湖南省邵阳市2016届高三(上)期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年湖南省邵阳市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A= 1， 1， B=x|xR， 12x4，则 AB 等于（ ） A 0， 1 B 1， 1 C 1 D 1， 0， 1 2已知复数 z=1 i， 为 z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A B C D 3已知向量 =（ 2， 3）， =（ 1， 2），若 m + 与 共线，则 m 的值为（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 4若 ，则 的值为（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 5抛物线 x=0 上的一点 P 到直线 x=3 的距离等于 5，则 P 到焦点 F 的距离 |（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 6将直径为 2 的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 7已知实数 a 满足 |a| 2，则事件 “点 M（ 1， 1）与 N（ 2， 0）分别位于直线 l： 2y+1=0两侧 ”的概率为（ ） A B C D 8根据如图所示的框图，当输入的 x=3 时，则输出的 y 为（ ） A 19 B 10 C 9 D 0 9若函数 f（ x） =2|x a|（ aR）满足 f（ 1+x） =f（ 3 x），且 f（ x）在 m， +）单调递增，则实数 m 的最小值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 1 10已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积为（ ） 第 2 页（共 18 页） A B 4 C D 11已知数列 n=1， 2， 3， 2015，圆 x2+4x 4y=0，圆 x2+2，若圆 1的周长，则 所有项的和为（ ） A 2014 B 2015 C 4028 D 4030 12对任意实数 a， b 定义运算 “”： ，设 f（ x） =（ 1） （ 4+x），若函数 y=f（ x） +k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点，则 k 的取值范围是（ ） A（ 2， 1） B 0， 1C 2， 0） D 2， 1） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分 ） 13曲线 y=2x 在点（ 1， 1）处的切线方程是 14若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z= x+y 的取值范围为 15等比数列 公比不为 1，若 ，且对任意的 nN*，都有 、 成等差数列，则 前 5 项和 16已知点 别是双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左，右焦点，过点 l 与双曲线 C 的左，右两支分别交于 P， Q 两点，若 以 为直角的等腰直角三角形， e 为双曲线 C 的离心率，则 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且满足： b c） 2+（ 2 ） （ ）求角 A 的大小； （ ）若 a=2，求 面积 S 18如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形， 0， ， O 为 交点， E 为棱 一点 （ ）证明：平面 平面 （ ）若 平面 三棱锥 P 体积 第 3 页（共 18 页） 19现有 A， B， C 三种产品需要检测，产品数量如下表： 产品 A B C 数量 800 800 1200 已知采用分层抽样 的方法从以上产品中共抽取了 7 件 （ 1）求分别抽取的三种产品件数； （ 2）已知被抽取的 A， B， C 三种产品中，一等品分别有 1 件、 2 件、 2 件，现再从已抽取的 A， B， C 三件产品中各抽取 1 件，求 3 件产品都是一等品的概率 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 ， 0）， ，0），过点 直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，且 周长为 8 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）过点 M（ a， 0）斜率为 k 的直线交椭圆于点 N，直线 O 为坐标原点）交椭圆于另一点 P，若 k ， 1，求 积的最大值 21已知函数 f（ x） =1 （ 1）求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若 f（ x）（ a+1） 1 在（ 1， +）上恒成立，求 a 的取值范围 请考生从 22、 23、 24题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分）选修 4何证明选讲 22如图， 接于圆 O，分别取 中点 D、 E，连接 线 圆 点处的切线于 G，交圆于 H、 F 两点，若 ， ， （ ） 求证： = ； （ ）求 长 第 4 页（共 18 页） 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 C 的参数方程为 ，直线 l 的极坐标方程为 + ） = 2 （ 1）写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （ 2）设点 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值 选修 4等式选讲 24设 f（ x） =|2x 4|+|x+3| （ 1）解不等式 f（ x） 7； （ 2）若 f（ x） 4m 恒成立，求 m 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2015年湖南省邵阳市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A= 1， 1， B=x|xR， 12x4，则 AB 等于（ ） A 0， 1 B 1， 1 C 1 D 1， 0， 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出 B，再由 A，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 B 中不等式变形得： 20=12x4=22，即 0x2， B=0， 2， A= 1， 1， AB=1， 故选： C 2已知复数 z=1 i， 为 z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A B C D 【考点】 复数求模 【分析】 利用共轭复数的概念求出 ，然后由模的公式求模 【解答】 解：由复数 z=1 i，则 ， |z|=| |= 由上可知，正确的选项为 D 故答案为 D 3已知向量 =（ 2， 3）， =（ 1， 2），若 m + 与 共线，则 m 的值为（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程求出 m 的值 【解答】 解：向量 =（ 2， 3）， =（ 1， 2）， m + =（ 2m 1， 3m+2）， =（ 3， 1）； 又 m + 与 共线， 3（ 3m+2）（ 2m 1） =0， 解得 m= 1 故选： A 4若 ，则 的值为（ ） 第 6 页（共 18 页） A 2 B 1 C 1 D 2 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求后，再利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可计算求值 【解答】 解： ， = = = =2 故选： D 5抛物线 x=0 上的一点 P 到直线 x=3 的距离等于 5，则 P 到焦点 F 的距离 |（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由抛物线的方程求出其焦点坐标和准线方程，利用已知求得 P 到准线的距离，则答案可求 【解答】 解：由 x=0，得 4x， 抛物线的焦点 F（ 1， 0），准线方程为 x=1 P 到直线 x=3 的距离为 5， P 到准线 x=1 的距离为 3， 则 P 到焦点 F 的距离 |3 故选： B 6将直径为 2 的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】 判断几何体的特征，然后求解即可 【解答】 解：由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个求面积， 故选： B 7已知实数 a 满足 |a| 2，则事件 “点 M（ 1， 1）与 N（ 2， 0）分别位于直线 l： 2y+1=0两侧 ”的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据点 M（ 1， 1）与点 N（ 2， 0）分别位于直线 l： 2y+1=0 两侧，求出 a 的取值范围， 再利用几何概型求出对应的概率 【解答】 解：要使点 M（ 1， 1）与点 N（ 2， 0）分别位于直线 l： 2y+1=0 两侧， 则（ a 2+1）（ 2a+1） 0 即 a 1 第 7 页（共 18 页） 又 |a| 2，即 2 a 2， 由测度比为长度比得： 点 M（ 1， 1）与点 N（ 2， 0）分别位于直线 l 两侧的概率为： P= = 故选： C 8根据如图所示的框图，当输入的 x=3 时，则输出的 y 为（ ） A 19 B 10 C 9 D 0 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体后， x=0，满足条件； 第二次执行循环体后， x= 3，不满足条件； 故 y=（ 3） 2+1=10， 故选： B 9若函数 f（ x） =2|x a|（ aR）满足 f（ 1+x） =f（ 3 x），且 f（ x） 在 m， +）单调递增，则实数 m 的最小值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 1 【考点】 函数单调性的判断与证明 【分析】 由 f（ x）的解析式便知 f（ x）关于 x=a 对称，而由 f（ 1+x） =f（ 3 x）知 f（ x）关于 x=2 对称，从而得出 a=2，这样便可得出 f（ x）的单调递增区间为 2， +），而 f（ x）在 m， +）上单调递增，从而便得出 m 的最小值为 2 【解答】 解： f（ x） =2|x a|； f（ x）关于 x=a 对称； 又 f（ 1+x） =f（ 3 x）； f（ x）关于 x=2 对称； a=2； ； 第 8 页（共 18 页） f（ x）的单调递增区间为 2， +）； 又 f（ x）在 m， +）上单调递增； 实数 m 的最小值为 2 故选： C 10已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积为（ ） A B 4 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知该几何体是三棱锥，结合棱 锥的几何特征，求出外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案 【解答】 解：由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为 1，底面为一个直角三角形， 由于底面斜边上的中线长为 1，则底面的外接圆半径为 1， 顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上， 由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径 R 为 1， 则三棱锥的外接球体积 V= = ， 故选： D 11已知数列 n=1， 2， 3， 2015，圆 x2+4x 4y=0，圆 x2+2，若圆 1的周长，则 所有项的和为（ ） A 2014 B 2015 C 4028 D 4030 【考点】 数列的求和 【分析】 圆 x2+4x 4y=0，圆 x2+22，相减可得：（ 2 an）x+（ 2 n） y=0由于圆 1的周长，可得直线（ *）经过圆 2， 2），an+n=4再利用等差数列的性 质及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：圆 x2+4x 4y=0，圆 x2+22， 相减可得：（ 2 x+（ 2 n） y=0，（ *） 圆 分圆 周长， 直线（ *）经过圆 圆心（ 2， 2）， 2（ 2 +2（ 2 n） =0， an+n=4 a1+an+n=4 所有项的和为 =4030 第 9 页（共 18 页） 故选： D 12对任意实数 a， b 定义运算 “”： ，设 f（ x） =（ 1） （ 4+x），若函数 y=f（ x） +k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点，则 k 的取值范围是（ ） A（ 2， 1） B 0， 1C 2， 0） D 2， 1） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 化简函数 f（ x）的解析式，作出函数 y=f（ x）的图象，由题意可得，函数 y=f（ x）与 y= k 的图象有 3 个交点，结合图象求得结果 【解答】 解：当（ 1）（ x+4） 1 时， f（ x） =1，（ 2 x 3）， 当（ 1）（ x+4） 1 时， f（ x） =x+4，（ x3 或 x 2）， 函数 y=f（ x） = 的图象如图所示： 由图象得： 2k 1，函数 y=f（ x）与 y= k 的图象有 3 个交点， 即函数 y=f（ x） +k 的图象与 x 轴恰有三个公共点； 故答案选： D 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分） 13曲线 y=2x 在点（ 1， 1）处的切线方程是 x y 2=0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 根据导数的几何意义求出函数在 x=1 处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可 【解答】 解： y= 2+3x2 y|x= 1=1 而切点的坐标为（ 1， 1） 曲线 y=2x 在 x=1 的处的切线方程为 x y 2=0 第 10 页（共 18 页） 故答案为： x y 2=0 14若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z= x+y 的取值范围为 ， 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 1， 1）， 联立 ，解 得 B（ 2， 2）， 化 z= x+y 为 y= ， 由图可知，当直线 y= 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为 ； 当直线 y= 过 B 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 3 故答案为： 15等比数列 公比不为 1，若 ，且对任意的 nN*，都有 、 成等差数列，则 前 5 项和 11 【考点】 等差数列与等比数列的综合 【分析】 运用等差数列的性质可得 2an=+，令 n=1 可得 a3+2，设公比为 q，由等比数列的通项公式，解方程可得 q，再由等比数列的求和公式，计算可得前 5 项和 【解答】 解：对任意的 nN*，都有 、 成等差数列， 即有 2an=+， 令 n=1 可得 a3+2，设公比为 q， 则 q2+q 2） =0 由 q2+q 2=0 解得 q= 2 或 q=1（舍去）， 第 11 页（共 18 页） 则 = =11 故答案为： 11 16已知点 别是双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左，右焦点，过点 l 与双曲线 C 的左，右两支分别交于 P， Q 两点，若 以 为直角的等腰直角三角形， e 为双曲线 C 的离心率，则 5+2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 |m，计算出 | m，运用双曲线的定义，再利用勾股定理，即可建立 a， c 的关系，从而求出 值 【解答】 解：设 |m， 则 | m， 由双曲线的定义可得 |m+2a， | m 2a， | |m， m+2a（ m 2a） =m， 4a= m，即 m=2 a， 直角三角形， |=|+| 4 2+2 ） 2 2 a） 2， 4 20+8 ） 由 e= 可得 +2 故答案为： 5+2 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且满足： b c） 2+（ 2 ） （ ）求角 A 的大小； （ ）若 a=2，求 面积 S 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由已知整理可得 ，利用余弦定理可求 可解得 （ 2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得 A B） =1，可得 A， B， C 的值，利用三角形面积公式即可得解 【解答】 解：（ 1） ， ， 第 12 页（共 18 页） 又 ， （ 2） ， 2+ A+B）， 即 A B） =1 ， ， 又 ， 18如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形， 0， ， O 为 交点， E 为棱 一点 （ ）证明：平面 平面 （ ）若 平面 三棱锥 P 体 积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）由已知得 此能证明平面 平面 （ ）由已知得 点 H，连结 此利用 ，能求出三棱锥 P 体积 【解答】 （ ）证明： 平面 面 四边形 菱形， 又 D=D， 平面 而 面 平面 平面 （ ）解： 平面 面 面 E， O 是 点， E 是 点 第 13 页（共 18 页） 取 点 H，连结 四边形 菱形， 0， D=D， 平面 = = 19现有 A， B， C 三种产品需要检测，产品数量如下表： 产品 A B C 数量 800 800 1200 已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了 7 件 （ 1）求分别抽取的三种产品件数； （ 2）已知被抽取的 A， B， C 三种产品中，一等品分别有 1 件、 2 件、 2 件，现再从已抽取的 A， B， C 三件产品中各抽取 1 件，求 3 件产品都是一等品的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法 【分析】 （ 1）设 A、 B 产品均抽 取了 x 件， C 产品抽取了 7 2x 件，利用用分层抽样的方法能求出分别抽取的三种产品件数 （ 2）记抽取的 A 产品为 中 一等品，抽取的 B 产品为 件均为一等品，抽取的 C 产品为 中 一等品，由此能求出 3 件产品均为一等品的概率 【解答】 解：（ 1）设 A、 B 产品均抽取了 x 件， C 产品抽取了 7 2x 件， 则有 = ，解得 x=2， A、 B 产品分别抽取了 2 件， C 产品 抽取了 3 件 （ 2）记抽取的 A 产品为 中 一等品， 抽取的 B 产品为 件均为一等品， 抽取的 C 产品为 中 一等品， 从三种产品中各取一件，基本事件数 n=223=12， 其中三个都是一等品的基本事件有： b2，共 4 件， 第 14 页（共 18 页） 3 件产品均为一等品的概率 p= = 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 ， 0）， ，0），过点 直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，且 周长为 8 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）过点 M（ a， 0）斜率为 k 的直线交椭圆于点 N，直线 O 为坐标原点）交椭圆于另一点 P，若 k ， 1，求 积的最大值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由已知利用椭圆性质得 c= ， 4a=8，由此能求出椭圆 C 的标准方程 （ 2）设直线 方程为 x+2= m= ），代入椭圆方程得（ ） 40，由此利用韦达定理、椭圆对称性求出 面积，再由函数的单调性能求出 面积的最大值 【解答】 解：（ 1） 椭 圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 ， 0）， 0）， 过点 直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，且 周长为 8， c= ， 4a=8， a=2， b= =1， 椭圆 C 的标准方程为 =1 （ 2）由（ 1）得 a=2，设直线 方程为 x+2= m= ）， 代入椭圆方程得（ ） 40， ， 又 M（ 2， 0）， N（ ， ），由对称性知 P（ ， ）， 面积 S= = ， 令 f（ m） =m+ ，则 f（ m）在 m1， 2上单调递减， 当 m=2，即 k= 时， 面积取最大值 2 21已知函数 f（ x） =1 第 15 页（共 18 页） （ 1）求曲 线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若 f（ x）（ a+1） 1 在（ 1， +）上恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，求出 f（ 1）， f（ 1），代入切线方程即可；（ 2）问题转化为 a x 恒成立，令 g（ x） =x ，根据函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ 1）由题意得： f（ x） = +2x，（ x 0）， f（ 1） =a+2，又 f（ 1） =0， 切线方程是 y=（ a+2）（ x 1）， 即（ a+2） x y a 2=0； （ 2）由 f（ x）（ a+1） 1 得： x 1， a x 恒成立， 令 g（ x） =x ，则 g（ x） = ， 令 h（ x） =x2+1，则 h（ x） =2x+ 0， h（ x）在（ 1， +）递增，而 h（ 1） =0， x（ 1， +）时， h（ x） 0， g（ x） 0， g（ x）在（ 1， +）递增， g（ x） g（ 1） =1， 当 a1 时， a g（ x）恒成立， a 的范围是（ ， 1 请考生从 22、 23、 24题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分）选修 4何证明选讲 22如图， 接于圆 O，分别取 中点 D、 E，连接 线 圆 点处的切线于 G，交圆于 H、 F 两点，若