河北省石家庄市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（共 13 小题，每小题 5分，满分 60分） 1已知集合 A=x|x3， B=1， 2， 3， 4， 5则 AB=（ ） A 1， 2， 3 B 2， 3， 4 C 3， 4， 5 D 1， 2， 3， 4， 5 2函数 f（ x） =4 定义域为（ ） A（ ， 2） （ 2， +） B（ 2， 2） C 2， 2 D（ ， 2） 2， +） 3下列函数中，是奇函数且在区间（ 0， 1）内单调递减的函数是（ ） A B C y= y=已知向量 =（ 1， ）， =（ 2， 0），则 与 的夹角为（ ） A B C D 5下列函数在区间（ 0， +）上，随着 x 的增大，函数值的增长速度越来越慢的是（ ） A y=2x B y= y=x D y=三个数 大小关系为（ ） A 若 + ） = ，且 （ ， ），则 ） A B C D 8函数 f（ x） =x 7 的零点所在的区间为（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 9为得到函数 y=图象，只需将函数 y=2x+ ）的图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度 C向右平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 10已知 f（ x） =x+），（ A 0， 0， 0 ）的图象的一部分如图所示，则 f（ x）解析式是（ ） 第 2 页（共 15 页） A f（ x） =2x ） B f（ x） =2x+ ） C f（ x） =22x ） D f（ x） =22x+ ） 11设 f（ = R），则 f（ 的值是（ ） A B C D以上都不正确 12 f（ x） = ，则 f+f A 1+ B C 1 D 13已知函数 f（ x） = 若 a、 b、 c 互不相等，且 f（ a） =f（ b） =f（ c），则 a+b+c 的取值范围是（ ） A（ 1， 2015） B（ 1， 2016） C（ 2， 2016） D 2， 2016 二、填空题（共 5小题，每小题 5分，满分 20分） 14已知幂函数 y=则 f（ 4） = 15若角 的终边经过点 P（ 1， 2），则 16已知 个顶点的坐标分别为 A（ t， 0）， B（ 1， 2）， C（ 0， 3），则实数 t 的值为 17已知函数 f（ x） =x3+x，且 f（ 3a 2） +f（ a 1） 0，则实数 a 的取值范围是 18已知 f（ x） =x3+且 f（ 3a 2） +f（ a 1） 0，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（共 6小题，满分 70分） 第 3 页（共 15 页） 19全集 U=R，若集合 A=x|2x 9， B=x|1 x6 （ 1）求（ B； （ 2）若集合 C=x|a x2a+7，且 AC，求实数 a 的取值范围 20已知向量 =（ 1， =（ 2， 且 ，计算 ： 21如图，在 ，已知 ， ， 0， 上的中线 （ 1）设 = ， = ，用 ， 表示向量 ； （ 2）求中线 长 22已知函数 f（ x） =1 ，判断 f（ x）的单调性并运用函数的单调性定义证明 23已知函数 f（ x） =2+x） 1 （ 1）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）若不等式 f（ x） m+1 0 在 ， 上恒成立，求实数 m 的取值范围 24对于函数 f（ x） =x ax1， 4， aR （ 1）求函数 f（ x）的最小值 g（ a）； （ 2）是否存在实数 m、 n，同时满足以下条件： m n0； 当函数 g（ a）的定义域为 n，m时，值域为 m， n，若存在，求出所有满足条件的 m、 n 的值；若不存在，说明理由 第 4 页（共 15 页） 2015年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 13 小题，每小题 5分，满分 60分） 1已知集合 A=x|x3， B=1， 2， 3， 4， 5则 AB=（ ） A 1， 2， 3 B 2， 3， 4 C 3， 4， 5 D 1， 2， 3， 4， 5 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题；集合思想；定义法；集合 【分析】 进而根据集合交集及其运算，求出 AB 即可 【解答】 解： 集合 A=x|x3， B=1， 2， 3， 4， 5， 则 AB=3， 4， 5， 故选： C 【点评】 本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2函数 f（ x） =4 定义域为（ ） A（ ， 2） （ 2， +） B（ 2， 2） C 2， 2 D（ ， 2） 2， +） 【考点】 对数函数的定义域；函数的定义域及其求法 【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用 【分析】 由对数式的真数大于 0，然后求解一元二次不等式得答案 【解答】 解：由 4 0，得 4，即 2 x 2 函数 f（ x） =4 定义域为（ 2， 2） 故选： B 【点评】 本题考查函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题 3下列函数中，是奇函数且在区间（ 0， 1）内单调递减的函数是（ ） A B C y= y=考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 阅读型 【分析】 根据函数的奇函数的性质及函数的单调性的判断方法对四个选项逐一判断，得出正确选项 【解答】 解： A 选项的定义域不关于原点对称，故不正确； B 选项正确，是奇函数且在区间（ 0， 1）内单调递减； C 选项不正确，因为其在区间（ 0， 1）内单调递增； D 选项不正确，因为其在区间（ 0， 1）内单调递增 故选 B 【点评】 本题考查函数奇偶性与单调性的综合，求解本题的关键是掌握住判断函数的奇偶性的方法与判断函数的单调性的方法，本题中几个函数都是基本函数，对基本函数的性质的了解有助于快速判断出正确选项 4已知向量 =（ 1， ）， =（ 2， 0），则 与 的夹角为（ ） 第 5 页（共 15 页） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【专 题】 计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用 【分析】 由题意和向量的夹角公式可得夹角余弦值，则两向量夹角可求 【解答】 解： 向量 =（ 1， ）， =（ 2， 0）， 设 与 的夹角为 ， 由夹角公式可得 = = ， 又 0， ，可得夹角 = 故选： C 【点评】 本题考查利用数量积求向量的夹角，属基础题 5下列函数在区间（ 0， +）上，随着 x 的增大，函数值的增长速度越来越慢的是（ ） A y=2x B y= y=x D y=考点】 函数的图象 【专题】 计算题；函数思想；数形结合 法；函数的性质及应用 【分析】 根据基本指数函数，幂函数，对数函数的图象和特点即可判断 【解答】 解： y=2x， y=着 x 的增大，函数值的增长速度越来越快， y=x 随着 x 的增大，函数值的增长速度保持不变， y=着 x 的增大，函数值的增长速度越来越慢， 故选： D 【点评】 本题考查了基本初等函数的增加程度，关键是掌握基本函数的图象和性质，属于基础题 6三个数 大小关系为（ ） A 考点】 对数值大小的比较 【专题】 计算题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 由于 0 1， 1， 0，即可得出 【解答】 解： 0 1， 1， 0， 故选： A 【点评】 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7若 + ） = ，且 （ ， ），则 ） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数 第 6 页（共 15 页） 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 + ），再利用两角差的余弦公式求得 【解答】 解： + ） = ，且 （ ， ）， + （ ， ）， 则 + ） = = ， + ） =+ ） + ） = + = ， 故选： D 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题 8函数 f（ x） =x 7 的零点所在的区间为（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 二分法的定义 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数的单调性，零点的存在性定理求解特殊函数值即可判断 【解答】 解： 函数 f（ x） =7+2x， x（ 0， +）单调递增， f（ 1） =0 7+2= 5， f（ 2） =3 0， f（ 3） =1 0， 根据函数零点的存在性定理得出：零点所在区间是（ 2， 3） 故选： C 【点评】 本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理，难度不大，属于中档题 9为得到函数 y=图象，只需将函数 y=2x+ ）的图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度 C向右平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用诱导公式， y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：将函数 y=2x+ ）的图象向右平移 个单位， 即可得到函数 y=（ x ） + =2x ） =图象， 故选： C 【点评】 本题主要考查诱导公式， y=x+）的图象变换规律，属于基础题 第 7 页（共 15 页） 10已知 f（ x） =x+），（ A 0， 0， 0 ）的图象的一部分如图所示，则 f（ x）解析式是（ ） A f（ x） =2x ） B f（ x） =2x+ ） C f（ x） =22x ） D f（ x） =22x+ ） 【考点】 由 y=x+）的部分图象确 定其解析式 【专题】 转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式 【解答】 解：根据 f（ x） =x+）的部分图象，可得 A=2， = ， = ， 再根据五点法作图，可得 +=， = ， f（ x） =2x+ ）， 故选： B 【点评】 本题主要考查由函数 y=x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，属于基础题 11设 f（ = R），则 f（ 的值是（ ） A B C D以上都不正确 【考点】 三角函数的化简求值；函数的值 【专题】 转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 令 t= +得 f（ t）的解析式，可得 f（ 的值 【解答】 解：令 t= + 1 由 f（ = 得 f（ t） = ， f（ =f（ ） = = ， 故选： C 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的求值问题，属于基础题 第 8 页（共 15 页） 12 f（ x） = ，则 f+f A 1+ B C 1 D 【考点】 函数的值 【专题】 函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 根据分段函数的表达式进行转化求解即可 【解答】 解：由分段函数得 f=+ ） = ， f=+ + ） = + ） = ， f=f= ， 则 f+f 已知函数 f（ x） = 若 a、 b、 c 互不相等，且 f（ a） =f（ b） =f（ c），则 a+b+c 的取值范围是（ ） A（ 1， 2015） B（ 1， 2016） C（ 2， 2016） D 2， 2016 【考点】 分段函数的应用 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 0x1，可得 0， 1，且 x 时，函数 f（ x） =调递增； x时，函数 f（ x） =调递减 x 1， 0，且函数 f（ x） =调递增，不妨设 0 a b c，利用 f（ a） =f（ b） =f（ c），可得 a+b=1， 2015 c 1，即可得出 【解答】 解： 0x1， 0， 1，且 x 时，函数 f（ x） =调递增，函数值由 0 增加到 1； x 时，函数 f（ x） =调递减，函数值由 1 减少到 0； x 1， 0，且函数 f（ x） =调递增， 不妨设 0 a b c， f（ a） =f（ b） =f（ c）， a+b=1， 2015 c 1， a+b+c 的取值范围是（ 2， 2016） 故选： C 第 9 页（共 15 页） 【点评】 本题考查了函数的单调性与值域，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题 二、填空题（共 5小题，每小题 5分，满分 20分） 14已知幂函数 y=则 f（ 4） = 2 【考点】 幂函数的概念、解析式 、定义域、值域 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 把幂函数 y=入函数的解析式，求得 的值，即可得到函数解析式，从而求得 f（ 4）的值 【解答】 解： 已知幂函数 y=则 2= ， = ，故函数的解析式为 y f（ x） = ， f（ 4） = =2， 故答案为 2 【点评】 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求函数的值，属于基础题 15若角 的终边经过点 P（ 1， 2），则 【考点】 任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦 【专题】 计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 利用三角函数的定义，计算 的正弦与余弦值，再利用二倍角公式，即可求得结论 【解答】 解：由题意， | ， ， ， （ ） = ， 故答案为： 【点评】 本题考查三角函数的定义，考查二倍角公式，属于基础题 16已知 个顶点的坐标分别为 A（ t， 0）， B（ 1， 2）， C（ 0， 3），则实数 t 的值为 1 或 3 【考点】 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的斜率 第 10 页（共 15 页） 【专题】 计算题；转化思想；向量法；直线与圆 【分析】 由题意画出图形，分类利用向量数量积为 0 求得实数 t 的值 【解答】 解：如图， 由图可知，角 B 或角 C 为直角 当 B 为直角时， ， ，由 得，（ t 1）2=0，即 t= 1； 当 C 为直角时， ，由 得， t+3=0，即 t= 3 故答案为： 1 或 3 【点评】 本题考查两直线垂直的关系，考查了向量数量积判断两直线的垂直，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题 17已知函数 f（ x） =x3+x，且 f（ 3a 2） +f（ a 1） 0，则实数 a 的取值范围是 （ ，） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化进行求解即可 【解答】 解：函数的导数为 f（ x） =3 0，则函数 f（ x）为增函数， f（ x） = x=（ x3+x） = f（ x）， 函数 f（ x）是奇函数， 则 f（ 3a 2） +f（ a 1） 0 等价为 f（ 3a 2） f（ a 1） =f（ 1 a）， 则 3a 2 1 a， 即 a ， 故答案为：（ ， ） 【点评】 本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键 18已知 f（ x） =x3+且 f（ 3a 2） +f（ a 1） 0，则实数 a 的取值范围是 （ ，） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用 第 11 页（共 15 页） 【分析】 根据条件先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化求解即可 【解答】 解：由 0，得 1 x 1，即函数的定义域为（ 1， 1）， f（ x） =x3+x3+x+1） 1 x），则函数 f（ x）为增函数， f（ x） = x3+ x+1） 1+x） = x3+x+1） 1 x） = f（ x）， 函数 f（ x）为奇函数， 则不等式 f（ 3a 2） +f（ a 1） 0 等价为 f（ 3a 2） f（ a 1） =f（ 1 a）， 则不等式等价为 ，即 ，得 a ， 故答案为：（ ， ） 【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据条件求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键 三、解答题（共 6小题，满分 70分） 19全集 U=R，若集合 A=x|2x 9， B=x|1 x6 （ 1）求（ B； （ 2）若集合 C=x|a x2a+7，且 AC，求实数 a 的取值范围 【考点】 交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用 【专题】 计算题；转化思想； 定义法；集合 【分析】 （ 1）根据全集与补集、并集的定义，进行化简、计算即可； （ 2）根据子集的概念，列出不等式组 ，求出 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1） 全集 U=R，集合 A=x|2x 9， x|x 2 或 x9， 又 B=x|1 x6， （ B=x|x6 或 x9； （ 2） 集合 A=x|2x 9，集合 C=x|a x2a+7，且 AC， ， 解得 1a 2， 实数 a 的取值范围是 1a 2 【点评】 本题考查了集合的定义与应用问题，也考查了不等式组的解法与应用问题，是基础题目 20已知向量 =（ 1， =（ 2， 且 ，计算： 【考点】 平面向量共线（平 行）的坐标表示；同角三角函数基本关系的运用 【专题】 定义法；三角函数的求值；平面向量及应用 第 12 页（共 15 页） 【分析】 根据向量平行建立方程关系，代入进行化简即可 【解答】 解： ， 2，即 则 = = = 5 【点评】 本题主要考查三角函数式的化简和求值，根据向量共线的等价条件进行等量代换是解决本题的关键比较基础 21如图，在 ，已知 ， ， 0， 上的中线 （ 1）设 = ， = ，用 ， 表示向量 ； （ 2）求中线 长 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用 【分析】 （ 1）根据向量的平行四边形的法则即可求出， （ 2）根据向量的模的计算和向量的数量积即可求出 【解答】 解：（ 1） 设 = ， = ， 上的中线 = （ + ） = （ + ）， （ 2） = （ + ）， ， ， 0， | |2= （ | |2+| |2+2 ） = （ | |2+| |2+2| | | = （ 9+16+234 ）= ， | |= ， 故中线 长为 【点评】 本题考查了向量的加减几何意义以及向量的模的计算和向量的数量积公式，属于基础题 22已知函数 f（ x） =1 ，判断 f（ x）的单调性并运用函数的单调性定义证明 【考点】 函数单调性的判断与证明 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数的单调性的定义证明即可 【解答】 证明：函数 f（ x）的定义域是： x|x 0， 设 第 13 页（共 15 页） 则 f（ f（ =1 （ 1 ） = = 0， f（ x）在（ 0， +）递增 【点评】 本题考查了通过定义证明函数的单调性问题，是一道基础题 23已知函数 f（ x） =2+x） 1 （ 1）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）若不等式 f（ x） m+1 0 在 ， 上恒成立，求实数 m 的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；函数恒成立问题 【专题】