第一轮数学：8.3抛物线VIP

8.3 抛物线知识梳理定义到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹方程1.y2=2px（p0），焦点是F（，0）2.x2=2py（p0），焦点是F（0，）性质S：y2=2px（p0）1.范围：x02.对称性：关于x轴对称3.顶点：原点O4.离心率：e=15.准线：x=6.焦半径P（x，y）S，|PF|=x+思考讨论 对于抛物线x2=2py（p0），其性质如何？焦半径公式如何推导？点击双基1.（2004年春季北京）在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为A. B.1 C.2 D.4解析：抛物线的准线方程为x=，由抛物线的定义知4+=5，解得P=2.答案：C2.设a0，aR，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为A.（a，0） B.（0，a）C.（0，） D.随a符号而定解析：化为标准方程.答案：C3.以抛物线y22px（p0）的焦半径PF为直径的圆与y轴位置关系为A.相交 B.相离C.相切 D.不确定解析：利用抛物线的定义.答案：C4.以椭圆 +=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为_.解析：中心为（0，0），左准线为x=，所求抛物线方程为y2= x.又椭圆右准线方程为x=，联立解得A（，）、B（，）.|AB|=.答案：5.（2002年全国）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_.（要求填写合适条件的序号）解析：由抛物线方程y2=10x可知满足条件.答案：典例剖析【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（3，2）；（2）焦点在直线x2y4=0上.剖析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.解：（1）设所求的抛物线方程为y2=2px或x2=2py（p0），过点（3，2），4=2p（3）或9=2p2.p=或p=.所求的抛物线方程为y2=x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=.（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，抛物线的焦点为（4，0）或（0，2）.当焦点为（4，0）时，=4，p=8，此时抛物线方程y2=16x；焦点为（0，2）时，=2，p=4，此时抛物线方程为x2=8y.所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=8y，对应的准线方程分别是x=4，y=2.评述：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.【例2】如下图所示，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.剖析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x、y的取值范围.解：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点.设曲线段C的方程为y2=2px（p0）（xAxxB，y0），其中xA、xB为A、B的横坐标，p=|MN|，所以M（，0） 、N（，0）.由|AM|=，|AN|=3，得（xA+）2+2pxA=17， （xA）2+2pxA=9. 联立解得xA=，代入式，并由p0，或解得 p=4， p=2，xA=1 xA=2. 因为AMN为锐角三角形，所以xA.所以故舍去 P=2， P=4，xA=2. xA=1.由点B在曲线段C上，得xB=|BN|=4.综上，曲线段C的方程为y2=8x（1x4，y0）.评述：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.【例3】 设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴.证明直线AC经过原点O.剖析：证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证kOC=kOA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.证法一：设AB：x=my+，代入y2=2px，得y22pmyP2=0.由韦达定理，得yAyB=p2，即yB=.BCx轴，且C在准线x=上，C（，yB）.则kOC=kOA.故直线AC经过原点O.证法二：如下图，记准线l与x轴的交点为E，过A作ADl，垂足为D.则ADEFBC.连结AC交EF于点N，则=，=.|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，|EN|=|NF|，即N是EF的中点.从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O.评述：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yAyB=p2这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目.思考讨论 本题也可用平面向量来证明，读者不妨一试.闯关训练夯实基础1.（2003年高考新课程）设a0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处切线的倾斜角的取值范围为0，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为A.0， B.0，C.0，| D.0，|解析：tan=k=f（x）=2ax+b，02ax0+b1.0x0+.答案：B2.（2004年全国，8）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是A.， B.2，2C.1，1 D.4，4解析：y2=8x，Q（2，0）（Q为准线与x轴的交点），设过Q点的直线l方程为y= k（x+2）.l与抛物线有公共点，有解，方程组 y2=8x，y=k（x+8）即k2x2+（4k28）+4k2=0有解.=（4k28）216k40，即k21.1k1.答案：C3.（2003年春季上海）直线y=x1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是_.解析：将y=x1代入抛物线y2=4x，经整理得x26x+1=0.由韦达定理得x1+x2=6，=3，=2.所求点的坐标为（3，2）.答案：（3，2）4.在抛物线y=4x2上求一点，使该点到直线y=4x5的距离最短，该点的坐标是_.解法一：设与y=4x5平行的直线y=4x+b与y=4x2相切，则y=4x+b代入y=4x2，得 4x24xb=0. =16+16b=0时b=1，代入得x=，所求点为（，1）.解法二：设该点坐标为A（x0，y0），那么有y0=4x02.设点A到直线y=4x5的距离为d，则d=|4x02+4x05|=|4x024x0+5|=|4（x0）2+1|.当且仅当x0=时，d有最小值，将x0=代入y=4x2解得y0=1.故A点坐标为（，1）.答案：（，1）5.下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程是y=ax2+c（a0），D=（6，7）为x轴上的给定区间.（1）为使物体落在D内，求a的取值范围；（2）若物体运动时又经过点P（2，8.1），问它能否落在D内？并说明理由.解：（1）把点A的坐标（0，9）代入y=ax2+c得c=9，即运动物体的轨迹方程为y=ax2+9.令y=0，得ax2+9=0，即x2=.若物体落在D内，应有67，解得a.（2）若运动物体又经过点P（2，8.1），则8.1=4a+9，解得a=，运动物体能落在D内.6.正方形ABCD中，一条边AB在直线y=x+4上，另外两顶点C、D在抛物线y2x上，求正方形的面积.解：设CD所在直线的方程为y=x+t，消去y得 y=x+t， y2=x， x2+（2t1）x+t2=0，CD.又直线AB与CD间距离为AD，ADCD，t=2或6.从而边长为3或5.面积S1（3）218，S2=（5）2=50.培养能力7.给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a0，P是抛物线上的一点，且PA=d，试求d的最小值.解：设P（x0，y0）（x00），则y02=2x0，d=PA=.a0，x00，（1）当0a1时，1a0，此时有x0=0时，dmin=a.（2）当a1时，1a0，此时有x0=a1时，dmin=.8.过抛物线y2=2px（p0）焦点F的弦AB，点A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1，求A1FB1.解：由抛物线定义及平行线性质知A1FB1=180（AFA1+BFB1）=180（180A1AF）（180B1BF）=（A1AF+B1BF）=90.探究创新9.（2003年春季北京）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=1相切，点C在l上.（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；（2）设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A、B两点.问ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由.当ABC为钝角三角形时，求这时点C的纵坐标的取值范围.解：（1）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x，如下图.（2）由题意得，直线AB的方程为y=（x1）.消去y，得3x210x+3=0.由 y=（x1），y2=4x， 解得A（，），B（3，2），若ABC能为正三角形，设C（1，y），则|AC|=|AB|=|BC|， （+1）2+（y）2=（3）2+（2+）2， （3+1）2+（2+y）2=（3）2+（2+）2. 解得y=.但y=不符合（1），所以组成的方程组无解.因此直线l上不存在点C使ABC是正三角形.设C（1，y）使ABC成钝角三角形，由得y=2，y=（x1），x=1， 即当点C的坐标为（1，2）时，A、B、C三点共线，故y2.又|AC|2=（1）2+（y）2=+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=.当|BC|2|AC|2+|AB|2，即28+4y+y2y+y2+，即y时，CAB为钝角.当|AC|2|BC|2+|AB|2，即y+y228+4y+y2+，即y时，CBA为钝角.又|AB|2|AC|2+|BC|2，即+y2+28+4y+y2，即y2+y+0，（y+）20.该不等式无解，所以ACB不可能为钝角.因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y或y（y2）.思悟小结本节主要内容是抛物线的定义、方程及几何性质.解决本节问题时应注意以下几点：1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算.3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质.教师下载中心教学点睛本节重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质.难点是四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用，关键是定义的运用.建议在教学中注意以下几点：1.圆锥曲线统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0e1时，表示椭圆；当e=1时，表示抛物线；当e1时，表示双曲线.2.由于抛物线的离心率e=1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的.3.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益.4.求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.5.在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化.拓展题例【例题】 （2003年北京东城区模拟题）已知抛物线C1：y2=4ax（a0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C1于一点Q（点Q在x轴下方）.（1）求点P和Q的坐标；（2）将点Q沿直线l向上移动到点Q，使