湖北省随州市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年湖北省随州市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1设集合 A=4， 5， 6， B=2， 3， 4，则 A B 中有（ ）个元素 A 1 B 4 C 5 D 6 2下列两个函数相同的是（ ） A f（ x） =g（ x） =2 f（ x） =x， g（ x） =（ ） 2 C f（ x） =g（ x） = f（ x） =g（ x） = 3下列四个函数中，在闭区间 1， 1上单调递增的函数是（ ） A y= y=2x C y= y=若函数 f（ x） = ，则 ff A 0 B 2 C 3 D 4 5已知 a= b= c=则（ ） A c a b B a b c C b a c D b c a 6 值所在的大致区间为（ ） A（ 1， ） B（ ， 0） C（ 0， ） D（ ， 1） 7方程 x=2 的解所在的区间为（ ） A（ 1） B（ 1， C（ 2） D（ 2， 8已知平面向量 ， 满足 | |= ， | |=2， = 3，则 | +2 |=（ ） A 1 B C 4+ D 2 9已知角 的终边上一点 P 的坐标为（ ，则角 的最小正角为（ ） A B C D 10已知定义在 R 上的函数 f（ x）在 1， +）上单调递增，且 f（ x+1）为偶函数，则（ ） A f（ 0） f（ ） B f（ 2） f（ 2） C f（ 1） f（ 3） D f（ 4） =f（ 4） 11 P 是 在平面上一点，满足 + + =2 ，若 S 2，则 面积为（ ） A 4 B 6 C 8 D 16 12已知 f（ x） = ，则方程 2x） 3f（ x） +1=0 的解的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 二、填空题 :本大题共 4个小题，每小题 5分 .、共 20 分 . 第 2 页（共 15 页） 13 A=2， B=x， y，若 AB=0，则 y= 14化简（ = 15若 f（ x） = f（ x 1） e 的解集为 16定 义 x与 x是对一切实数都有定义的函数， x的值等于不大于 x 的最大整数， x的值是 x x，则下列结论正确的是 （填上正确结论的序号） x= x； x+yx+y； x+yx+y； x是周期函数 三、解答题 :本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知 A（ 1， 2）， B（ 2， 1）， C（ 3， 2）， D（ 2， 3） （ 1）求 + ； （ 2）若 + 与 垂直，求 的值 18已知函数 f（ x） = 定义域为集合 A，函数 g（ x） = x2+）定义域为集合 B （ 1）若 m=3，求 A（ （ 2）若 A B=A，求 m 的取值 范围 19函数 f（ x） =x+） +k（ A 0， 0， | ）的图象如图所示 （ 1）直接写出 f（ x）表达式； （ 2）将 f（ x）图象上所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，然后再向右平移 得到g（ x）图象，求 g（ x）的单调区间 20随州市汽车配件厂，是生产某配件的专业 厂家，每年投入生产的固定成本为 40 万元，每生产 1 万件该配件还需要再投入 16 万元，该厂信誉好，产品质量过硬，该产品投放市场后供应不求，若该厂每年生产该配件 x 万件，每万件的销售收入为 R（ x）万元，且 R（ x）= （ 1）写出年利润关于年产量 x（万件）的函数解析式； （ 2）当年产量为多少万件时，该厂获得的利润最大？并求出最大利润 21已知 f（ x） =g（ x） =x+ ， h（ x） =fg（ x） （ 1）证明 h（ x）既是 R 上的奇函数又是 R 上的增函数； （ 2）若（ x+ ）（ y+ ） = ，求证： x+2y=0 第 3 页（共 15 页） 22已知 f（ x） =1 ， g（ x） =22x ） （ 1）若函数 g（ x） =（ 2x+1） f（ x） +k 有零点，求实数 k 的取值范 围； （ 2）对任意 0， 1），总存在 ， ，使不等式 f（ m2 g（ 立，求实数 m 的取值范围 第 4 页（共 15 页） 2015年湖北省随州市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1设集合 A=4， 5， 6， B=2， 3， 4，则 A B 中有（ ）个元素 A 1 B 4 C 5 D 6 【考点】 并集及其运算 【分析】 根据集合的运算性质求出 A B 即可 【解答】 解： 集合 A=4， 5， 6， B=2， 3， 4， 则 A B=2， 3， 4， 5， 6， 有 5 个元素， 故选： C 2下列两个函数相同的是（ ） A f（ x） =g（ x） =2 f（ x） =x， g（ x） =（ ） 2 C f（ x） =g（ x） = f（ x） =g（ x） = 【考点】 判断两个函数是否为同一函数 【分析】 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数 【解答】 解：对于 A， f（ x） =定义域为 x|x0， g（ x） =2定义域为 x|x 0，定义域不同，不是相同函数； 对于 B， f（ x） =x 的定义域为 R， g（ x） = =x 的定义域为 x|x0，定义域不同，不是相同函数； 对于 C， f（ x） =定义域为 x|x， kZ， g（ x） =定义域为 R，定义域不同，不是相同函数； 对于 D， f（ x） =， g（ x） = =，定义域相同，对应关系也相同，所以是相同数 故选： D 3下列四个函数中，在闭区间 1， 1上单调递增的函数是（ ） A y= y=2x C y= y=考点】 函数单调性的判断与证明 【分析】 根据 y=y=2x， y=y=质判断即可 【解答】 解： y= 1， 0单调递减，故 A 不正确； y=2 1， 1上单调递增，故 B 正确； y= 1， 0无意义，故 C 不正确； y= ， 1单调递减，故 D 不正确； 第 5 页（共 15 页） 故选； B 4若函数 f（ x） = ，则 ff A 0 B 2 C 3 D 4 【考点】 对数的运算性 质；函数的值 【分析】 根据分段函数的表达式进行转化求解即可 【解答】 解：由分段函数的表达式得 f= 22+1= 4+1= 3， 则 ff= 3， 故选： C 5已知 a= b= c=则（ ） A c a b B a b c C b a c D b c a 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用对数的运算性质比较 a， b 的大小，且得到 a ，利用三角函数的单调性可知 c=则答案可求 【解答】 解： a=1，且 ， b=1， c= c a b 故选： A 6 值所在的大致区间为（ ） A（ 1， ） B（ ， 0） C（ 0， ） D（ ， 1） 【考点】 运用诱导公式化简求值 【分析】 由条件利用诱导公式、正切函数的单调性，得出结论 【解答】 解： 又 ， 1， 36（ 30， 45）， 函数 y=（ 0， 90）上单调递增， 故 （ ， 1）， 故选： D 7方程 x=2 的解所在的区间为（ ） A（ 1） B（ 1， C（ 2） D（ 2， 第 6 页（共 15 页） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 判断 f（ x） =x 2，在（ 0， +）上单调递增根据函数的零点存在性定理得出： f（ 1） f（ 0，可得出 f（ x）的零点在（ 1， 间 内，即可得出答案 【解答】 解：设 f（ x） =x 2，在（ 0， +）上单调递增 f（ 1） =0+1 2= 1 0， f（ =0.5= 0 根据函数的零点存在性定理得出： f（ x）的零点在（ 1， 间 内 方程 x=2 的解所在的区间为（ 1， 故选： B 8已知平面向量 ， 满足 | |= ， | |=2， = 3，则 | +2 |=（ ） A 1 B C 4+ D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 运用向量的数量积的性质，向量的平方即为模的平方，代入计算即可得到 【解答】 解：由于 | |= ， | |=2， = 3， 则 | +2 |= = = 故选 B 9已知角 的终边上一点 P 的坐标为（ ，则角 的最小正角为（ ） A B C D 【考点】 任意角的三角函数的定义 【分析】 先 的终边上一点的坐标化简求值，确定 的正余弦函数值，再确定角 的取值范围 【解答】 解：由题意可知角 的终边上一点的坐标为（ ，即（ ， ）， ， ， = +2kZ）， 故角 的最小正值为： 故选： D 10已知定义在 R 上的函数 f（ x）在 1， +） 上单调递增，且 f（ x+1）为偶函数，则（ ） A f（ 0） f（ ） B f（ 2） f（ 2） C f（ 1） f（ 3） D f（ 4） =f（ 4） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 第 7 页（共 15 页） 【分析】 根据条件判断函数 f（ x）关于 x=1 对称，利用函数对称性和单调性的关系将不等式进行转化即可得到结论 【解答】 解： f（ x+1）为偶函数， f（ x+1） =f（ x+1）， 即函数 f（ x）关于 x=1 对称， f（ x）在 1， +）上单调递增， f（ x）在（ ， 1上 单调递减， f（ 0） f（ ）， f（ 2） =f（ 4） f（ 2）， f（ 1） =f（ 3）， f（ 4） =f（ 6） f（ 4）， 故选： B 11 P 是 在平面上一点，满足 + + =2 ，若 S 2，则 面积为（ ） A 4 B 6 C 8 D 16 【考点】 向量在几何中的应用 【分析】 根据 + + =2 ，可得 3 = ，所以 并且方向一样，由此可求 S 【解答】 解： + + =2 =2（ + ） 3 = 并且方向一样 设 距离为 h，则 S | |h， S | |h | |=3| |， S 2 S S 故选 A 12已知 f（ x） = ，则方程 2x） 3f（ x） +1=0 的解的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 法 1：利用换元法设 t=f（ x），求出 t 的大小，利用分段函数进行求解；法 2：作出函数 f（ x）的图象，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：法 1设 t=f（ x），由 2x） 3f（ x） +1=0 得 23t+1=0 得 t=1 或 t= ， 第 8 页（共 15 页） 若 x 0，则由 |1 得 1，则 x=10 或 ，由 | 得 ，则 x= 或 ， 若 x0，则由 2|x|=1 得 |x|=0，则 x=0，由 2|x|= 得 |x|= 1不成立， 综上方程根的个数为 5 个， 法 2：作出函数 f（ x）的图象如图，当 f（ x） =1 时，有 3 个根， 当 f（ x） = 时，有 2 个根， 故方程根的个数为 5 个， 故选： D 二、填空题 :本大题共 4个小题，每小题 5分 .、共 20 分 . 13 A=2， B=x， y，若 AB=0，则 y= 0 【考点】 交集及其运算 【分析】 由 A 与 B，以及两集合的交集，确定出 y 的值即可 【解答】 解： A=2， B=x， y，且 AB=0， y=0， 解得： x=1， y=0， 故答案为： 0 14化简（ = 【考点 】 对数的运算性质 【分析】 根据对数的运算法则进行计算； 【解答】 解：（ =（ ）（ ） =（ ）（ + ） = = ， 故答案为： 15若 f（ x） = f（ x 1） e 的解集为 （ ， 2） 第 9 页（共 15 页） 【考点】 函数单调性的性质；函数奇偶性的性质 【分析】 根据函数奇偶性的性质先求出 a 的值，结合函数单调性的性质进行求解即可 【解答】 解： f（ x） = f（ 0） =0，即 f（ 0） =1 a=0， 则 a=1， 即 f（ x） =e x，则函数 f（ x）在（ ， +）上为增函数， 则 f（ 1） =e ， 则不等式 f（ x 1） e 等价为 f（ x 1） f（ 1）， 即 x 1 1， 解得 x 2， 即不等式的解集为（ ， 2）， 故答案为：（ ， 2） 16定义 x与 x是对一切实数都有定义的函数， x的值等于不大于 x 的最大整数， x的值是 x x，则下列结论正确的是 （填上正确结论的序号） x= x； x+yx+y； x+yx+y； x是周期函数 【考点】 命题的真假判断与应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的值 【分析】 根据已知中， x和 x的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案 【解答】 解：当 x 为整数时， x= x，当 x 不是整数时， x= x 1，故 错误； 当 x+y 1 时， x+y=x+y； 当 x+y1 时， x+y=x+y 1 x+y； 故 x+yx+y，即 正确； 当 x+y 1 时， x+y=x+y； 当 x+y1 时， x+y x+y； 故 x+yx+y，即 正确； x+1=x恒成立，故 x是周期为 1 的周期函数故 正确， 故答案为： 三、解答题 :本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知 A（ 1， 2）， B（ 2， 1）， C（ 3， 2）， D（ 2， 3） （ 1）求 + ； （ 2）若 + 与 垂直，求 的值 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 （ 1）利用向量的坐标运算性质即可得出； （ 2）利用向量的坐标运算性质、向量垂直与数量积运算性质即可得出 【解答】 解：（ 1） + = + + = =（ 1， 5） +（ 1， 1） =（ 0， 6） （ 2） =（ 2， 4）， =（ 1， 3）， =（ 1， 1） + =（ 2+， 4+3）， + 与 垂直， 第 10 页（共 15 页） （ + ） =（ 2+） +4+3=0， 解得 = 1 18已知函数 f（ x） = 定义域为集合 A，函数 g（ x） = x2+）定义域为集合 B （ 1）若 m=3，求 A（ （ 2）若 A B=A，求 m 的取值范围 【考点】 集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算 【分析】 （ 1）先分别求出函数 f（ x）和 g（ x）的定义域，再求出集合 B 的 补集，再根据交集的定义求出所求； （ 2）若 A B=A， BA， x2+ 0 在（ 1， 5上恒成立，即可求 m 的取值范围 【解答】 解：函数 f（ x） = 的定义域为集合 A=x| 1 x5 （ 1）若 m=3，函数 g（ x） = x+4）的定义域为集合 B=x| 1 x 4 x|x 1 或 x4 A（ =4， 5 （ 2） A B=A， BA， x2+ 0 在（ 1， 5上恒成立， ， m 19函数 f（ x） =x+） +k（ A 0， 0， | ）的图象如图所示 （ 1）直接写出 f（ x）表达式； （ 2）将 f（ x）图象上所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，然后再向右平移 得到g（ x）图象，求 g（ x）的单调区间 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 （ 1）由题意求出 A， T，利用周期公式求出 ，利用当 x= 时取得最大值 ，求出，得到函数的解析式，即可得解 （ 2）由题意根据函数 y=x+）的图象变换规律，求得 g（ x）的解析式，再根据正弦函数的图象的单调性，求得 g（ x）的单调区间 【解答】 解：（ 1）由题意可知 A=2， T=2（ ） =， =2， 由 A+k= ， A+k= ，解得： A= ， k=1， 第 11 页（共 15 页） 当 x= 时取得最大值 ，所以 = 2 +） +1， 所以： 2 +=2， kZ， 因为： | 所以 = ， 函数 f（ x）的解析式： f（ x） = 2x+ ） +1 （ 2）将函数 y=f（ x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍， 可得函数 y= 3x+ ） +1 的图象 再将所得函数图象向右平移 个单位，得到函数 y=g（ x） = （ x ） + +1= 3x ） +1， 令 23x 2， kz，求得 g（ x）的单调递减区间为 ， ， kz 令 23x 2， kz，求得 g（ x）的单调递增区间为 ， ，kz 20随州市汽车配件厂，是生产某配件的专业厂家，每年投入生产的固定成本为 40 万元，每生产 1 万件该配件还需要再投入 16 万元，该厂信誉好，产品质量过硬，该产品投放市场后供应不求，若该厂每年生产该配件 x 万件，每万件的销售收入为 R（ x）万元，且 R（ x）= （ 1）写出年利润关于年产量 x（万件）的函数解析式； （ 2）当年产量为多少万件时，该厂获得的利润最大？并求出最大利润 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 （ 1）利润 =收入成本 （ 2）由分段函数，在各个段上讨论利用基本不等式，可得最值 【解答】 解：（ 1）设年利润为 w 万元， 则年利润 =年收入年成本 w（ x） =x） 16x 40= 第 12 页（共 15 页） （ 2） 利润与产量的函 数为分段函数 0 x40 时， w（ x） = 684x 40 x=32 时， w（ x）取最大，最大值为 11634 x 40 时， w（ x） = 16x +7360 1600+7360=6000 当且仅当 x=50 时，取等号 由 ， 得，当 x=50 时，即产量我 50 万件时，利润取得最大，最大利润为 6000 万元 21已知 f（ x） =g（ x） =x+ ， h（ x） =fg（ x） （ 1）证明 h（ x）既是 R 上的奇函数又是 R 上的增函数； （ 2）若（ x+ ）（ y+ ） = ，求证： x+2y=0 【考点】 对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的判断；根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【分析】 （ 1）先求出 ，容易得到 h（ x） = h（ x），即得到 h（ x）为奇函数，可以求导数 h（ x） 0， 从而得出 h（ x）为 R 上的增函数； （ 2）由 便可得到，两边取以 10 为底的