高三数学一轮复习 第八章 立体几何 第四节 直线、平面垂直的判定与性质课件 理.ppt

理数课标版 第四节直线 平面垂直的判定与性质 1 直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义直线l与平面 内的 任意一条直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 2 直线与平面垂直的判定定理及性质定理 教材研读 2 直线与平面所成的角 1 定义 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面 就说它们所成的角是直角 一条直线和平面平行 或在平面内 就说它们所成的角是0 的角 如图所示 pao就是斜线ap与平面 所成的角 2 线面角 的范围 3 二面角的有关概念 1 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 4 平面与平面垂直的判定定理 1 2016浙江 2 5分 已知互相垂直的平面 交于直线l 若直线m n满足m n 则 a m lb m nc n ld m n答案c对于a m与l可能平行或异面 故a错 对于b d m与n可能平行 相交或异面 故b d错 对于c 因为n l 所以n l 故c正确 故选c 2 已知直线a b和平面 且a b a 则b与 的位置关系为 a b b b c b 或b d b与 相交答案c由a b a 知b 或b 但直线b不与平面 相交 3 如图 o为正方体abcd a1b1c1d1的底面abcd的中心 则下列直线中与b1o垂直的是 a a1db aa1c a1d1d a1c1答案d易知ac 平面bb1d1d a1c1 ac a1c1 平面bb1d1d 又b1o 平面bb1d1d a1c1 b1o 故选d 4 一平面垂直于另一平面的一条平行线 则这两个平面的位置关系是 答案垂直解析由线面平行的性质定理知 若一直线平行于一平面 则该面内必有一直线与已知直线平行 再根据 两平行线中一条垂直于一平面 另一条也垂直于该平面 得出结论 5 如图 已知pa 平面abc bc ac 则图中直角三角形的个数为 答案4解析题图中直角三角形为 pac pab bcp bca 故直角三角形的个数为4 考点一直线与平面垂直的判定与性质典例1如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 1 证明 cd ae 2 证明 pd 平面abe 考点突破 证明 1 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd cd 平面abcd pa cd ac cd pa ac a cd 平面pac 而ae 平面pac cd ae 2 由pa ab bc abc 60 可得ac pa e是pc的中点 ae pc 由 1 知 ae cd 且pc cd c ae 平面pcd 而pd 平面pcd ae pd pa 底面abcd pd在底面abcd内的射影是ad 又 ab ad ab pd 又ab ae a pd 平面abe 方法技巧证明直线与平面垂直的常用方法 1 利用线面垂直的判定定理 2 利用 两平行线中的一条与一平面垂直 则另一条也与这个平面垂直 3 利用 一条直线垂直于两个平行平面中的一个 则该直线与另一个平面也垂直 4 利用面面垂直的性质定理 1 1s是rt abc所在平面外一点 且sa sb sc d为斜边ac的中点 1 求证 sd 面abc 2 若ab bc 求证 bd 面sac 证明 1 如图所示 取ab的中点e 连接se de 在rt abc中 d e分别为ac ab的中点 de bc de ab sa sb sab为等腰三角形 se ab 又se de e ab 面sde 又sd 面sde ab sd 在 sac中 sa sc d为ac的中点 sd ac 又ac ab a sd 面abc 2 由于ab bc 则bd ac 由 1 知 sd 面abc 又bd 面abc sd bd 又sd ac d bd 面sac 考点二平面与平面垂直的判定与性质典例2 2016天津 17改编 如图 四边形abcd是平行四边形 平面aed 平面abcd ef ab ab 2 bc ef 1 bad 60 g为bc的中点 1 求证 fg 平面bed 2 求证 平面bed 平面aed 证明 1 取bd的中点o 连接oe og 在 bcd中 因为g是bc的中点 所以og dc且og dc 1 又因为ef ab ab dc ef 1 所以ef og且ef og 即四边形ogfe是平行四边形 所以fg oe 又fg 平面bed oe 平面bed 所以fg 平面bed 2 在 abd中 ad 1 ab 2 bad 60 由余弦定理可得bd 进而 adb 90 即bd ad 又因为平面aed 平面abcd bd 平面abcd 平面aed 平面abcd ad 所以bd 平面aed 又因为bd 平面bed 所以平面bed 平面aed 方法技巧面面垂直的证明方法 1 定义法 利用面面垂直的定义 即判定两平面所成的二面角为直二面角 将证明面面垂直问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题 2 定理法 利用面面垂直的判定定理 即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线 进而把问题转化成证明线线垂直加以解决 2 1如图所示 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab dc pad是等边三角形 已知ad 4 bd 4 ab 2cd 8 1 设m是pc上的一点 证明 平面mbd 平面pad 2 求四棱锥p abcd的体积 解析 1 证明 在 abd中 ad 4 bd 4 ab 8 ad2 bd2 ab2 ad bd 又平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad bd 平面abcd bd 平面pad 又bd 平面mbd 平面mbd 平面pad 2 过点p作po ad于o 平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad po 平面abcd 即po为四棱锥p abcd的高 又 pad是边长为4的等边三角形 po 4 2 在rt adb中 斜边ab上的高为 2 此即为梯形abcd的高 s梯形abcd 2 12 vp abcd 12 2 24 考点三平行与垂直的综合问题命题角度一平行与垂直关系的证明典例3 2016江苏 16 14分 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 d e分别为ab bc的中点 点f在侧棱b1b上 且b1d a1f a1c1 a1b1 求证 1 直线de 平面a1c1f 2 平面b1de 平面a1c1f 证明 1 在直三棱柱abc a1b1c1中 a1c1 ac 在 abc中 因为d e分别为ab bc的中点 所以de ac 于是de a1c1 又因为de 平面a1c1f a1c1 平面a1c1f 所以直线de 平面a1c1f 2 在直三棱柱abc a1b1c1中 a1a 平面a1b1c1 因为a1c1 平面a1b1c1 所以a1a a1c1 又因为a1c1 a1b1 a1a 平面abb1a1 a1b1 平面abb1a1 a1a a1b1 a1 所以a1c1 平面abb1a1 因为b1d 平面abb1a1 所以a1c1 b1d 又因为b1d a1f a1c1 平面a1c1f a1f 平面a1c1f a1c1 a1f a1 所以b1d 平面a1c1f 因为直线b1d 平面b1de 所以平面b1de 平面a1c1f 命题角度二平行与垂直关系中的探索性问题典例4如图 在四棱锥s abcd中 底面abcd是矩形 ad 2ab sa sd sa ab n是棱ad的中点 1 求证 ab 平面scd 2 求证 sn 平面abcd 3 在棱sc上是否存在一点p 使得平面pbd 平面abcd 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 解析 1 证明 因为abcd是矩形 所以ab cd 又因为ab 平面scd cd 平面scd 所以ab 平面scd 2 证明 因为ab sa ab ad sa ad a 所以ab 平面sad 又因为sn 平面sad 所以ab sn 因为sa sd 且n为ad的中点 所以sn ad 又因为ab ad a 所以sn 平面abcd 3 在棱sc上存在一点p 使得平面pbd 平面abcd 理由 如图 连接bd交nc于点f 在 snc中 过f作fp sn 交sc于点p 连接pb pd 因为sn 平面abcd 所以fp 平面abcd 又因为fp 平面pbd 所以平面pbd 平面abcd 在矩形abcd中 因为nd bc 且n为ad的中点 所以 在 snc中 因为fp sn 所以 所以在棱sc上存在一点p 使得平面pbd 平面abcd 此时 命题角度三平行与垂直关系中的折叠问题典例5 2016课标全国 19 12分 如图 菱形abcd的对角线ac与bd交于点o 点e f分别在ad cd上 ae cf ef交bd于点h 将 def沿ef折到 d ef的位置 1 证明 ac hd 2 若ab 5 ac 6 ae od 2 求五棱锥d abcfe的体积 解析 1 证明 由已知得ac bd ad cd 又由ae cf得 故ac ef 2分 由此得ef hd ef hd 所以ac hd 4分 2 由ef ac得 5分 由ab 5 ac 6得do bo 4 所以oh 1 d h dh 3 于是od 2 oh2 2 2 12 9 d h2 故od oh 由 1 知ac hd 又ac bd bd hd h 所以ac 平面bhd 于是ac od 又由od oh ac oh o 所以od 平面abc 8分 又由 得ef 五边形abcfe的面积s 6 8 3 10分 所以五棱锥d abcfe的体积v 2 12分 方法技巧平行与垂直的综合应用问题的处理策略 1 探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明 探索点存在问题 点多为中点或三等分点中的某一个 也可以根据相似知识取点 2 折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系及位置关系 3 1如图 在四棱锥p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分别是cd和pc的中点 求证 1 pa 底面abcd 2 be 平面pad 3 平面bef 平面pcd 证明 1 因为平面pad 底面abcd 且pa垂直于这两个平面的交线ad 所以pa 底面abcd 2 因为ab cd cd 2ab e为cd的中点 所以ab de 且ab de 所以四边形abed为平行四边形 所以be ad 又因为be 平面pad ad 平面pad 所以be 平面pad 3 因为ab ad 且四边形abed为平行四边形 所以be cd ad cd 由 1 知pa 底面abcd 所以pa cd 又pa ad a 所以cd 平面pad 所以cd pd 因为e和f分别是cd和pc的中点 所以pd ef 故cd ef 又因为ef 平面bef be 平面bef 且ef be e 所以cd 平面bef 又因为cd 平面pcd 所以平面bef 平面pcd 3 2如图 在长方形abcd中 ab 2 bc 1 e为cd的中点 f为ae的中点 现在沿ae将三角形ade向上折起 在折起的图形中解答下列问题 1 在线段ab上是否存在一点k 使bc 平面dfk 若存在 请证明你的结论 若不存在 请说明理由 2 若平面ade 平面abce 求证 平面bd