2016年陕西省安康市高考数学三模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年陕西省安康市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的 . 1若集合 P=x|4 x 10， Q=x|3 x 7，则 P Q 等于（ ） A x|3 x 7B x|3 x 10C x|3 x 4D x|4 x 7 2设复数 z=2+i，则复数 z（ 1 z）的共轭复数为（ ） A 1 3 1+31+31 3i 3 的 值为（ ） A 2B 1C 2D 1 4如图，在平行四边形 ， E 为 中点，且 =x +y ，则（ ） A x= 1， y= B x=1， y= C x= 1， y= D x=1， y= 5已知函数 f（ x） = x ）（ 0）的部分图象如图所示，则函数 g（ x） =x+ ）的图象的一条对称轴方程为（ ） A x= B x= C x= D x= 6在等差数列 ， a3+a6=，且 ，则 取值范围是（ ） A（ ， 9B 9， +） C（ ， 9） D（ 9， +） 7若 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+3y 的最大值为（ ） A 2B 3C 11D 18 8执行如图所示的程序框图，则输出的 S 等于（ ） 第 2 页（共 18 页） A B C D 9一直三棱柱的每条棱长都是 3，且每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的半径为（ ） A B C D 3 10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 72B 80C 86D 92 11已知双曲线 M： =1（ b 0）的左、右焦点分别为 点 双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点 P，若点 P 在 焦点为（ 0， 1）的抛物线 y=双曲线 M 的离心率为（ ） A B C D 12设函数 f（ x） =3|x 1| 2x+a， g（ x） =2 在区间（ 0， 3）上， f（ x）的图象在 g（ x）的图象的上方，则实数 a 的取值范围为（ ） A（ 2， +） B 2， +） C（ 3， +） D 3， +） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 . 13某公司 13 个部门接受的快递的数量如茎叶图所示，则这 13 个部门接收的快递的数量的中位数为 14椭圆 （ m 1）的短轴长为 m，则 m= 第 3 页（共 18 页） 15若函数 f（ x） =（ a+2） x 为奇函数，则曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 16记 n表 示正整数 n 的个位数，设 前 n 项和， 2n， bn=n，则 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17如图，在四边形 ， ， （ 1）求 （ 2）求 长 18已知某中学 高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表： X 人数 Y A B C A 14 40 10 B a 36 b C 28 8 34 若抽取学生 n 人，成绩分为 A（优秀）、 B（良好）、 C（及格）三个等级，设 x， y 分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为 A 等级的共有 14+40+10=64 人，数学成绩为B 等级且地理成绩为 C 等级的有 8 人已知 x 与 y 均为 A 等级的概率是 （ 1）设在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 a， b 的值； （ 2）已知 a8， b6，求数学成绩为 A 等级的人数比 C 等级的人数多的概率 19如图，在四棱锥 A ， 等边三角形，平面 平面 ，四边形 高为 的等腰梯形， O 为 中点 （ 1）求证： （ 2）求 O 到平面 距离 第 4 页（共 18 页） 20已知圆 M 与圆 N：（ x ） 2+（ y+ ） 2=于直线 y=x 对称，且点 D（ ， ）在圆 M 上 （ 1）判断圆 M 与圆 N 的位置关系 （ 2）设 P 为圆 M 上任意一点， A（ 1， ） B（ 1， ）， 与 不共线， 交 G，求证 面积之比为定值 21设函数 f（ x） = 2x， g（ x） = （ k 0） （ 1）求函数 f（ x）的单调增区间； （ 2）若对任意 0， ，总存在 ， 1，使得 f（ g（ 求实数 k 的取值范围 四 2、 23、 24 三题中任选一题作答 能做所选的题目 则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号 .选修 4何证明选讲 22如图， 边上的点 C、 D、 E 都在 O 上，已知 B （ l）求证：直线 O 相切； （ 2）若 ，且 ，求 长 选修 4标系与参数方程 23在极坐标中，直线 l 的方程为 （ 34=2，曲线 C 的方程为 =m（ m 0） （ 1）求直线 l 与 极轴的交点到极点的距离； （ 2）若曲线 C 上恰好存在两个点到直线 l 的距离为 ，求实数 m 的取值范围 选修 4等式选讲 24已知不等式 |x+2|+|x 2 丨 10 的解集为 A （ 1）求集合 A； （ 2）若 a， bA， xR+，不等式 a+b（ x 4）（ 9） +m 恒成立，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2016 年陕西省安康市高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题 共 12小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的 . 1若集合 P=x|4 x 10， Q=x|3 x 7，则 P Q 等于（ ） A x|3 x 7B x|3 x 10C x|3 x 4D x|4 x 7 【考点】 并集及其运算 【分析】 直接利用集合的并集的运算法则，求出 P Q 即可 【解答】 解：集合 P=x|4 x 10， Q=x|3 x 7，则 P Q=x|3 x 10， 故选： B 2设复数 z=2+i，则复数 z（ 1 z）的共轭复数为（ ） A 1 3 1+31+31 3i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把 z=2+i 代入 z（ 1 z），利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得复数 z（ 1 z）的共轭复数 【解答】 解： z=2+i， z（ 1 z） =（ 2+i）（ 1 i） = 1 3i， 复数 z（ 1 z）的共轭复数为 1+3i 故选： B 3 的值为（ ） A 2B 1C 2D 1 【考点】 运用诱导公式化简求值 【分析】 由条件利用诱导公式进行 化简所给的式子，可得结果 【解答】 解： = = =1， 故选： B 4如图，在平行四边形 ， E 为 中点，且 =x +y ，则（ ） A x= 1， y= B x=1， y= C x= 1， y= D x=1， y= 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 利用平面向量的三角形法则用 表示出 【解答】 解： 四边形 平行四边形， ， ， E 是 点， = = 第 6 页（共 18 页） = = x=1， y= 故选 D： 5已知函数 f（ x） = x ）（ 0）的部分图象如图所示，则函数 g（ x） =x+ ）的图象的一 条对称轴方程为（ ） A x= B x= C x= D x= 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由周期求出 ，可得 g（ x）的解析式，再根据余弦函数的图象的对称性求得 g（ x）的图象的对称轴方程 【解答】 解：根据函数 f（ x） = x ）（ 0）的部分图象，可得 = ， =2， 则函数 g（ x） =x+ ） =2x+ ），令 2x+ =得 x= ， kZ， 故函数 g（ x）的图象的对称轴方程为 x= ， kZ，当 k=1 时， x= ， 故选： B 6在等差数列 ， a3+a6=，且 ，则 取值范围是（ ） A（ ， 9B 9， +） C（ ， 9） D（ 9， +） 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由等差数列的性质得 a3+a6=a4+而 ，又 ，进而 d ，由此能求出 【解答】 解： 在等差数列 ， a3+a6=，且 大于 1， 又 a3+a6=a4+ ，又 ， 5 3d1， d ， a8=d5+4=9 取值范围是 9， +） 故选： B 第 7 页（共 18 页） 7若 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+3y 的最大值为（ ） A 2B 3C 11D 18 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值 【解答】 解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分）， 由 z=2x+3y，得 y= ， 平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 C 时，直线 y= 的截距最大，此时 z 最大 由 ，解得 ， 即 C（ 3， 4） 此时 z 的最大值为 z=23+34=6+12=18， 故选： D 8执行如图所示的程序框图，则输出的 S 等于（ ） A B C D 【考点】 程序框图 第 8 页（共 18 页） 【分析】 根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 S= 时，满足条件S 1，退出循环，输出 S 的值为 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=600， i=1 执行循环体， S=600， i=2 不满足条件 S 1，执行循环体， S=300， i=3 不满足条件 S 1，执行循环体， S=100， i=4 不满足条件 S 1，执行循环体， S=25， i=5 不满足条件 S 1，执行循环体， S=5， i=6 不满足条件 S 1，执行循环体， S= ， i=7 满足条件 S 1，退出循环，输出 S 的值为 故选： C 9一直三棱柱的每条棱长都是 3，且每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的半径为（ ） A B C D 3 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，利用勾股定理求出球的半径 【解答】 解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的 球心，球心与顶点的连线长就是半径， 所以， r= = 故选： A 10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 72B 80C 86D 92 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 利用三视图复原的几何体，画出图形，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可 【解答】 解：如图：三视图复原的几何体是五棱柱 其中底面面积 S= =14， 第 9 页（共 18 页） 底面周长 C=1+4+5+1+5=16，高为 h=4， 表面积为： 2S+8+64=92 故选： D 11已知双曲线 M： =1（ b 0）的左、右焦点分别为 点 双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点 P，若点 P 在焦点为（ 0， 1）的抛物线 y=双曲线 M 的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据条件求出交点坐标，结合点与抛物线的关系建立方程进行求解即可 【解答】 解：过点 c， 0）与双曲线的一条渐近线 y=x 平行的直线方程为 y=b（ x+c）， 与另一条渐近线 y= 立得 得 ，即 P（ ， ）， 由 y=得 y，则焦点坐标为（ 0， ）， 由 =1 得 m= ， = ，即 c=8b， c2=， ，即 e= = ， 故选： C 12设函数 f（ x） =3|x 1| 2x+a， g（ x） =2 在区间（ 0， 3）上， f（ x）的图象在 g（ x）的图象的上方，则实数 a 的取值范围为（ ） A（ 2， +） B 2， +） C（ 3， +） D 3， +） 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 由题意可得 3|x 1| 2x+a 2 x 3 上恒成立，即有 a 2 x 3|x 1|的最大值，由二次函数和指数函数的最值的求法，可得 x=1 时，右边取得最大值，即可得到 a 的范围 【解答】 解：由题意可得 3|x 1| 2x+a 2 x 3 上恒成立， 第 10 页（共 18 页） 即有 a 2 x 3|x 1|的最大值， 由 h（ x） =2 x 3|x 1|=3（ x 1） 2 3|x 1|， 当 x=1（ 0， 3）时， h（ x）取得最大值，且为 3 0 1=2， 即有 a 2 故选 A 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 . 13某公司 13 个部门接受的快递的数量如茎叶图所示，则这 13 个部门接收的快递的数量的中位数为 10 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 利用茎图的性质和中位数的定义直接求解 【解答】 解：由茎叶图的性质得： 某公司 13 个部门接受的快递的数量按从小到大的顺序排的第 7 个数为中位数， 第 7 个数是 10， 这 13 个部门接收的快递的数量的中位数为 10 故答案为： 10 14椭圆 （ m 1）的短轴长为 m，则 m= 2 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 根据题意，将椭圆 的方程变形为标准方程可得 + =1，比较 与 1的大小可得该椭圆的焦点在 y 轴上，且 b= ，进而依据题意可得 m=2 ，解可得 可得答案 【解答】 解：根据题意，椭圆 的方程可以变形为 + =1， 又由 m 1，则 1， 故该椭圆的焦点在 y 轴上，则 b= ， 又由该椭圆的短轴长为 m，则有 m=2 ， 解可得 m=2； 故答案为： 2 15若函数 f（ x） =（ a+2） x 为奇函数，则曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y=8x+4 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 第 11 页（共 18 页） 【分析】 由奇函数的定义可得 f（ x） = f（ x），求得 a=0，求出 f（ x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程 【解答】 解：函数 f（ x） =（ a+2） x 为奇函数， 可得 f（ x） = f（ x），即有（ a+2） 2x=（ a+2） x3+2x， 可得 a=0， f（ x） =2x， f（ x）的导数为 f（ x） =6， 可得 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 6+2=8，切点为（ 1， 4）， 即有 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y+4=8（ x+1）， 即为 y=8x+4 故答案为： y=8x+4 16记 n表示正整数 n 的个位数，设 前 n 项和， 2n， bn=n，则 24n+1+20n 2 【考点】 数列的求和 【分析】 先判断出 周期为 4，再根据的数列的求和公式计算即可 【解答】 解： 2n， a1=， a2=， a3=， a4=， 周期为 4， 1+2+n=（ a1+（ 21+22+24n） =（ 2+4+8+6） n+=24n+1+20n 2， 故答案为： 24n+1+20n 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17如图，在四边形 ， ， （ 1）求 （ 2）求 长 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 （ 1）利用 ，可得 B用 ，即可求 （ 2）利用余弦定理求出 利用正弦定理求出 即可求出 长 【解答】 解：（ 1） ， 第 12 页（共 18 页） B 21， ， ， ， ； （ 2） ， =8+8 2 =4， 2 ， ， 设 于 O，则 ， = ， +1 18已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表： X 人数 Y A B C A 14 40 10 B a 36 b C 28 8 34 若抽取学生 n 人，成 绩分为 A（优秀）、 B（良好）、 C（及格）三个等级，设 x， y 分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为 A 等级的共有 14+40+10=64 人，数学成绩为B 等级且地理成绩为 C 等级的有 8 人已知 x 与 y 均为 A 等级的概率是 （ 1）设在该样本中，数学成绩优秀率是 30%，求 a， b 的值； （ 2）已知 a8， b6，求数学成绩为 A 等级的人数比 C 等级的人数多的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）由频率 = ，能求出 a， b 的值 （ 2）由 14+a+28 10+b+34，得 a b+2由此利用列举法能求出所求概率 【解答】 解：（ 1）由频率 = ，得到 ， ，故 a=18， 而 14+a+28+40+36+8+10+b+34=200， b=12 （ 2） a+b=30 且 a8， b6， 由 14+a+28 10+b+34，得 a b+2 第 13 页（共 18 页） （ a， b）的所有结果为（ 8， 22）， （ 9， 21），（ 10， 20），（ 11， 19）， （ 24， 6）共 17 组， 其中 a b+2 的共 8 组， 故所求概率为： 19如图，在四棱锥 A ， 等边三角形，平面 平面 ，四边形 高为 的等腰梯形， O 为 中点 （ 1）求证： （ 2）求 O 到平面 距离 【考 点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ 1）证明 出 平面 可证明 （ 2）取 中点 G，连接 出 到 平面 O 作足为 H，说明 平面 O 到平面 距离为 解即可 【解答】 （ 1）证明：因为 边三角形， O 为 中点，所以 又因为平面 平面 面 面 面 F， 所以 平面 又 面 所以 （ 2）解：取 中点 G，连接 由题设知， 由（ 1）知 平面 又 面 以 为 A=O，所以 平面 过 O 作 足为 H，则 为 C=G，所以 平面 因为 ，所以 ， 即 O 到平面 距离为 （另外用等体积法亦可 ） 20已知圆 M 与圆 N：（ x ） 2+（ y+ ） 2=于直线 y=x 对称，且点 D（ ， ）在圆 M 上 （ 1）判断圆 M 与圆 N 的位置关系 第 14 页（共 18 页） （ 2）设 P 为圆 M 上任意一点， A（ 1， ） B（ 1， ）， 与 不共线， 交 G，求证 面积之比为定值 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）先求得点 N 关于直线 y=x 对称点 M 的坐标，可得圆 M 的方程，再根据圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆相离 （ 2）设 ，则 ，可得 = = 设点P（ x， y），求得 值，可得 的值 【解答】 解：（ 1）由于点 N（ ， ）关于直线 y=x 对称点 M（ ， ）， 故圆 M 的方程为：（ x+ ） 2+（ y ） 2= 把点 D（ ， ）在圆 M 上，可得 ，故圆 M 的方程为：（ x+ ） 2+（ y ） 2= 可得圆 N：（ x ） 2+（ y+ ） 2= ， N（ ， ）， 根据 | = ，故两圆相离 （ 2）设 ，则 ， = = 设点 P（ x， y），则（ x+ ） 2+（ y ） 2= x+1） 2+（ y ） 2 =（ x+1） 2+ （ x+ ） 2= x； x 1） 2+（ y ） 2 =（ x 1） 2+ （ x+ ） 2= x； =4， =2，即 =2 21设函数 f（ x） = 2x， g（ x） = （ k 0） （ 1）求函数 f（ x）的单调增区间； （ 2）若对任意 0， ，总存在 ， 1，使得 f（ g（ 求实数 k 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 第 15 页（共 18 页） 【分析】 （ 1）将 f（ x）求导，令 f（ x） 0，根据三角函数图象及性质，即可解得 f（ x）的单调增区间； （ 2）根据 x 的取值范围，函数 f（ x）的单调性及最大值，根据 k 的取值范围，分别求得 g（ x）的最大值，使得 f（ g（ 则需要 f（ x） g（ x） 可求出满足条件的实数 k 的取值范围 【解答】 解：（ 1） f（ x） =21， 令 f（ x） 0，得 21 0， 解得： 2 x 2， kZ， f（ x）递增区间为（ 2， 2） kZ， （ 2）当 x0， ， f（ x） =21 0， f（ x）在 0， ，上递减， f（ x） f（ 0） = 2， 当 0 k 时， g（ x） = + = ， x ， 1， g（ x） 0， g（ x）在 ， 1上递减， g（ x） g（ ） =2k， 由题意可知， 2k 2，又 0 k ， 0 k ， 当 k1 时， g（ x） 0， g（ x）在 ， 1上递增， g（ x） g（ 1） = k 2， 1k 2， 当 k 1 时，当 x k， g（ x） 0， 当 k x1， g（ x） 0， g（ x） g（ k） = 1 2， k 1， 综上， k（ 0， 2） 四 2、 23、 24 三题中任选一题作答 能做所选的题目 按所做的第一个题计分，解答时请写清题号 .选修 4几何证明选讲 22如图， 边上的点 C、 D、 E 都在 O 上，已知 B 第 16 页（共 18 页） （ l）求证：直线 O 相切； （ 2）若 ，且 ，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明 【分析】 （ 1）连结 导出 B， 此能证明直线 （ 2）延长 O 于点 F，连结 弦切角定理得 而 = ，由此能求出 长 【解答】 证明：（ 1） ，又 E， B， 如图，连结 B， 又点 C 在 O 上， 直线 O 相切 解：（ 2）如图，延长 O 于点 F，连结 由（ 1）知 O 的切线， 弦切角 F， F= ， 又 0