古赤峰市宁城县2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年内蒙古赤峰市宁城县高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=3， 5， 6， 8， B=1， 3， 5，那么 A B 等于（ ） A 1， 3， 5， 6， 8 B 6， 8 C 3， 5 D 1， 6， 8 2圆心为（ 1， 1）且过原点的圆的方程是（ ） A（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 B B（ x+1） 2+（ y+1） 2=1 C（ x+1） 2+（ y+1） 2=2 D（ x 1） 2+（ y 1） 2=2 3函数 的定义域为（ ） A（ 0， +） B（ 0， 2 C 1， 2 D（ 0， 2） 4设 a=2 3， b=3 ， c=（ ） A a b c B a c b C b a c D c a b 5一个几何体的顶点都在球面上，这个几何体的三视图如图所示，该球的表面积是（ ） A 19 B 30 C 38 D 6以 A（ 1， 3）， B（ 5， 1）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） A 3x y 8=0 B 3x+y+4=0 C 3x y+6=0 D 3x+y+2=0 第 2 页（共 19 页） 7函数 f（ x） = 是（ ） A偶函数，在（ 0， +）是增函数 B奇函数，在（ 0， +）是增函数 C偶函数，在（ 0， +）是减函数 D奇函数，在（ 0， +）是减函数 8设 m、 n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则（ ） A若 m n， n ，则 m B若 m ， ，则 m C若 m ， n ， n ，则 m D若 m n， n ， ，则 m 9某工厂从 1970 年的年产值 200 万元增加到 40 年后 2010 年的 1000 万元，假设每年产值增长率相同，则每年年产值增长率是（ x 为很小的正数时， 1+x） x， ） A 3% B 4% C 5% D 6% 10设函数 如果 f（ 1，则 取值范围是（ ） A（ 1， 1） B（ 1， 0） （ 1， +） C（ ， 1） （ 1， +） D（ ， 1） （ 0，1） 11在直线 y= 2 上有一点 P，它到点 A（ 3， 1）和点 B（ 5， 1）的距离之和最小，则点 P 的坐标是（ ） A（ 1， 2） B（ 3， 2） C（ 3， 2） D（ 5， 2） 12已知 f（ x） =（ x a）（ x b） 2，（ a b）的两个零点分别为 ， ，（ ）则（ ） A a b B a b C a b D a b 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13原点 O 在直线 l 上的射影为点 H（ 2， 1），则直线 l 的方程为 14若 f（ x） =2（ a 1） x+2 在（ ， 3上是减函数，则 a 的取值范围是 第 3 页（共 19 页） 15若函数 f（ x）的图象和 g（ x） =2x y=0 对称，则 f（ x）的解析式为 16定义侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱，在直四棱柱 （如图），当底面四边形 时，有 （注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形） 三、解答题：（共 6个题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共 70分） 17计算： （ 1） （ 2） 18已知全集为实数集 R，集合 A=x|y= + ， B=x|1 （ ）求 AB； （ ）已知集合 C=x|1 x a，若 CA，求实数 a 的取值范围 19如图，在 ， 上的高所在的直线方程为 x 2y+1=0， A 的平分线所在的直线方程为 y=0，若点 B 的坐标为（ 1， 2），求： （ ）点 A 和点 C 的坐标； （ ） 面积 第 4 页（共 19 页） 20如图，在直三棱柱 ， 0， C= E 是 点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 21已知直角坐标平面上点 Q（ 2， 0）和圆 C： x2+动点 M 到圆的切线长等于 | 2 倍 （ ）求出点 M 的轨迹 程 （ ）判断曲线 是否有公共点？请说明理由 22己知 f（ x）为奇函数， g（ x）为偶函数，且 f（ x） +g（ x） =211 x） （ 1）求函数 f（ x）及 g（ x）的解析式 ； （ 2）用函数单调性的定义证明：函数 g（ x）在（ 0， 1）上是减函数； （ 3）若关于 x 的方程 f（ 2x） =m 有解，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2015年内蒙古赤峰市宁城县高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=3， 5， 6， 8， B=1， 3， 5，那么 A B 等于（ ） A 1， 3， 5， 6， 8 B 6， 8 C 3， 5 D 1， 6， 8 【考点】 并集及其运算 【专题】 集合 【分析】 根据并集的概念求解即可 【解答】 解： 集合 A=3， 5， 6， 8， B=1， 3， 5， A B=1， 3， 5， 6， 8|， 故选 A 【点评】 本题主要考查并集的概念，属于基础题 2圆心为（ 1， 1）且过原点的圆的方程是（ ） A（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 B B（ x+1） 2+（ y+1） 2=1 C（ x+1） 2+（ y+1） 2=2 D（ x 1） 2+（ y 1） 2=2 【考点】 圆的标准方程 【专题】 计算题；直线与圆 【分析】 利用两点间距离公式求 出半径，由此能求出圆的方程 【解答】 解：由题意知圆半径 r= ， 圆的方程为（ x 1） 2+（ y 1） 2=2 故选： D 【点评】 本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题 3函数 的定义域为（ ） A（ 0， +） B（ 0， 2 C 1， 2 D（ 0， 2） 【考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用 第 6 页（共 19 页） 【分析】 要使函数 有意义，则 ，解不等式组即可得答案 【解答】 解：要使函数 有意义， 则 ， 解得： 0 x2 函数 的定义域为：（ 0， 2 故选： B 【点评】 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了对数的运算性质，是基础题 4设 a=2 3， b=3 ， c=（ ） A a b c B a c b C b a c D c a b 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用指数函数、对数函数的性质比较大小 【解答】 解： a=2 3= ， 1=30 b=3 =2， c= a b c 故选： A 【点评】 本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的性质的合理运用 5一个几何体的顶点都在球面上，这个几何体的三视图如图所示，该球的表面积是（ ） 第 7 页（共 19 页） A 19 B 30 C 38 D 【考点】 球内接多面体；简单空间图形的三视图；球的体积和表面积 【专题】 计算题；方程思 想；综合法；立体几何 【分析】 利用三视图判断几何体的特征，然后求出几何体的外接球的半径，即可求解球的表面积 【解答】 解：三视图复原的几何体是长方体，三度分别为： 3， 2， 5； 长方体的外接球的直径就是，长方体的体对角线的长度，所以外接球的直径为： = 所以外接球的半径为： 长方体的外接球的表面积为： 4 =138 故选： C 【点评】 本题考查三视图与几何体的关系，几何体的外接球的表面积的求法，求解外接球的半径是解题的关键 6以 A（ 1， 3）， B（ 5， 1）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） A 3x y 8=0 B 3x+y+4=0 C 3x y+6=0 D 3x+y+2=0 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【专题】 计算题 【分析】 求出 中点坐标，求出 中垂线的斜率，然后求出中垂线方程 【解答】 解：因为 A（ 1， 3）， B（ 5， 1）， 所以 中点坐标（ 2， 2），直线 斜率为： = ， 所以 中垂线的斜率为： 3， 所以以 A（ 1， 3）， B（ 5， 1）为端点的线段的垂直平分线方程是 y 2= 3（ x+2），即 3x+y+4=0 故选 B 【点评】 本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力 7函数 f（ x） = 是（ ） A偶函数，在（ 0， +） 是增函数 B奇函数，在（ 0， +）是增函数 C偶函数，在（ 0， +）是减函数 D奇函数，在（ 0， +）是减函数 【考点】 奇偶性与单调性的综合 第 8 页（共 19 页） 【专题】 整体思想；演绎法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数奇偶性的定义和函数单调性的性质进行判断即可 【解答】 解： f（ x） = ， f（ x） = = = f（ x）， 则函数 f（ x）是奇函数， y=e y= f（ x） = 为增函数， 故选： B 【点评】 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据函数奇偶性的定义和单调性的性质是解决本题的关键 8设 m、 n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则（ ） A若 m n， n ，则 m B若 m ， ，则 m C若 m ， n ， n ，则 m D若 m n， n ， ，则 m 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【专题】 空间位置关系 与距离 【分析】 根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论 【解答】 解： A若 m n， n ，则 m 或 m或 m ，故 A 错误 B若 m ， ，则 m 或 m或 m ，故 B 错误 C若 m ， n ， n ，则 m ，正确 D若 m n， n ， ，则 m 或 m或 m ，故 D 错误 故选： C 【点评】 本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理 9某工厂从 1970 年的年产值 200 万元增加到 40 年后 2010 年的 1000 万元，假设每年产值增长率相同，则每年年产值增长率是（ x 为很小的正数时， 1+x） x， ） A 3% B 4% C 5% D 6% 第 9 页（共 19 页） 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【专题】 计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 设每年的年产值增长率是 x，由题意可得： 200（ 1+x） 40=1000，化为 401+x） =可得出 40x= x 即可得出答案 【解答】 解：设每年的年产值增长率是 x， 由题意可得： 200（ 1+x） 40=1000， 则 401+x） = 1+x） x， 40x= x= ， x= =% 故选： B 【点评】 本题考查了指数函数与对数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10设函数 如果 f（ 1，则 取值范围是（ ） A（ 1， 1） B（ 1， 0） （ 1， +） C（ ， 1） （ 1， +） D（ ， 1） （ 0，1） 【考点】 分段函数的应用 【专题】 计算题；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 根据分段函数的表达式，进行求解即可 【解答】 解：若 0，由 f（ 1 得 = 1 得 1， 若 ，由 f（ 1 得 1 1 得 2， 即 1，则 1， 综上 1 或 1， 故选： C 【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式进行讨论求解即可 第 10 页（共 19 页） 11在直线 y= 2 上有一点 P，它到点 A（ 3， 1）和点 B（ 5， 1）的距离之和最小，则点 P 的坐标是（ ） A（ 1， 2） B（ 3， 2） C（ 3， 2） D（ 5， 2） 【考点】 两条直线的交点坐标 【专题】 计算题；转化思想 【分析】 若直线 y= 2 上有一点 P，它到点 A（ 3， 1）和点 B（ 5， 1）的距离之和最小，则 P 点是点A（ 3， 1）关于直线 y= 2 的对称点 A（ 3， 5）与点 B（ 5， 1）确定的直线 AB 与直线 y= 2 的交点 【解答】 解：点 A（ 3， 1）关于直线 y= 2 的对称点 A（ 3， 5） 若直线 y= 2 上有一点 P，它到点 A（ 3， 1）和点 B（ 5， 1）的距离之和最小， 则 P 点为直线 AB 与直线 y= 2 的交点 直线 AB 的方程为： x 2y 7=0 故 P 点坐标为（ 3， 2） 故选 B 【点评】 本题考查的知识点是两条件直线的交点坐标，直线的两点式方程，其中根据对称的思想，将问题转化为直线交点问题是解答本题的关键 12 已知 f（ x） =（ x a）（ x b） 2，（ a b）的两个零点分别为 ， ，（ ）则（ ） A a b B a b C a b D a b 【考点】 二次函数的性质；函数零点的判定定理 【专题】 数形结合；综合法；函数的性质及应用 【分析】 可设 g（ x） =（ x a）（ x b），从而得到 a， b 是函数 g（ x）的两个零点，可看出 f（ x）的图象是由 g（ x）的图象向下平移 2 个单位得到，从而便可得出 a b 【解答】 解：设 g（ x） =（ x a）（ x b），则 a， b 是 g（ x）的两个 零点； 函数 f（ x）的图象可以看成 g（ x）图象向下平移 2 个单位得到，且 a b， ，如图所示： 第 11 页（共 19 页） a b 故选 B 【点评】 考查函数零点的概念，以及沿 y 轴方向的平移变换，要熟悉二次函数的图象 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13原点 O 在直线 l 上的射影为点 H（ 2， 1），则直线 l 的方程为 2x y+5=0 【考点】 两条直线垂直的判定 【专题】 计算题；直线与圆 【分析】 根据题意，直线 l 是经过点 H 且与 直 的直线因此求出 斜率，从而得到 l 的斜率，由直线的点斜式方程得到 l 的方程，再化成一般式即可 【解答】 解：直线 斜率为 k= = 原点 O 在直线 l 上的射影为点 H（ 2， 1）， 直线 l 与 相垂直，可得 l 的斜率 =2，且点 H 是直线 l 上的点 由直线方程的点斜式，得 l 的方程为 y 1=2（ x+2）， 整理得： 2x y+5=0 故答案为 ： 2x y+5=0 【点评】 本题给出原点在直线上的射影点，求直线的方程，着重考查了直线的方程、直线的位置关系等知识，属于基础题 14若 f（ x） =2（ a 1） x+2 在（ ， 3上是减函数，则 a 的取值范围是 4， +） 【考点】 函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明 第 12 页（共 19 页） 【专题】 函数思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 根据一元二次函数单调性的性质进行求解即可 【解答】 解：若 f（ x） =2（ a 1） x+2 在（ ， 3上是减函数， 则函数的对称轴 x= =a 13， 即 a4， 故答案为： 4， +）； 【点评】 本题主要考查函数单调性的应用，根据一元二次函数单调性的性质建立对称轴和单调区间的关系是解决本题的关键 15若函数 f（ x）的图象和 g（ x） =2x y=0 对称，则 f（ x）的解析式为 y=x 0） 【考点】 反函数；函数解析式的求解及常用方法 【专题】 函数思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 根据反函数的定义进行求解即可 【解答】 解： 函数 f（ x）的图象和 g（ x） =2 x y=0 对称， 函数 f（ x）与 g（ x）互为反函数， 则 f（ x） =x 0）； 故答案为： y=x 0）； 【点评】 本题主要考查函数解析式的求解，根据图象关于 y=x 对称，得到两个函数是反函数是解决本题的关键 16定义侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱，在直四棱柱 （如图），当底面四边形 ，有 （注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形） 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系 第 13 页（共 19 页） 【专题】 证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离 【分析】 根据题意，由 合直棱柱的性质，分析底面四边形 到 而验证即可得答案 【解答】 解： 四棱柱 直棱柱， 则 平面 又由 则有 反之，由 可得到 故答案为： 【点评】 本题主要通过开放的形式来考 查线线，线面，面面垂直关系的转化与应用 三、解答题：（共 6个题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共 70分） 17计算： （ 1） （ 2） 【考点】 对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值 【专题】 计算题；规律型；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）利用平方和公式化简求解即可 （ 2）利用对数运算法则化简求解即可 【解答】 解：（ 1） （ 2） = = 【点评】 本题考查有理指数幂以及对数运算法则的化简求解，考查计算能力 第 14 页（共 19 页） 18已知全集为实数集 R，集合 A=x|y= + ， B=x|1 （ ）求 AB； （ ）已知集合 C=x|1 x a，若 CA，求实数 a 的取值范围 【考点】 集合的包含关系判断及应用；交集及其运算 【专题】 计算题；集合思想；综合法；集合 【分析】 （ ）化简集合 A， B，即可求 AB； （ ）已知集合 C=x|1 x a，若 CA，分类讨论求实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ ） A=x|1x3， B=x|x 2 所以 AB=x|2 x3 （ ） 当 a1 时， C=，此时 CA； 当 a 1 时， CA，则 1 a3 综合 ，可得 a 的取值范围是（ ， 3 【点评】 本题考查集合的关系与运算，考查学生的计算能力，属于中档题 19如图，在 ， 上的高所在的直线方程为 x 2y+1=0， A 的平分线所在的直线方程为 y=0，若点 B 的坐标为（ 1， 2），求： （ ）点 A 和点 C 的坐标； （ ） 面积 【考点】 点到直线的距离公式；待定系数法求直线方程 【专题】 方程思想；综合法；直线与圆 【分析】 （ ）先求出 A 点的坐标，求出 斜率，得到直线 方程，从而求出 B 点的坐标；（ ）求出 |长，再求出 A 到 距离，从而求出三角形的面积即可 第 15 页（共 19 页） 【解答】 解：（ ）由 得顶点 A（ 1， 0） 又 斜率 =1 x 轴是 A 的平分线， 故 斜率为 1， 在直线的方程为 y=（ x+1） 已知 的高所在直线的方程为 x 2y+1=0，故 斜率为 2， 在的直线方程为 y 2= 2（ x 1） 解 ， 得顶点 C 的坐标为（ 5， 6） （ ） 又直线 方程是 2x+y 4=0 A 到直线的距离 所以 面积 = 【点评】 本题考察了求直线的斜率、方程问题，考察点到直线的距离公式，是一道中档题 20如图，在直三棱柱 ， 0， C= E 是 点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 【考点】 直线与 平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】 空间位置关系与距离 【分析】 对（ I），根据三角形的中位线平行于底边，在平面内作平行线，再由线线平行 线面平行 对（ 根据直棱柱的性质，侧棱与侧面都与底面垂直，可证平面内的 直； 利用平面几何与三角函数知识，证 直；再由线线垂直 线面垂直 【解答】 证明：（ I） 连接 点 O，连接 第 16 页（共 19 页） O 为中点 面 面 平面 （ ） C， E 是 中点， 直三棱柱 面 平面 平面 面 矩形 ， ， ， 又 ， 平面 点评】 本题考查线面垂直的判定、线面平行的判定证明（ I）也可由面面平行证线面平行，即取 ，证平面 平面 证明（ ，利用三角函数知识与平面几何知识证线线垂直也是常用方法 21已知直角坐标平面上点 Q（ 2， 0）和圆 C： x2+动点 M 到圆的切线长等于 | 2 倍 （ ）求出点 M 的轨迹 程 第 17 页（共 19 页） （ ）判断曲线 C 是否有公共点？请说明理由 【考点】 轨迹方程 【专题】 综合题；方程思想；综合法；直线与圆 【分析】 （ ）由题意 ，则 ，整理后即可得到答案 （ ）判断圆心距与距离和的关系，即可得出结论 【解答】 解：（ ）如图所示，过点 M 的直线与圆相切于点 P， 设 M（ x， y），连结 ， 若 ，则