福建省泉州市2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年福建省泉州市四校联考高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一个正确答案，请你把正确的选择涂在答题卡中相应位置） 1下列函数求导运算正确的个数为（ ） （ 3x） =3 （ = （ = （ ） =x； （ x= A 1 B 2 C 3 D 4 2已知 A、 B、 C 三点不共线 ， O 是平面 的任一点，下列条件中能确定点 M 与点 A、B、 C 一定共面的是（ ） A B C D 3 命题 “若 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为： “若 x 1，则 3x+2 0” “x=1”是 “4x+3=0”的充要条件； 若 p q 为假命题，则 p、 q 均为假 命题 对于命题 p： R， 0，则 p： x R， x+2 0 上面四个命题中正确是（ ） A B C D 4若双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A B 5 C D 2 5已知抛物线 y2=n 0）与双曲线 =1 有一个相同的焦点，则动点（ m， n）的轨迹是（ ） A椭圆的一部分 B双曲线的一部分 C抛物线的一部分 D直线的一部分 第 2 页（共 16 页） 6在正三棱柱 ，已知 ， ，则异面直线 成角的余弦值为（ ） A 0 B C D 7已知方程 ax+by+c=0（其中 0， a b， c 0），它们所表示的曲线可能是（ ） A B C D 8过点（ 2， 0）与抛物线 y 只有一个公共点的直线有（ ） A 1 条 B 2 条 C 3 条 D无数条 9已知平行六面体 ABCD中， ， ， 5， 60，则 长为（ ） A 5 B C 10 D 10椭圆 的左右焦点分别为 内切圆周长为 ，A， B 两点的坐标分别为（ （ 则 |为（ ） A B C D 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 11已知向量 =（ k， 12， 1）， =（ 4， 5， 1）， =（ k， 10， 1），且 A、 B、 C 三点共线，则 k= 12椭圆 + 中，以点 M（ 1， ）为中点的弦所在直线方程是 13已知抛物线 x 上的任意一点 P，记点 P 到 y 轴的距离为 d，对于给定点 A（ 4， 5），则 |d 的最小值为 14设点 M（ x， y），其轨迹为曲线 C，若 =（ x 2， y）， =（ x+2， y）， | | | |=2，则曲线 C 的离心率等于 三、解答题（共 44 分） 15已知 m R，设命题 p：方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆；命题 q：函数 f（ x） =3mx+m+ 有零点 第 3 页（共 16 页） （ 1）若 p 为真命题，求 m 的取值范围； （ 2）若 “p q”为真，求 m 的取值范围 16在边长为 1 的正方体 ， E 是 中点， F 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求直线 平面 成角的余弦值 17在四棱锥 P ，底面 边长为 1 的正方形，且 面 （ 1）求证： （ 2）过直线 垂直于直线 平面交 点 E，且三棱锥 E 体积取到最大值， 求此时 长度； 求此时二面角 A B 的余弦值的大小 18在直角坐标系 ，椭圆 =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 2： x 的焦点，点 M 为 第一象限的交点，且 | （ ）求 方程； （ ）平面上的点 直线 l 与 ， ，求直线 l 的方程 第 4 页（共 16 页） 2015年福建省泉州市四校联考高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一个正确答案，请你把正确的选择涂在答题卡中相应位置） 1下列函数求导运算正 确的个数为（ ） （ 3x） =3 （ = （ = （ ） =x； （ x= A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 导数的运算 【分析】 根据（ = = ，（ = 即可作出判断 【解答 】 解： （ 3x） =3错误； （ = ，故正确； （ =正确； （ ） = ，故错误； （ x=ex+x错误 故选： B 2已知 A、 B、 C 三点不共线， O 是平面 的任一点，下列条件中能确定点 M 与点 A、B、 C 一定共面的是（ ） A B C D 【考点】 共线向量与共面向量 【分析】 根据共面向量定理 ，说明 M、 A、 B、 C 共面，判断选项的正误 【解答】 解：由共面向量定理 ， 说明 M、 A、 B、 C 共面， 可以判断 A、 B、 C 都是错误的， 第 5 页（共 16 页） 则 D 正确 故选 D 3 命题 “若 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为： “若 x 1，则 3x+2 0” “x=1”是 “4x+3=0”的充要条件； 若 p q 为假命题，则 p、 q 均为假命题 对于命题 p： R， 0，则 p： x R， x+2 0 上面四个命题中正确是（ ） A B C D 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据逆否命题的定义进行判断 根据充分条件和必要条件的定义进行判断 根据复合命题的真假关系进行判断 根据含有量词的命题的否定进行判断 【解答】 解： 命题 “若 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为： “若 x 1，则 3x+2 0”正确，故 正确， 由 4x+3=0 得 x=1 或 x=3，故 “x=1”是 “4x+3=0”的充分不必要条件；故 错误， 若 p q 为假命题，则 p、 q 至少有一个均为假命题故 错误， 对于命题 p： R， 0，则 p： x R， x+2 0，正确，故 正确， 故正确是命题是 ， 故选： C 4若双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A B 5 C D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通 a， b， c 的关系，即可求出该双曲线的离心率 【解答】 解： 焦点到渐近线的距离等于实轴长， b=2a， =1+ =5、 e= 故选 A 5已知抛物线 y2=n 0）与双曲线 =1 有一个相同的焦点，则动点（ m， n）的轨迹是（ ） A椭圆的一部分 B双曲线的一部分 C抛物线的一部分 D直线的一部分 第 6 页（共 16 页） 【考点】 圆锥曲线的共同特征 【分析】 根据抛物线的方程求出抛物线焦点坐标 F（ ， 0）也是双曲线的焦点，根据双曲线的方程中三个参数的关系得到 8+m= 即为 6m+64（ n 0）得到动点（ m， n）的轨迹是抛物线的一部分 【解答】 解：抛物线焦点坐标 F（ ， 0）根据题意，也是双曲线的焦点 则有 8+m= 6m+128（ n 0） 所以动点（ m， n）的轨迹是抛物 线的一部分 故选 C 6在正三棱柱 ，已知 ， ，则异面直线 成角的余弦值为（ ） A 0 B C D 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 连接 E，连 接 用四边形 平行四边形及其三角形的中位线定理证明 得 其补角为异面直线 成的角，再利用余弦定理即可得出 【解答】 解：如图所示 连接 E，连接 四边形 平行四边形， C 又 C 其补角为异面直线 成的角， 在 ， ， ， =0， 异面直线 成角的余弦值为 0 故选： A 第 7 页（共 16 页） 7已知方程 ax+by+c=0（其中 0， a b， c 0），它们所表示的曲线可能是（ ） A B C D 【考点】 圆锥曲线的轨迹问题 【分析】 根据题意，可以整理方程 ax+by+c=0 变形为标准形式和斜截式，可以判断其形状，进而分析直线所在的位置可得答案 【解答】 解：方程 成： ， ax+by+c=0 化成： y= x ， 对于 A：由双曲线图可知： b 0， a 0， 0，即直线的斜率大于 0，故错； 对于 C：由椭圆图可知： b 0， a 0， 0，即直线的斜率小于 0，故错； 对于 D：由椭圆图可知： b 0， a 0， 0，即直线的斜率小于 0，故错； 故选 B 8过点（ 2， 0）与抛物线 y 只有一个公共点的直线有（ ） A 1 条 B 2 条 C 3 条 D无数条 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 当过点（ 2， 0）的直线的斜率不存在时，直线的方程为 x=2；当过点（ 2， 0）的直线的斜率等于 0 时，直线的方程为 y=0；当过点（ 2， 0）的直线斜率存在且不为零时，设为k，把 y=k（ x 2），代入抛物线方程，由判别式等于 0，求得 k 的值，从而得到结论 【解答】 解：抛物线 y 的焦点为（ 0， 2）， 当过点（ 2， 0）的直线的斜率不存在时，直线的方程为 x=2， 与抛物线 y 只有一个公共点； 当过点（ 2， 0）的直线的斜率等于 0 时，直线的方程为 y=0， 与抛物线 y 只有一个公共点； 当过点（ 2， 0）的直线斜率存在且不为零时，设为 k， 那么直线方程为： y=k（ x 2）， 代入抛物线方程，可得 86k=0， 由判别式等于 0，可得 6464k=0， 可得 k=1 或 0，此时直线的方程为 y=x 2 或 y=0 第 8 页（共 16 页） 综上，满足条件的直线共有 3 条， 故选： C 9已知平行六面体 ABCD中， ， ， 5， 60，则 长为（ ） A 5 B C 10 D 【考点】 棱柱的结构特征 【分析】 如图所示， = ，可得 = + +2+2 +2 ，利用数量积运算即可得出 【解答】 解：如图所示， = ， = + +2 +2 +2 =42+32+52+2 4 3 2 4 5 2 3 5 =97 = 故选： D 10椭圆 的左右焦点分别为 内切圆周长为 ，A， B 两点的坐标分别为（ （ 则 |为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 先根据椭圆方程求得 a 和 c，及左右焦点 的坐标，进而根据三角形内切圆周长求得内切圆半径，进而根据 面积 = 面积 + 面积求得 面积=3|而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得 |值 【解答】 解：椭圆： ， a=5， b=4， c=3， 第 9 页（共 16 页） 左、右焦点 3， 0）、 3， 0）， 内切圆周长为 ，则内切圆的半径为 r= ， 而 面积 = 面积 + 面积 = | | | （ | |3| A、 B 在 x 轴的上下两侧） 又 面积 = |r（ | = （ 2a+2a） =a=5 所以 3|5， | 故选 A 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 11已知向量 =（ k， 12， 1）， =（ 4， 5， 1）， =（ k， 10， 1），且 A、 B、 C 三点共线，则 k= 【考点】 共线向量与共面向量 【分析】 利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出 【解答】 解： 向量 =（ k， 12， 1）， =（ 4， 5， 1）， =（ k， 10， 1）， =（ 4 k， 7， 0）， =（ 2k， 2， 0） 又 A、 B、 C 三点共线， 存在实数 使得 ， ，解得 故答案为： 12椭圆 + 中，以点 M（ 1， ）为中点的弦所在直线 方程是 x+2y 2=0 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 判断 M 在椭圆内，设弦 端点为（ （ 代入椭圆方程，运用点差法，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，再由点斜式方程，即可得到所求方程 【解答】 解：由 M 点代入椭圆方程可得， + 1， 即 M 在椭圆内，则直线与椭圆相交 设弦 端点为（ （ 即有 +， +， 两式相减可得， +（ y1+=0， 第 10 页（共 16 页） 由中点坐标公式可得， x1+， y1+， 代入上式，可得 = = ， 即有弦所在的直线方程为 y = （ x 1）， 即为 x+2y 2=0 故答案为： x+2y 2=0 13已知抛物线 x 上的任意一点 P，记点 P 到 y 轴的距离为 d，对于给定点 A（ 4， 5），则 |d 的最小值为 1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 抛物线 x 的焦点 F（ 1， 0），准线 l： x= 1，过点 P 作 l 交 y 轴于点 M，垂足为 N，则 | |d | 1即可得出 【解答】 解：抛物线 x 的焦点 F（ 1， 0），准线 l： x= 1 如图所示，过点 P 作 l 交 y 轴于点 M，垂足为 N， 则 | d=| 1， |d | 1= 1= 1 当且仅当 A， P， F 三点共线时，取得最小值 1 故答案为： 1 14设点 M（ x， y），其轨迹为曲线 C，若 =（ x 2， y）， =（ x+2， y）， | | | |=2，则曲线 C 的离心率等于 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意可得 | |=2，即有 M 到两定点（ 2， 0），（ 2， 0）的距离的差的绝对值为常数 2，由双曲线的定义可得 M 的轨迹为以定点为焦点的双曲线，求得 c=2， a=1，运用离心率公式即可得到所求值 【解答】 解：由 =（ x 2， y）， =（ x+2， y）， | | | |=2， 可得 | |=2， 即有 M 到两定点（ 2， 0），（ 2， 0）的距离的差的绝对值为常数 2， 第 11 页（共 16 页） 由双曲线的定义可得 M 的轨迹为以（ 2， 0），（ 2， 0）为焦点，实轴长为 2 的双曲线， 由 c=2， a=1，可得 e= =2 故答案为： 2 三、解答题（共 44 分） 15已知 m R，设命题 p：方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆；命题 q：函数 f（ x） =3mx+m+ 有零点 （ 1）若 p 为真命题，求 m 的取值范围； （ 2）若 “p q”为真，求 m 的取值范围 【考点】 复合命题的真假 【分析】 （ 1） p： m 1 5 m 0，解出 m 范围，由于 p 为真命题，可得 p 为假命题，即可得出 （ 2）函数有零点，可得 0，由于 “p q”为真，可得 m P Q 【解答】 解：（ 1） p： m 1 5 m 0， 3 m 5， p 为真命题， p 为假命题 m 3 或 m 5 （ 2）函数有零点， 0， 0， m 4 或 m 1 设 Q=m|m 4 或 m 1， P=m|3 m 5 “p q”为真， m P Q，即 m 3 或 m 1 16在边长为 1 的正方体 ， E 是 中点， F 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求直线 平面 成角的余弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 点 M，连接 导出平行四边形 此能证明 平面 （ 2）以 D 为坐标原点， 在直线为轴建系，利用向量法能求出直线 平面 成角的余弦值 【解答】 解：（ 1）取 点 M，连接 F 为 点， 第 12 页（共 16 页） 又 ， E， 平行四边形 又 平面 （ 2）以 D 为坐标原点， 在直线为轴建系， 则 A（ 1， 0， 0）， 1， 0， 1）， E（ ， 1， 0）， =（ 0， 0， 1），面 法向量可取 ， = = ， 直线 平面 成角的余弦值为 17在四棱锥 P ，底面 边长为 1 的正方形，且 面 （ 1）求证： （ 2）过直线 垂直于直线 平面交 点 E，且三棱锥 E 体积取到最大值， 求此时 长度； 求此时二面角 A B 的余弦值的大小 第 13 页（共 16 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ 1）连接 导出 此能证明 （ 2） 设 PA=h，推导出 E（ ， ， h E（ x， y， z），由 =0，得，由此能求出体积取到最大值时， 长度 以 A 为坐标原点， 在直线为轴建系，利用向量法能求出二面角 A B 的余弦值 【解答】 证明：（ 1）连接 在四棱锥 P ，底面 边长为 1 的正方形，且 面 平面 （ 2） 设 PA=h， E 在 ， 设 ，代入，得 E（ ， ， h 面 设 E（ x， y， z），则 =0， 代入，得 ， 所以体积取到最大值时， 以 A 为坐标原点， 在直线为轴建系， 则 A（ 0， 0， 0）， D（ 0， 1， 0）， B（ 1， 0，