大庆市2016届高三第一次模拟考试数学（理科）含答案解析

黑龙江省大庆市 2016 年高考数学一模试卷（理科） （解析版） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60分） 1已知集合 A=x|x 2 0， B=x|x a，若 AB=A，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 2B 2， +） C（ ， 2D 2， +） 【分析】 化简 A，再根据 AB=A，求得实数 a 的取值范围 【解答】 解： 集合 A=x|x 2 0=x|x 2， B=x|x a， AB=A， a2， 故选： D 【点评】 本题主要考查两个集合的交 集的定义和求法，属于基础题 2若复数 x 满足 x+i= ，则复数 x 的模为（ ） A B 10C 4D 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算求得复数 x，再求其模即可 【解答】 解： x+i= ， x= i= 1 3i， |x|= ， 故选： A 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题 3下列函数中，在（ 0， +）上单调递减，并且是偶函数的是（ ） A y=y= y= ln|x|D y=2x 【分析】 本题根据函数奇偶性定义，判断函数的是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题结论 【解答】 解：选项 A， y=偶函数， 当 x 0 时， y=x 在在（ 0， +）上单调递增，不合题意； 选项 B， y= 奇函数，不合题意； 选项 C， y= ln|x|是偶函数， 当 x 0 时， y= 在（ 0， +）上单调递减，符合题意； 选项 D， y=2x，不是偶函数，递增，不合题意 故选： C 【点评】 本题考查了奇偶性与单调性，本题难度不大，属于基础题 4双曲线的一个顶点为（ 2， 0），一条渐近线方程为 y= x，则该双曲线的方程是（ ） A =1B =1C =1D =1 【分析】 根据双曲线的一条渐近线方程为 y= x，且一个顶点的坐标是（ 2， 0），可确定双曲线的焦点在 x 轴上，从而 可求双曲线的标准方程 【解答】 解： 双曲线的一个顶点为（ 2， 0）， 其焦点在 x 轴，且实半轴的长 a=2， 双曲线的一条渐近线方程为 y= x， b=2 ， 双曲线的方程是 =1 故选： D 【点评】 本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题 5下列说法 中不正确的个数是（ ） 命题 “xR， 0”的否定是 “， 0”； 若 “pq”为假命题，则 p、 q 均为假命题； “三个数 a， b， c 成等比数列 ”是 “b= ”的既不充分也不必要条件 A 1C 2D 3 【分析】 根据含有量词的命题的否定判断 根据复合命题与简单命题之间的关系判断 根据充分条件和必要条件的定义判断 【解答】 解： 全称命题的否定是特称命题， 命题 “xR， 0”的否定 是 “， 0”正确 若 “pq”为假命题，则 p、 q 至少有一个为假命题；故错误 “三个数 a， b， c 成等比数列 ”则 b2= b= ， 若 a=b=c=0，满足 b= ，但三个数 a， b， c 成等比数列不成立， “三个数 a， b， c 成等比数列 ”是 “b= ”的既不充分也不必要条件，正确 故不正确的是 故选： B 【点评】 本题主要考查命题的真假判断，解决的关键是对于命题的否定以及真值的判定的运用，属于基础题 6已知直线 l 平面 ，直线 m平面 ，给出下列命题 =l m； l m； l m ； l m 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【分析】 由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线 l 平面 ，再利用面面垂直的判定可得 为真命题； 当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故 为假命题； 由两平行线中的一条和 平面垂直，另一条也和平面垂直得直线 m 平面 ，再利用面面垂直的判定可得 为真命题； 当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线 内，则有 和 相交于 m，故 为假命题 【解答】 解： l 平面 且 可以得到直线 l 平面 ，又由直线 m平面 ，所以有 l m；即 为真命题； 因为直线 l 平面 且 可得直线 l 平行与平面 或在平面 内，又由直线 m平面 ，所以 l 与 m，可以平行，相交，异面；故 为假命题； 因为直线 l 平面 且 l m 可得直线 m 平面 ，又由直线 m平面 可 得 ；即 为真命题； 由直线 l 平面 以及 l m 可得直线 m 平行与平面 或在平面 内，又由直线 m平面 得 与 可以平行也可以相交，即 为假命题 所以真命题为 故选 C 【点评】 本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用 7记定义在区间 a， b上的连续函数 y=f（ x），如果存在 a， b，使得 f（ =成立 ，则称 函数 f（ x）在 a， b上的 “平均值点 ”，那么函数 f（ x） =x 在 1， 1上 “平均值点 ”的个数为（ ） A 1B 2C 3D 4 【分析】 由新定义计算定积分可将问题转化为 g（ x） =x 在 x 1， 1上的零点个数，由零点判定定理和函数单调性可得 【解答】 解：由题意可得 （ x） x4+= ， 函数 f（ x） =x 在 1， 1上 “平均值点 ”的个数为方程 x= 在 1， 1上根的个数， 构造函数 g（ x） =x ，则问题转化为 g（ x）在 x 1， 1上的零点个数， 求导数可得 g（ x） =3 0，故函数 g（ x）在 x 1， 1上单调递增， 由 g（ 1） g（ 1） 0，故函数 g（ x）在 x 1， 1上有唯一一个零点 故选： A 【点评】 本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题 8（ 5 分）（ 2016 呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形若该几何体的体积为 V，并且可以用 n 个这样的几何体拼成一个棱长为 4 的正方体，则 V， n 的值是（ ） A V=32， n=2B C D V=16， n=4 【分析】 由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可 【解答】 解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥， 所以 V= ， 边长为 4 的正方体 V=64，所以 n=3 故选 B 【点评】 本题考查学生的空间想象能力，是基础题 9（ 5 分）（ 2016 漳州一模）已知曲线 f（ x） =+ w 0）的两条相邻的对称轴之间的距离为 ，且曲线关于点（ 0）成中心对称，若 0， ，则 ） A B C D 【分析】 利用两角和的正弦公式化简 f（ x），然后由 f（ =0 求得 0， 内的 值 【解答】 解： 曲线 f（ x） =+ =2）的两条相邻的对称轴之间的距离为 ， =， w=2 f（ x） =22x+ ） f（ x）的图象关于点（ 0）成中心对称， f（ =0，即 22） =0， 2= ， kZ， 0， ， 故选： C 【点评 】 本题考查两角和与差的正弦函数，考查了正弦函数的对称中心的求法，是基础题 10已知在三棱锥 P ， B=， ， 面 平面 三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（ ） A B 3C D 2 【分析】 求出 P 到平面 距离为 ， 截面圆的直径， ，由勾股定理可得 ） 2+ ） 2+（ d） 2，求出 R，即可求出球的表面积 【解答】 解：由题意， 截面圆的直径， ， 设球心到平面 距离为 d，球的半径为 R， B=1， ， 平面 平面 P 到平面 距离为 由勾股定理可得 ） 2+ ） 2+（ d） 2， d=0， ， 球的表面积 为 4 故选： B 【点评】 本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键 11在平面直角坐标系 ，已知 C： y 1） 2=5，点 A 为 C 与 x 轴负半轴的交点，过 A 作 C 的弦 线段 中点为 M，若 |则直线 斜率为（ ） A 2B C 2D 4 【分析】 因为圆的半径为 ，所以 A（ 2， 0），连接 出圆的直 径，在三角形 ，利用正弦定理求出 用 补，即可得出结论 【解答】 解：因为圆的半径为 ，所以 A（ 2， 0），连接 题意 因此，四点 C， M， A， O 共圆，且 是该圆的直径， 2R=， 在三角形 ，利用正弦定理得 2R= ， 根据题意， M=2， 所以， = ， 所以 ， 2（ 钝角）， 而 补， 所以 ，即直线 斜率为 2 故选： C 【点评】 本题考查直线与圆的位置关系，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题 12已知函数 f（ x） =x+a 的图象与 x 轴只有一个 交点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） （ ， +） B（ ， 1） C（ ， 1） D（ ， ） （ 1， +） 【分析】 求出导数，求出单调区间，求出极值，曲线 f（ x）与 x 轴仅有一个交点，可转化成 f（ x） 极大值 0 或 f（ x） 极小值 0 即可 【解答】 解：函数 f（ x） =x+a 的导数为 f（ x） =32x 1， 当 x 1 或 x 时， f（ x） 0， f（ x）递增； 当 x 1 时， f（ x） 0， f（ x）递减 即有 f（ 1）为极小值， f（ ）为极大值 f（ x）在（ ， ）上单调递增， 当 x 时， f（ x） ； 又 f（ x）在（ 1， +）单调递增，当 x+时， f（ x） +， 当 f（ x） 极大值 0 或 f（ x） 极小值 0 时，曲线 f（ x）与 x 轴仅有一个交点 即 a+ 0 或 a 1 0， a（ ， ） （ 1， +）， 故选： D 【点评】 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13若 | |=1， | |= ， ，且 ，则向量 与 的夹角为 【分析】 根据向量的数量积运算和向量的夹角公式即可求出 【解答】 解：设向量 与 的夹角为 ， ，且 ， =（ + ） = + =| |2+| | |， 即 1+ ， 即 ， 0 = ， 故答案为： 【点评】 本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题 14已知在等差数列 ， 10x+16=0 的两根，则 a2+值为 15 【分析】 利用一元二次方程的根与系数的关系可得 a1+0 再利用等差数列的性质即可得出 【解答】 解： 10x+16=0 的两根， a1+0=2 数列 等差数列， 则 a2+5 故答案为： 15 【点评】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 15设变量 x， y 满足约束条件 ，目标函数 z=y（ a， b 均大于 0）的最大值为 8，则 a+b 的最小值为 2 【分析】 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标 函数 z=y（ a 0， b 0）的最大值为 8，求出 a， b 的关系式，再利用基本不等式求出 a+b 的最小值 【解答】 解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图： 4 个顶点是（ 0， 0），（ 0， 2），（ ， 0），（ 2， 6）， 由图易得目标函数在（ 2， 6）取最大值 8， 即 8=2， ， a+b2 =2，在 a=b=2 时是等号成立， a+b 的最小值为 2 故答案为： 2 【点评】 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解 16已知 椭圆 =1 的两个焦点， A， B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段 ，则 的最小值为 【分析】 求得椭圆的焦点和 A， B 的坐标，以及直线 方程，设出 P（ m， n），求得的坐标表示，由 m2+示原点与 的点的距离的平方，运用点到直线的距离公式即可得到所求最小值 【解答】 解 椭圆 =1， A（ 2， 0）， B（ 0， 1）， ， 0） ， ， 0）， 可得 方程为 x 2y+2=0， 设 P（ m， n）， 则 =（ m， n）（ m， n） =m2+3， 由 m2+示原点与 的点的距离的平方 可得原点到直线 距离取得最小，且为 = ， 即有 m2+3 的最小值为 3= 故答案为： 【点评】 本题考查椭圆方程和性质，考查向量的坐标表示及最值的求法，解题时要认真审题，注意 m2+几何意义的合理运用，属于中档题 三、解答题（共 5小题，满分 60分） 17（ 12 分）（ 2016 大庆一模）已知等比数列 各 项均为正数，且 ， a =4 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 bn=+数列 的前 n 项和 【分析】 （ 1）设数列 公比为 q，通过解方程组可求得 q，从而可求数列 通项公式； （ 2）可知 等差数列，利用等差数列的求和公式可求得 用裂项法，可求数列 的前 n 项和 【解答】 解：（ 1）设等比数列 公比为 q，由 a =4 a =4 ， ，由已知 0， q= ， 由 ，得 2， ， 数列 通项公式为 （ 2） bn=+（ 1+2+n） = = = 2（ ）， 数列 的前 n 项和 = 2（ 1 ） +（ ） +（ ） = 【点评】 本题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前 n 项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题 18（ 12 分）（ 2016 大庆一模）已知 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， =（ ， c 2b）， =（ 1），且满足 =0 （ 1）求 A 的大小； （ 2）若 a=1，求 长的取值范围 【分析】 （ I）由已知及平面向量数量积的运算可得 2c 2b=0，由余弦定理整理得b2+a2=求 ， 结合范围 0 A ，即可解得 A 的值 （ 正弦定理及恒等变换的应用可得 周长 l=a+b+c=1+ （ =2B+ ） +1，结合范围 0 B ，可求 B+ ） 1，即可得解周长的取值范围 【解 答】 （本小题满分 12 分） 解：（ I） =0， c 2b=， （ 2 分） ，即 2c 2b=0， （ 3 分） 由余弦定理得： 2a +c 2b=0， （ 4 分） 整理得 b2+a2= ， 0 A ， A= （ 6 分） （ ， ， （ 7 分） 由正弦定理得： = = ， （ 8 分） 周长 l=a+b+c=1+ （ =1+ B+ ） =2B+ ） +1， （ 10 分） 0 B ， B ， B+ ） 1， （ 11 分） 因此 2 l3，故 长的取值范围为（ 2， 3 （ 12 分） 【点评】 本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题 19（ 12 分）（ 2016 大庆一模）如图，四棱锥 P 底面是菱形， 平面 C=E， F 分别是 中点 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）若 H 为 的动点， 平面 成最大角的正切值为 ，求二面角 F B 的余弦值 【分析】 （ 1）根据面面垂直的判定定理即可得到结论 （ 2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可 【解答】 解：（ 1）由四边形 菱形， C，可得 正三角形 又 （ 1 分） 平面 面 面 面 D=A， 平面 面 平面 平面 （ 4 分） （ 2）设 ， H 为 任意一点，连接 由（ I）知 平面 则 平面 成的角 （ 5 分） 在 ， ， 当 短时， 大，即当 ， 大，此时 （ 6 分） ，又 ， 5， （ 8 分） 由（ I）知 两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 又 E， F 分别是 中点， A（ 0， 0， 0）， B（ ， 1， 0）， C（ ， 1， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（ ， 0， 0）， F（ ， ， 1） （ 9 分） =（ ， 0， 0）， =（ ， ， 1） 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ， （ 10 分） 取 z= 1，则 =（ 0， 2， 1），为平面 一个法向量 又 平面 =（ 0， 0， 1）为平面 一个法向量 ， = = = ， 故所求二面角的余弦值为 （ 12 分） 【点评】 本题主要考查面面垂直判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大 20（ 12 分）（ 2016 大庆一模）已知函数 f（ x） =x+a） x 在 x=0 处取得极值 （ 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若关于 x 的方程 f（ x） = x+b 在区间（ 0， 2）有两个不等实根，求实数 b 的取值范围； （ 3）对于 nN+，证明： 【分 析】 （ 1）求导， f（ 0） =0，求得 a 的值，写出函数及导函数表达式， f（ x） 0，求得 f（ x）的单调递增区间，；由 f（ x） 0，求得函数单调递减区间； （ 2）构造辅助函数 g（ x） =f（ x）（ x+b），求导，令 g（ x） =0，求得 x 的值，即可求得 g（ x）的单调区间，求得 g（ x）的两个零点，实数 b 的取值范围； （ 3）由（ 1）可知当 x0 时 x+1） x2+x（当且仅当 x=0 时等号成立），可得到 ，求得前 n 项不等式，采用累加法及对数函数的性质，即可证明不等式成立 【解答】 解：（ 1）由已知得 f（ x） = 2x 1= ， （ 1 分） f（ 0） =0， =0， a=1 f（ x） =x+1） x（ x 1）， （ 2 分） 于是 f（ x） = = （ x 1）， 由 f（ x） 0 得 1 x 0；由 f（ x） 0，得 x 0， f（ x）的单调递增区间是（ 1， 0），单调递减区间是（ 0， +） （ 4 分） （ 2）令 g（ x） =f（ x）（ x+b） =x+1） x b， x（ 0， 2）， 则 g（ x） = 2x+ = ，令 g（ x） =0，得 x=1 或 x= （舍）， 当 0 x 1 时， g（ x） 0；当 1 x 2 时 g（ x） 0，即 g（ x）在（ 0， 1）上单调递增，在（ 1， 2）上单调递减 （ 7 分） 方程 f（ x） = x+b 在区间（ 0， 2）有两个不等实根等价于函数 g（ x）在（ 0， 2）上有两个 不同的零点 ，即 亦即 ， 1 b ， 故所求实数 b 的取值范围为 b 丨 1 b （ 9 分） 证明：（ 3）由（ 1）可得，当 x0 时 x+1） x2+x（当且仅当 x=0 时等号成立）， 设 x= ，则 1+ ） + ，即 （ 10 分） ， 将上面 n 个式子相加得： + + + +n+1）， 故： （ 12 分） 【点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程的实 数根转化为函数图象与 x 轴的交点的问题，同时考查了利用构造函数法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，是一道综合题，属于难题 21（ 12 分）（ 2016 大庆一模）从抛物线 G： p 为常数且 p 0）外一点 P 引抛物线 G 的两条切线 点为 A、 B），分别与 x 轴相交于点 C、 D，若 y 轴相交于点 Q （ 1）求证：四边形 平行四边形； （ 2）四边形 否为矩形？若能，求出点 Q 的坐标；若不能，请说明理由 【分析】 （ I）设 A， B 的坐标，求出切线 方程，解出 P 点坐标，设 Q 坐 标和直线 程，联立方程组得出 P， Q 点的坐标关系证明 分 出 C， D 坐标，得出中点，代入 程即可得出 分 是得出结论； （ 四边形 否为矩形，则 |列方程解出 p， t 的关系得出 Q 坐标 【解答】 解：（ I）由 y= ， y= 设 A（ ）， B（ ），则直线 方程为 y = （ x 直线 方程为 y = （ x 由 、 解得 x= ， y= ， P 点坐标为（ ， ） 设点 Q（ 0， t），则直线 方程为 y=kx+t 由 得 22，则 x1+ 2 P（ t）， 线段 x 轴平分，即被线段 分 在 中，令 y=0，解得 x= ， C（ ， 0）；同理得 D（ ， 0）， 线段 中点坐标为（ ， 0），即（ ， 0） 又 直线 方程为 y= x+t， 线段 中点（ ， 0）在直线 ，即线段 Q 平分， 四边形 平行四边形 （ 四边形 矩形，则 |即 = =，解得 t= 当点 Q 为（ 0， ）（即抛物线 G 的焦点）时，四边形 矩形 【点评】 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题 选修 4何证明选讲 22（ 10 分）（ 2016 大庆一模）如图， O 的直径，过点 B 作 O 的切线 O 于点 E， 延长线交 点 D （ 1）求证： （ 2）若 C=2，求 长 【分析】 （ 1）要证 合题意，只需证明 可，故连接 用弦切角的知识即可得证； （ 2）在 ，利用勾股定理即可得出 长，由（ 1）知， 入可得出 长 【解答】 （ 1）证明：连接 O 的切线 0 O 的直径 0 （ 2 分） 0， 0 E， （ 4 分） C= C ， （ 6 分） （ 2）解： ， ， ， C 1 （ 8 分） 由（ 1） ：（ 1） 2=2 （ 10 分） 【点评】 本题主要考查了切线的性质及其应用，同时考查了相似三角形的判定和解直角