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二一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷(2012 年6 月24 日上午9:00-11:30)考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分120 分.2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3、解题书写不要超出装订线.4、不能使用计算器.一、填空题( 本题满分56 分,每小题7 分)1. 空间四点 A ，B ，C ，D两两间的距离均为1，点P 与点Q分别在线段AB 与CD上运动，则点 P 与点Q间的最小距离为_；2.向量为坐标原点，动点满足则点构成的图形的面积 为 3. 设有非空集合且当时，必有，这样的集合A的个数是_；4.设其中表示不超过的最大整数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 5. 11位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4 个数字只能是1、3 、5 且都至少出现1 次, 这样的手机号码有_个；6.若则的最大值是 ；7.设函数，满足且对任意都有，则 ；8.实数满足，则的最大值为 ；二、解答题( 本题满分 64 分, 第 9、10 题每题14 分，第11、12 题每题18 分)9.已知数列满足，且。（1）求数列的通项公式；（2）设为非零常数，若数列是等差数列，记，求10.M是抛物线的准线上任意点，过M作抛物线的切线，切点分别为A、B（A在x轴上方）。（1）证明：直线AB过定点；（2）设AB的中点为P，求MP的最小值。11.设为正实数，且，求证：12.某校数学兴趣小组由m 位同学组成，学校专门安排n 位老师作为指导教师. 在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以
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