北京市大兴区2016届高三(上)期末数学试卷(理科)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1已知， M=x|x（ x 1） 0， N=x|x 0，则 MN 等于（ ） A（ 0， 1） B（ 0， +） C（ 0， 1） （ 1， +） D（ ， 1） （ 1， +） 2双曲线 的渐近线方程为（ ） A y=y= y=2y= x 3下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间（ 1， 1）内有零点的函数是（ ） A y= y=2x 1C y=D y=x+2） 4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 3B 6C 9D 12 5已知 ， 表示两个不同的平面， m 为平面 内的一条直线，则 “ ”是 “m ”的（ ） A充分不必要条件 B必要 不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6在 ， M 是 中点， ，点 P 在 且满足学 ，则等于（ ） A B C D 7如图，某地一天中 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=x+） +b（其中A 0， 0， ），那么中午 12 时温度的近似值（精确到 1C）是（ ）A 25262728C 第 2 页（共 18 页） 8若 a0， b0，且当 x， y 满足 时，恒有 ax+ 成立，则以 a， b 为坐标的点P（ a， b）所构成的平面区域的面积等于（ ） A 1B C D 二填空题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 9 a=， c= a， b， c 之间的大小关系是 10直线 y=x 被圆 x2+2y 3=0 截得的弦长等于 11已知数列 等差数列，公差 d0， ， 数列 公差d 等于 ； 前 n 项和 于 12 ， a=2， ， B=60，则 面积等于 13某校从 8 名教师中选派 4 名教师去 4 个边远地区支教，每地 1 人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案有 种（用数字作答） 14在测量某物体的重量时，得到如下数据： 中 a1用 a 表示该物体重量的估计值，使 a 与每一个数据差的平方和最小，则 a 等于 ；若用 b 表示该物体重量 的估计值，使 b 与每一个数据差的绝对值的和最小，则 b 等于 三、解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15已知函数 （ ）求 f（ x）的最小正周期和单调增区间； （ ）求 f（ x）在区间 上的最大值与最小值 16某校为了解甲、乙两班学生的学业水平，从两班中各随机抽取 20 人参加学业水平等级考试，得到学生的学业成绩茎叶图如下： （ ）通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值 甲 与 及方差 与 的大小；（只需写出结论） （ ）根据学生的学业成绩，将学业水平分为三个等级： 学业成绩 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 学业水平 一般 良好 优秀 第 3 页（共 18 页） 根据所给数据，频率可以视为相应的概 率 （ ）从甲、乙两班中各随机抽取 1 人，记事件 C： “抽到的甲班学生的学业水平等级高于乙班学生的学业水平等级 ”，求 C 发生的概率； （ ）从甲班中随机抽取 2 人，记 X 为学业水平优秀的人数，求 X 的分布列和数学期望 17如图，在三棱锥 K ，平面 平面 H 为 C= （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 H A 的余弦值； （ ）若 M 为 点，在直线 是否存在点 N 使 平面 存在，求出 不存在，说明理由 18已知函数 （ a 0） （ ）当 a=1 时，求函数 f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程； （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x） 2 1， +）上恒成立，求 a 的取值范围 19已知椭圆 G： 上的点 到两焦点的距离之和等于 （ ）求椭圆 G 的方程； （ ）经过椭圆 G 右焦点 F 的直线 m（不经过点 M）与椭圆交于 A， B 两点，与直线 l： x=4相交于 C 点，记直线 斜率分别为 证： 为定值 20若数对（ a， b）（ a 1， b 1， a， bN*），对于 mZ， x， yZ，使 m=xa+立，则称数对（ a， b）为全体整数的一个基底，（ x， y）称为 m 以（ a， b）为基底的坐标； （ ）给出以下六组数对（ 2， 3），（ 2， 5），（ 2， 6），（ 3， 5），（ 3， 12），（ 9， 17），写出可以作为全体整数基底的数对； （ ）若（ a， b）是全体整数的一个基底，对于 mZ， m 以（ a， b）为基底的坐标（ x， y）有多少个？并说明理由； （ ）若（ 2， m）是全体整数的一个基底，试写出 m 的所有值，并说明理由 第 4 页（共 18 页） 2015年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1已知， M=x|x（ x 1） 0， N=x|x 0，则 MN 等于（ ） A（ 0， 1） B（ 0， +） C（ 0， 1） （ 1， +） D（ ， 1） （ 1， +） 【考点】 交集及其运算 【分析】 直接由一元二次不等式解出集合 M，从而求出 MN 【解答】 解： M=x|x（ x 1） 0， M=x|0 x 1， N=x|x 0， MN=x|0 x 1x|x 0=x|0 x 1 故选： A 2双曲线 的渐近线方程为（ ） A y=y= y=2y= x 【考点】 双曲线的标准方程 【分析】 双曲线 的渐近线方程为 ，由此能求出结果 【解答】 解： 的渐近线方程为 ， 整理，得 y=x 故选： A 3下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间（ 1， 1）内有零点的函数是（ ） A y= y=2x 1C y=D y=x+2） 【考点】 二分法求方程的近似解 【分析】 根据题意，分别判定每一个选项中的函数是否满足条件即可 【解答】 解：对于 A， y= 减函数，不符合题意， 对于 B， y=2x 1 在（ 1， 1）上是增函数，且 x= 1 时， y= 0， x=1 时， y=1 0， 函数有零点，满足题意； 对于 C， y=在（ ， 0）为减函数，在（ 0， +）为增函数， 不满足题意； 对于 D， y=x+2）定义域内为增函数，但是当 x= 1， y=0，当 x=1， y 1，函数在（1， 1）无零点， 不满足题意 故选： B 4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 5 页（共 18 页） A 3B 6C 9D 12 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图得该几何体是一个倒放的四棱锥 S 中 矩形， ， 平面 ，由此能求出该几何体的体积 【解答】 解：如图，由三视图得该几何体是一个倒放的四棱锥 S 其中 矩形， ， ， 平面 ， 该几何体的体积为： V= = =6 故选： B 5已知 ， 表示两个不同的平面， m 为平面 内的一条直线，则 “ ”是 “m ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 判充要条件就是看谁能推 出谁由 m ， m 为平面 内的一条直线，可得 ；反之， 时，若 m 平行于 和 的交线，则 m ，所以不一定能得到 m 【解答】 解：由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 内的一条直线，且 m ，则 ，反之， 时，若 m 平行于 和 的交线，则 m ，所以不一定能得到 m ， 所以 “ ”是 “m ”的必要不充分条件 故选 B 6在 ， M 是 中点， ，点 P 在 且满足学 ，则等于（ ） A B C D 【考点】 向量的共线定理；平面向量数量积的运算 第 6 页（共 18 页） 【分析】 由 M 是 中点，知 上的中线，又由点 P 在 且满足可得： P 是三角形 重心，根据重心的性质，即可求解 【解答】 解： M 是 中点，知 上的中线， 又由点 P 在 且满足 P 是三角形 重心 = = 又 = = 故选 A 7如图，某地一天中 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=x+） +b（其中A 0， 0， ），那么中午 12 时温度的近似值（精确到 1C）是（ ）A 25262728C 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求 出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式 【解答】 解：由函数 y=x+） +b（其中 A 0， 0， ）的图象，可得b=20， A= =10， =14 6，求得 = 第 7 页（共 18 页） 再根据五点法作图可得 6+= ， = ，故 y=10x+ ） +20 令 x=12，求得 y=5 +2027， 故选： C 8若 a0， b0，且当 x， y 满足 时，恒有 ax+ 成立，则以 a， b 为 坐标的点P（ a， b）所构成的平面区域的面积等于（ ） A 1B C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 先依据不等式组 ，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用求最优解的方法，结合题中条件： “恒有 ax+”得出关于 a， 后再据此不等 式组表示的平面区域求出面积即可 【解答】 解：由 作出可行域如图， 令 z=ax+ ax+ 恒成立， 即函数 z=ax+可行域要求的条件下， 恒成立 当直线 ax+z=0 过点 A（ 1， 1）或点 B（ 0， 2）时， a+b1， 2b1 点 P（ a， b）形成的图形如图： 所求的面积 S= 故选： D 第 8 页（共 18 页） 二填空题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 9 a=， c= a， b， c 之间的大小关系是 b c a 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解 【解答】 解： a=20=1， ， 0 c=1， b c a 故答案为： b c a 10直线 y=x 被圆 x2+2y 3=0 截得的弦长等于 4 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线 y=x 的距离 d 的值，再根据弦长公式求得弦长 【解答】 解：圆 x2+2y 3=0 即 y 1） 2=4，表示以 C（ 0， 1）为圆心，半径等于2 的圆 由于圆心到直线 y=x 的距离为 d= ， 故弦长为 2 = ， 故答案为： 11已知数列 等差数列，公差 d0， ， 数列 公差d 等于 4 ；前 n 项和 n2+7n8 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由等差数列的通项公式和等比数列的性质能求出公差，由此利用等差数列前 n 项和公式能求出前 n 项和 【解答】 解： 数列 等差数列，公差 d0， ， （ 1+2d） 2=1（ 1+5d）， 解得 d= ，或 d=0（舍） = = 第 9 页（共 18 页） 故答案为： 12 ， a=2， ， B=60，则 面积等于 2 【考点】 正弦定理 【分析】 通过余弦定理求出 长，然后利用三角形的面积公式求解即可 【解答】 解：设 AB=c，在 ，由余弦定理知 2 即 7= 22c 2c 3=0，又 c 0， c=3 S BCh， 可知 S 32 = 故答案为： 13某校从 8 名教师中选派 4 名教师去 4 个边远地区支教，每地 1 人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案有 600 种（用数字作答） 【考点】 计数原理的应用 【分析】 先从 8 名教师中选出 4 名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去 ，所以可按选甲和不选甲分成两类，两类方法数相加，再把四名老师分配去 4 个边远地区支教，四名教师进行全排列即可，最后，两步方法数相乘 【解答】 解：分两步， 第一步，先选四名老师，又分两类 第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有 0 种不同选法 第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有 5 种不同选法 不同的选法有 10+15=25 种 第二步，四名老师去 4 个边远地区支教，有 4 最后，两步方法数相乘，得， 2524=600 故答案为： 600 14 在测量某物体的重量时，得到如下数据： 中 a1用 a 表示该物体重量的估计值，使 a 与每一个数据差的平方和最小，则 a 等于 +9 ；若用 b 表示该物体重量的估计值，使 b 与每一个数据差的绝对值的和最小，则 b 等于 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 由方差的概念得 a 是 中位数的性质得 b 是数据： 此能求出结果 【解答】 解： 在测量某物体的重量时，得到如下数据： 中 a1 用 a 表示该物体重量的估计值，使 a 与每一个数据差的平方和最小， 由方差的概念得 a 是 平均数， a= 用 b 表示该物体重量的估计值，使 b 与每一个数据差的绝对值的和最小， 第 10 页（共 18 页） b 是数据： a1 b= 故答案为： ， 三、解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步 骤或证明过程 15已知函数 （ ）求 f（ x）的最小正周期和单调增区间； （ ）求 f（ x）在区间 上的最大值与最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ ）化简函数，即可求 f（ x）的最小正周期和单调增区间； （ ）因为 ，所以 ，即可求 f（ x）在区间上的最大值与最小值 【解答】 解：（ I） = ， = 所以 令 ， 得： 所以 f（ x）得最小正周期为 ，单调递增区间为 （ 为 ， 所以 ， 因此，当 ，即 时， f（ x）的最小值为 ； 当 ，即 x=0 时， f（ x）的最大值为 1 16某校为了解甲、乙两班学生的学业水平，从两班中各随机抽取 20 人参加学业水平等级考试，得到学生的学业成绩茎叶图如下： 第 11 页（共 18 页） （ ）通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值 甲 与 及方差 与 的大小；（只需写出结论） （ ）根据学生的学业 成绩，将学业水平分为三个等级： 学业成绩 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 学业水平 一般 良好 优秀 根据所给数据，频率可以视为相应的概率 （ ）从甲、乙两班中各随机抽取 1 人，记事件 C： “抽到的甲班学生的学业水平等级高于乙班学生的学业水平等级 ”，求 C 发生的概率； （ ）从甲班中随机抽取 2 人，记 X 为学业水平优秀的人数，求 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）由茎叶图能得到 ， （ ）（ i）记 班学生学业水平等级为一般、良好、优秀；记别表示事件：乙班学生学业水平等级为一般、良好、优秀，由 P（ C） =P（ P（ +P（ 能求出 C 发生的概率 （ 甲班随机抽取 1 人，其学业水平优秀的概率为 ，则 X=0， 1， 2， X B（ 2， ），由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ ）由茎叶图得 ， （ ）（ i）记 班学生学业水平等级为一般、良好、优秀； 记 别表示事件：乙班学生学业水平等级为一般、良好、优秀， 则 P（ C） =P（ +P（ +P（ =P（ P（ +P（ P（ +P（ P（ = = ， （ 甲班随机抽取 1 人，其学业水平优秀的概率为 ， 则 X=0， 1， 2， X B（ 2， ）， ， 第 12 页（共 18 页） ， ， 则 X 的分布列为： X 0 1 2 P （或 ） 17如图，在三棱锥 K ，平面 平面 H 为 C= （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 H A 的余弦值； （ ）若 M 为 点，在直线 是否存在点 N 使 平面 存在，求出 不存在，说明理由 【考点】 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）由已知 平面 而 等腰三角形性质得 此能证明 平面 （ ）以 A 为原点， x 轴， y 轴，过 A 垂直于平面 直线 z 轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出二面角 H A 的余弦值 （ ） ， N（ a， b， c），利用向量法 能求出在直线 存在点 N 使 平面 能求出 长 【解答】 证明：（ ）因为平面 底面 直于这两个平面的交线 所以 平面 所以 因为 A， H 为 点，所以 因为 K=A，所以 平面 解：（ ）如图，以 A 为原点， x 轴， y 轴，过 A 垂直于平面 直线 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（ 0， 0， 0）， K（ 0， 2， 2）， H（ 0， 1， 1）， C（ 0， 2， 0）， B（ 2， 0， 0） ， 第 13 页（共 18 页） ， ，即 ， 因为所求的二面角为锐角， （ ） ， N（ a， b， c）， 所以 N（ 2， 2 2， 2 2）因为 M（ 0， 1， 0）， ，得 3 2=0， 18已知函数 （ a 0） 第 14 页（共 18 页） （ ）当 a=1 时，求函数 f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程； （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x） 2 1， +）上恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，计算 f（ 2）， f（ 2）的值，代入切线方程即可； （ ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，确定函数的单调性即可； （ ）问题等价于 在 1， +）上恒成立，令，根据函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ ）当 a=1 时， ， ， 所以，函数 f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程 为 即： 5x 4y 4=0 （ ）函数的定义域为： x|x0 当 0 a2 时， f（ x） 0 恒成立， 所以， f（ x）在（ ， 0）和（ 0， +）上单调递增 当 a 2 时，令 f（ x） =0， 即： a=0， ， f（ x） 0， x x f（ x） 0， x 0 或 0 x 所以， f（ x）单调递增区间为 ， 单调减区间为 （ ）因为 f（ x） 2 1， +）上恒成立， 则 令 g（ x） =0，则 若 ，即 a=1 时， g（ x） 0， 函数 g（ x）在 1， +）上单调递增，又 g（ 1） =0， 所以， f（ x） 2 1， +）上 恒成立； 若 ，即 a 1 时，当 时， 第 15 页（共 18 页） g（ x） 0， g（ x）单调递增； 当 时， g（ x） 0， g（ x）单调递减 所以， g（ x）在 1， +）上的最小值为 ， 因为 g（ 1） =0，所以 不合题意 ，即 a 1 时，当 时， g（ x） 0， g（ x）单调递增， 当 时， g（ x） 0， g（ x）单调递减， 所以， g（ x）在 1， +）上的最小值为 g（ 1） 又因为 g（ 1） =0，所以 f（ x） 2成立 综上知， a 的取值范围是 1， +） 19已知椭圆 G： 上的点 到两焦点的距离之和等于 （ ）求椭圆 G 的方程； （ ）经过椭圆 G 右焦点 F 的直线 m（不经过点 M）与椭圆交于 A， B 两点，与直线 l： x=4相交于 C 点，记直线 斜率分别为 证： 为定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由椭圆定义知： ，即 ，将点 的坐标代入椭圆，求出 b 的值，则椭圆 G 的方程可求； （ ）由（ ）知右焦点 F（ 2， 0），由题意，直线 m 有斜率，设方程为 y=k（ x 2），令x=4，得点 C（ 4， 2k），即可求出 立 ，得到：（ 1+288=0，由 0，设 A（ B（ 再由根与系数的关系得到 x1+x1 k1+一步得到要证明的结论 【解答】 （ ）解：由椭圆定义知： ， 椭圆 ，将点 的坐标代入得 椭圆 G 的方程为 ； 第 16 页（共 18 页） （ ）证明：右焦点 F（ 2， 0）， 由题意，直线 m 有斜率，设方程为 y=k（ x 2）， 令 x=4，得点 C（ 4， 2k）， ； 又由 消元得：（ 1+288=0， 显然 0，设 A（ B（ 则 ， = = = = k1+ 为定值 20若数对（ a， b）（ a 1， b 1， a， bN*），对于 mZ， x， yZ，使 m=xa+立，则称数对（ a， b）为全体整数的一个基底，（ x， y）称为 m 以（ a， b）为基底的坐标； （ ）给出以下六组数对（ 2， 3），（ 2， 5），（ 2， 6），（ 3， 5），（ 3， 12），（ 9， 17），写出可以作为全体整数基底的数对； （ ）若（ a， b）是全体整数的一个基底，对于 mZ， m 以（ a， b）为基底的坐标（ x， y）有多少个？并说