E， A= ， 长为（ ） A 2 B 4 C 4 D 8 【考点】垂径定 理；等腰直角三角形；圆周角定理 【分析】根据圆周角定理得 A=45，由于 O 的直径 直于弦 据垂径定理得 E，且可判断 等腰直角三角形，所以 ，然后利用 行计算 【解答】解： A= A=45， O 的直径 直于弦 E， 等腰直角三角形， ， 故选： C 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理 11甲、乙两人沿相同的路线由 A 地到 B 地匀速前进， A、 B 两地间的路程为 20们前进的路程为 s（ 甲出发 后的时间为 t（ h），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示根据图象信息，下列说法正确的是（ ） 第 13 页（共 31 页） A甲的速度是 4km/h B乙的速度是 10km/h C乙比甲晚出发 1h D甲比乙晚到 B 地 3h 【考点】函数的图象 【分析】根据图象可知，甲比乙早出发 1 小时，但晚到 2 小时，从甲地到乙地，甲实际用 4 小时，乙实际用 1 小时，从而可求得甲、乙两人的速度 【解答】解：甲的速度是： 204=5km/h； 乙的速度是： 201=20km/h； 由图象知，甲 出发 1 小时后乙才出发，乙到 2 小时后甲才到， 故选 C 【点评】本题考查了函数的图象，培养学生观察图象的能力，分析解决问题的能力，要培养学生视图知信息的能力 12二次函数 y=bx+c（ a0）的部分图象如图，图象过点（ 1， 0），对称轴为直线 x=2，下列结论： 4a+b=0； 9a+c 3b； 8a+7b+2c 0； 当 x 1 时， y 的值随 x 值的增大而增大 其中正确的结论有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】二 次函数图象与系数的关系 【专题】代数几何综合题；压轴题；数形结合 【分析】根据抛物线的对称轴为直线 x= =2，则有 4a+b=0；观察函数图象得到当 x= 3 时，函数值小于 0，则 9a 3b+c 0，即 9a+c 3b；由于 x= 1 时， y=0，则 a b+c=0，易得 c= 5a，所以 8a+7b+2c=8a 28a 10a= 30a，再根据抛物线开口向下得 a 0，于是有 8a+7b+2c 0；由于对称轴为直线 x=2，根据二次函数的性质得到当 x 2 时， y 随 x 的增大 而减小 第 14 页（共 31 页） 【解答】解： 抛物线的对称轴为直线 x= =2， b= 4a，即 4a+b=0，（故 正确）； 当 x= 3 时， y 0， 9a 3b+c 0， 即 9a+c 3b，（故 错误）； 抛物线与 x 轴的一个交点为（ 1， 0）， a b+c=0， 而 b= 4a， a+4a+c=0，即 c= 5a， 8a+7b+2c=8a 28a 10a= 30a， 抛物线开口向下， a 0， 8a+7b+2c 0，（故 正确）； 对称轴为直线 x=2， 当 1 x 2 时， y 的值随 x 值的增大而增大， 当 x 2 时， y 随 x 的增大而减小，（故 错误） 故选： B 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y=bx+c（ a0），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a 0 时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 与 b 同号时（即 0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于（ 0， c）；抛物线与 决 定， =40 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； =4 时，抛物线与 x 轴有1 个交点； =40 时，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 13方程 =0 的解是 x=6 【考点】解分式方程 【专题】计算题 【分析】先去分母，然后求出整式方程的解，继而代入检验即可得出方程的根 【解答】解：去分母得： 3（ x 2） 2x=0， 第 15 页（共 31 页） 去括号得： 3x 6 2x=0， 整理得： x=6， 经检验得 x=6 是方程的根 故答案为： x=6 【点评】此题考查了解分式方程的知识，注意分式方程要化为整式方程求解，求得结果后一定要检验 14如图，在 ， 0，点 D， E， F 分别为 中点若 ，则 长为 5 【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【分析】已知 边 中线，那么 中位 线，则 等于 【解答】解： 直角三角形， 斜边的中线， 又 中位线， 5=10 10=5 故答案为： 5 【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（ 1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（ 2）三角形的中位线等于对应边的一半 15如图，转盘 中 8 个扇形的面积都相等，任意转动转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指向大于 6 的数的概率为 第 16 页（共 31 页） 【考点】概率公式 【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率 【解答】解： 共 8 个数，大于 6 的有 2 个， P（大于 6） = = ， 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现m 种结果，那么事件 A 的概率 P（ A） = 16 如图， A， B， C 是 O 上的三点， 5， 5，则 120 度 【考点】圆周角定理 【分析】根据等边对等角，即可求得 度数，则 度数可 以求得，然根据圆周角定理，即可求得 度数 【解答】解： C， 5， 5+35=60， 60=120 故答案是： 120 【点评】本题考查了等腰三角形的性质定理：等边对等角，以及圆周角定理 第 17 页（共 31 页） 17如图，正方形 边长为 6， E 为 的一点， ， F 为 的一点， ， P 为 一点，则 E 的最小值为 【考点】正方形的性质；轴对称 【分析】作 E 关于直线 对称点 E，连接 EF，则 EF 即为所求，过 F 作 G，在 E用勾股定理即可求出 EF 的长 【解答】解：作 E 关于直线 对称点 E，连接 EF，则 EF 即为所求， 过 F 作 G， 在 E， 2 3=1， ， 所以 EF= 故答案为： 【点评】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键 18如图，将 在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、 B、 C 均落在格点上 （ ） 面积等于 6 ； （ ）若四边形 所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明） 取格点 P，连接 点 A 画 平行线，与 于点 Q，连 接 交得点 D，过点 D 画 平行线，与 交得点 E，分别过点 D、E 画 平行线，与 交得点 G， F，则四边形 为所求 第 18 页（共 31 页） 【考点】作图 相似变换；三角形的面积；正方形的性质 【专题】计算题；压轴题 【分析】（ ） 底，高为 3 个单位，求出面积即可； （ ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点 P，连接 点 A 画 平行线，与 ，连接 交得点 D，过点 D 画 平行线，与 交得 点 E，分别过点 D、 E 画平行线，与 交得点 G， F，则四边形 为所求 【解答】解：（ ） 面积为： 43=6； （ ）如图，取格点 P，连接 点 A 画 平行线，与 于点 Q，连接 交得点 D，过点 D 画 平行线， 与 交得点 E，分别过点 D、 E 画 平行线，与 交得点 G， F， 则四边形 为所求 故答案为：（ ） 6；（ ）取格点 P，连接 点 A 画 平行线，与 于点 Q，连接 交得点 D，过点 D 画 平行线，与 交得点 E，分别过点 D、 E 画 平行线，与 交得点 G， F，则四边形 为所求 【点评】此题考查了作图位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键 三、解答题（本大题共 7小题，共 66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 第 19 页（共 31 页） 19解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【专题】计算题 【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，即可 【解答】解：不等式组 解不等式 ，得： x3， 解不等式 ，得： x 2， 原不等式组得解集为 2 x3 用数轴表示解集如图所示： 【点评】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集 不等式组的解集在数轴上 表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（， 向右画；， 向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时 “”， “”要用实心圆点表示； “ ”， “ ”要用空心圆点表示 20某校为了了解初三年级 1000 名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位： 成五组（ A： B： C： D： E：并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图 解答下列问题： （ 1）这次抽样调查的样本容量是 50 ，并补全频数分布直方图； （ 2） C 组学生的频率为 在扇形统计图中 D 组的圆心角是 72 度； 第 20 页（共 31 页） （ 3）请你估计该校初三年级体重超过 60学生大约有多少名？ 【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图 【分析】（ 1）根据 A 组的百分比和频数得出样本容量，并计算出 B 组的频数补全频数分布直方图即可； （ 2）由图表得出 C 组学生的频率，并计算出 D 组的圆心角即可； （ 3）根据样本估计总体即可 【解答】解：（ 1）这次抽样调查的样本容量是 48%=50， B 组的频数 =50 4 16 10 8=12， 补全频数分布直方图，如图： （ 2） C 组学生的频率是 D 组的圆心角 = ； （ 3）样本中体重超过 60学生是 10+8=18 人， 该校初三年级体重超过 60学生 = 人， 故答案为：（ 1） 50；（ 2） 72 【点评】此题考查频数分布直方图，关键是根据频数分布直方图得出信息进行计算 21（ 10 分）（ 2014威海）如图，在 ， C=90， 平分线交 点 E，过点 E 作 B 于点 F， O 是 外接圆 （ 1）求证： O 的切线 （ 2）过点 E 作 点 H，求证： F 【考点】切线的判定；全等三角形的判定与性质 【专题】证明 题 第 21 页（共 31 页） 【分析】（ 1）连接 于 角平分线，则有 E，就有 量代换有 么利用内错角相等，两直线平行，可得 C=90，所以 0，即 O 的切线； （ 2）连结 根据 明 由全等三角形的对应边相等即可得出 F 【解答】证明：（ 1）如图 1，连接 0， 圆 O 的直径 分 E， C=90， O 的切线； （ 2）如图 2，连结 C， H， H 80， 80， 在 ， ， F 第 22 页（共 31 页） 【点评】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可 22如图，为了测量某风景区内一座塔 高度，小明分别在塔的对面一楼房 楼底 C，楼顶 D 处，测得塔顶 A 的仰角为 45和 30，已知楼高 10m，求塔的高度（结果精确到 （参考数据： 【考点】解直角三角形的应用 【专题】应用题 【分析】过点 D 作 点 E，设塔高 AB=x，则 x 10） m，在 表示出 表示出 由 C 可建立方程，解出即可得出答案 【解答】解：过点 D 作 点 E，得矩形 设塔高 AB= x 10） m， 在 ， 0， 则 （ x 10）米， 在 ， 5， 则 B=x， 由题意得， （ x 10） =x， 第 23 页（共 31 页） 解得： x=15+5 答：塔的高度约为 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段，注意方程思想的运用 23某超市为了回馈广大新 老客户，元旦期间决定实行优惠活动 优惠一：非会员购物所有商品价格可获九折优惠； 优惠二：交纳 200 元会费成为该超市的一员，所有商品价格可优惠八折优惠 （ 1）若用 x（元）表示商品价格，请你用含 x 的式子分别表示两种购物优惠后所花的钱数； （ 2）当商品价格是多少元时，两种优惠后所花钱数相同； （ 3）若某人计划在该超市购买价格为 2700 元的一台电脑，请分析选择那种优惠更省钱？ 【考点】一元一次方程的应用；列代数式 【分析】（ 1）根据题意分别得出两种优惠方案的关系式即可； （ 2）利用（ 1）中所列关系式，进而解方 程求出即可； （ 3）将已知数据代入（ 1）中代数式求出即可 【解答】解：（ 1）由题意可得：优惠一：付费为： 惠二：付费为： 200+ （ 2）当两种优惠后所花钱数相同，则 00+ 解得： x=2000， 答：当商品价格是 2000 元时，两种优惠后所花钱数相同； （ 3） 某人计划在该超市购买价格为 2700 元的一台电脑， 优惠一：付费为： 430，优惠二：付费为： 200+360， 答：优惠二更省钱 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出 两种优惠方案的代数式是解题关键 第 24 页（共 31 页） 24如图，在平面直角坐标系中，已知 等边三角形，点 A 的坐标是（ 0， 4），点 B 在第一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点，连接 把 着点 A 按逆时针方向旋转，使边 合，得到 （ 1）求 B 的坐标； （ 2）当点 P 运动到点（ t， 0）时，试用含 t 的式子表示点 D 的坐标； （ 3）是否存在点 P，使 面积等于 ，若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标（直接写出结果即可） 【考点】几何变换综合题 【分析】（ 1）过点 B 作 y 轴于点 E，作 x 轴于点 F依题意得 E=2，利用勾股定理求出后可得点 B 的坐标设直线 解析式是 y=kx+b，把已知坐标代入可求解 （ 2）由 转得到， D， 0， 等边三角形，利用勾股定理求出 ， 0， 0利用三角函数求出 D D然后求出 后求出点 D 的坐标 （ 3）分三种情况进行讨论： 当 P 在 x 轴正半轴上时，即 t 0 时； 当 P 在 x 轴负半轴，但 D 在 x 轴上方时；即 t0 时 当 P 在 x 轴负半轴， D 在 x 轴下方时，即 t 时 综合上面三种情况即可求出符合条件的 t 的值 【解答】解：（ 1）如图 1， 过点 B 作 y 轴于点 E，作 x 轴于点 F 第 25 页（共 31 页） 由已知得： E=2， =2 ， 点 B 的坐标是（ 2 ， 2） 设直线 解析式是 y=kx+b（ k0）， 则有 ， 直线 解析式是 y= x+4， （ 2） 转得到， D， 0 等边三角形 如图 2， 过点 D 作 x 轴于点 H，延长 点 G，则 在 ， 0， 0， Dt = D t G=2 + t， + t 点 D 的坐标为（ 2 + t， 2+ t） （ 3）存在 假设存在点 P，在它的运动过程 中，使 面积等于 设点 P 为（ t， 0），下面分三种情况讨论： 当 t 0 时，如答图 2， P=t， t， 第 26 页（共 31 页） + t 面积等于 ， t（ 2+ t） = ， ， （舍去） 点 ， 0） 当 D 在 x 轴上时，如图 3， 根据锐角三角函数求出 P= ， 当 t0 时，如答图 1， P= t， t， F=2（ t） =2+ t 面积等于 ， t（ 2 t） = ， ， 点 ， 0），点 坐标为（ ， 0） 当 t 时， P= t， t， t 2 面积等于 ， （ t）（ 2 t） = ， ， （舍去） 点 ， 0） 第 27 页（共 31 页） 综上所述，点 P 的坐标分别为 ， 0）， ， 0）， ， 0）， ，0） 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数的意义，分类思想，解本题的关键是锐角三角函数的应用 25如图，抛物线 y= x2+bx+c 与直线 y= x+2 交于 C、 D 两点，其中点 C 在 y 轴上，点 D 的坐标为（ 3，）