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文档简介
课时达标检测(四十七) 抛 物 线练基础小题强化运算能力1若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析:选D依题意,点P到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛物线2设抛物线y212x上一点P到y轴的距离是1,则点P到该抛物线焦点的距离是()A3 B4 C7 D13解析:选B依题意,点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x3的距离,即等于314.3若抛物线y22x上一点M到它的焦点F的距离为,O为坐标原点,则MFO的面积为()A. B. C. D.解析:选B由题意知,抛物线的准线方程为x.设M(a,b),由抛物线的定义可知,点M到准线的距离为,所以a1,代入抛物线方程y22x,解得b,所以SMFO.4设F为抛物线y22x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为ABC的重心,则|的值为()A1 B2 C3 D4解析:选C依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点F,所以x1x2x33,则|x3(x1x2x3)3.5直线l过抛物线x22py(p0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是6,AB的中点到x轴的距离是1,则此抛物线方程是_解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|y1y2p2p6,p4.即抛物线方程为x28y.答案:x28y练常考题点检验高考能力一、选择题1抛物线y22px(p0)的准线截圆x2y22y10所得弦长为2,则p()A1 B2 C4 D6解析:选B抛物线y22px(p0)的准线为x,而圆化成标准方程为x2(y1)22,圆心M(0,1),半径r,圆心到准线的距离为,所以22()2,解得p2.2已知抛物线C:y2x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|x0,则x0()A1 B2 C4 D8解析:选A由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0,根据抛物线的定义可得x0|AF|x0,解得x01,故选A.3已知抛物线y28x的焦点为F,直线yk(x2)与此抛物线相交于P,Q两点,则()A. B1 C2 D4解析:选A设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可知直线yk(x2)过抛物线焦点(2,0),所以|PF|x12,|QF|x22,则.联立直线与抛物线方程消去y,得k2x2(4k28)x4k20,可知x1x24,故.4设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析:选C由已知得抛物线的焦点F,设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则,.由已知得,0,即y8y0160,因而y04,M.由|MF|5得,5,又p0,解得p2或p8,所以抛物线C的方程为y24x或y216x.5(2017长春模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于()A. B. C. D.解析:选A记抛物线y22px的准线为l,如图,作AA1l,BB1l,ACBB1,垂足分别是A1,B1,C,则有cosABB1,即cos 60,由此得.6已知抛物线y22px(p0)与圆(xa)2y2r2(a0)有且只有一个公共点,则()Arap BrapCrap Drap解析:选B当r0)与抛物线y22px(p0)要么没有公共点,要么有两个或四个公共点,与题意不符;当ra时,易知圆与抛物线有两个公共点,与题意不符;当ra时,圆与抛物线交于原点,要使圆与抛物线有且只有一个公共点,必须使方程(xa)22pxr2(x0)有且仅有一个解x0,可得ap.二、填空题7抛物线y22px(p0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10,则该抛物线的焦点到准线的距离为_解析:设抛物线的准线方程为x(p0),则根据抛物线的性质有610,解得p8,所以抛物线的焦点到准线的距离为8.答案:88(2017邢台模拟)已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为_解析:由题意知,抛物线的准线l:y1,过A作AA1l于A1,过B作BB1l于B1,设弦AB的中点为M,过M作MM1l于M1.则|MM1|.|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|BF|6,则|AA1|BB1|6,即2|MM1|6,所以|MM1|3,故M到x轴的最短距离为312.答案:29(2015荆门质检)已知F是抛物线y24x的焦点,A,B是抛物线上两点,若AFB是正三角形,则AFB的边长为_解析:由题意可知A,B两点一定关于x轴对称,且AF,BF与x轴夹角均为30,由于y24x的焦点为(1,0),由化简得y24y40,解得y24或y24,所以AFB的边长为84或84.答案:84或8410经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A,B两点,如果A,B在抛物线C的准线上的射影分别为A1,B1,那么A1FB1为_解析:由抛物线定义可知|BF|BB1|,|AF|AA1|,故BFB1BB1F,AFA1AA1F.又OFB1BB1F,OFA1AA1F,故BFB1OFB1,AFA1OFA1,所以OFA1OFB1,即A1FB1.答案:三、解答题11已知抛物线y22px(p0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)若过M作MNFA,垂足为N,求点N的坐标解:(1)抛物线y22px的准线为x,于是45,p2,抛物线方程为y24x.(2)由(1)知点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2)又F(1,0),kFA.MNFA,kMN.FA的方程为y(x1),MN的方程为yx2,联立解方程组得x,y,点N的坐标为.12.如图,已知抛物线C:y22px(p0),焦点为F,过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A,M两点,设A(x1,y1),M(x2,y2)(1)若y1y28,求抛物线C的方程;(2)若直线AF与x轴不垂直,直线AF交抛物线C于另一点B,直线BG交抛物线C于另一点N.求证:直线AB与直线MN斜率之比为定值解:(1)设直线AM的方程为
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