高等数学教学教案§9. 4 多元复合函数的求导法则.doc

六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：153273761179. 4 多元复合函数的求导法则授课次序55教 学 基 本 指 标教学课题9. 4 多元复合函数的求导法则教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点求导法则教学难点抽象函数求导问题参考教材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学函数：function；极限：limit；极限值：limit value ；导数：derivative；偏导数：partial derivative；微分：differential calculus；全微分：total differential；偏微分：partial differential；课堂教学目标1 掌握多元复合函数偏导数的求法。2 了解全微分形式的不变性教学过程1多元复合函数偏导数（65min）；2全微分形式的不变性（25min）教 学 基 本 内 容9. 4 多元复合函数的求导法则 设z=f(u, v), 而u=j(t), v=y(t), 如何求？ 设z=f(u, v), 而u=j(x, y), v=y(x, y), 如何求和？ 1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理1 如果函数u=j(t)及v=y(t)都在点t可导, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=fj(t), y(t)在点t可导, 且有. 简要证明1: 因为z=f(u, v)具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有 .又因为u=j(t)及v=y(t)都可导, 因而可微, 即有 , , 代入上式得 , 从而 . 简要证明2: 当t取得增量Dt时, u、v及z相应地也取得增量Du、Dv及Dz . 由z=f(u, v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性, 有 , , 令Dt0, 上式两边取极限, 即得 . 注:. 推广: 设z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 则z=fj(t), y(t), w(t)对t 的导数为: . 上述称为全导数. 2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理2 如果函数u=j(x, y), v=y(x, y)都在点(x, y)具有对x及y的偏导数, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f j(x, y), y(x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有 , . 推广: 设z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 则 , . 讨论: (1)设z=f(u, v), u=j(x, y), v=y(y), 则？ 提示: , . (2)设z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 则？ 提示: , . 这里与是不同的, 是把复合函数z=fj(x, y), x, y中的y看作不变而对x的偏导数, 是把f(u, x, y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数. 与也朋类似的区别. 3复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形 定理3 如果函数u=j(x, y)在点(x, y)具有对x及对y的偏导数, 函数v=y(y)在点y可导, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=fj(x, y), y(y)在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有 , .例1 设z=eusin v, u=xy, v=x+y, 求和. 例2 设, 而. 求和. 例3 设z=uv+sin t , 而u=et, v=cos t. 求全导数. 例4 设w=f(x+y+z, xyz), f具有二阶连续偏导数, 求及. 注: , . 例5 设u=f(x, y)的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式: (1); (2). 全微分形式不变性: 设z=f(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分. 如果z=f(u, v)具有连续偏导数, 而u=j(x, y), v=y(x, y)也具有连续偏导数, 则 . 由此可见, 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质