天津市和平区2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1已知集合 M=x| 0， N=x|x 1，则集合 x|x 3等于（ ） A MN B M N C R（ MN） D R（ M N） 2若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x 4y 的取值范围是（ ） A 11， 3 B 11， 3 C 3， 11 D 3， 11 3阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 n 的值为（ ） A 5 B 7 C 9 D 11 4已知 a， b R，且 0，那么 “a b”是 “a b） 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5如图，半径为 2 的 O 中， 0， D 为 中点， 延长线交 O 于点 E，则线段 长为（ ） A B C D 6若双曲线 =1 的一个焦点在抛物线 准线上，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 2 第 2 页（共 18 页） 7记实数 ， 最小数为 ， 则定义在区间 0， +）上的函数 f（ x） =， x+3， 13 x的最大值为（ ） A 5 B 6 C 8 D 10 8已知函数 f（ x） =x|x| 有三个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 0， 2） B（ 2， +） C（ ， 2） D 2， +） 二、填空题（共 6 小题，每 小题 5 分，满分 30 分） 9已知 a R，复数（ 2+ 2 i）的实部与虚部互为相反数，则 a 的值为 10一个几何体的三视图如图所示（单位： 则几何体的体积为 11已知圆 C 的极坐标方程为 =2极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 12在（ x ） 9 的展开式中， 系数为 13在 角 A， B， a， b， c，且满足 a+b=2 ， C= ， 面积为 14如图，在 ， 0， ， ， D 是 上的一点（含端点），则 的取值范围是 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15已知函数 f（ x） =2 4 x R （ 1）求 f（ x）的最小正周期； （ 2）求 f（ x）的区间 ， 上的最大值和最小值 16在 8 件获奖作品中，有 3 件一等奖，有 5 件二等奖，从这 8 件作品中任取 3 件 （ 1）求取出的 3 件作品中，一等奖多于二等奖的概率； 第 3 页（共 18 页） （ 2）设 X 为取出的 3 件作品中一等奖的件数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 17如图，在三棱柱 ，侧棱垂直于底面， 0， ， ，点 M 和 N 分别为 中点 （ 1）求证： （ 2）求证： 平面 （ 3）求二面角 M A 的余弦值 18设等差数列 前 n 项和为 a2+0 （ 1）求数列 项公式； （ 2）若数列 足 + + =1 ， n N*，求数列 前 n 项和 19已知椭圆 C 经过点 A（ 2， 3）、 B（ 4， 0），对称轴为坐标轴，焦点 x 轴上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）求 角平分线所在的直线 l 与椭圆 C 的另一个交点的坐标 20设函数 f（ x） =x+m （ 1）对于 x R， f（ x） a 恒成立，求 a 的最大值； （ 2）若方程 f（ x） =0 有且仅有一个实根，求 m 的取值范围； （ 3）当 m=2 时，若函数 g（ x） = + x 6+2b 0）在 1， 2上单调递减，求实数 b 的最大值 第 4 页（共 18 页） 2015年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1已知集合 M=x| 0， N=x|x 1，则集合 x|x 3等于（ ） A MN B M N C R（ MN） D R（ M N） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出 M 中不等式的解 集确定出 M，求出 M 与 N 的交集、并集，进而确定出交集与并集的补集，即可作出判断 【解答】 解：由 M 中不等式变形得：（ x 3）（ x+1） 0， 解得： 1 x 3，即 M=x| 1 x 3， N=x|x 1， M N=x|x 3， MN=， 则 R（ M N） =x|x 3， R（ MN） =R， 故选： D 2若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x 4y 的取值范围是（ ） A 11， 3 B 11， 3 C 3， 11 D 3， 11 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出不等式组表示可行域，要求线性目标函数的最值，就是直线（目标函数）截距的范围，求解即可 【解答】 解：不等式组 表示的区域如图， 其中 A（ 0， 2）， B（ 5， 3） C（ 3， 5） z=3x 4y 的几何意义是 直线在 y 轴上的截距，当直线经过点 B（ 5， 3）时， z=15 12=3，取最大值为 3， 当取得点 C（ 3， 5）时， z=3 20= 11， z 取最小值为 11， 所以目标函数 z=3x 4y 的取值范围为 11， 3， 故选： A 第 5 页（共 18 页） 3阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 n 的值为（ ） A 5 B 7 C 9 D 11 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 S=1 时，满足进行循环的条件，执行循环体后， S=3， n=5， 当 S=3 时，满足进行循环的条件，执行循 环体后， S=15， n=7， 当 S=15 时，满足进行循环的条件，执行循环体后， S=105， n=9， 当 S=105 时，不满足进行循环的条件， 故输出的 n 值为 9， 故选： C 4已知 a， b R，且 0，那么 “a b”是 “a b） 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 写出 “a b） 0”的等价命题，结合充要条件的定义，可得答案 【解答】 解： “a b） 0”“a b 1”“a b+1”， 当 “a b”时， “a b+1”不一定成立， 故 “a b”是 “a b） 0”的不充分条件； 第 6 页（共 18 页） 当 “a b+1”时， “a b”一定成立， 故 “a b”是 “a b） 0”的必要条件； 故 “a b”是 “a b） 0”的必要不充分条件； 故选： B 5如图，半径为 2 的 O 中， 0， D 为 中点， 延长线交 O 于点 E，则线段 长为（ ） A B C D 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 延长 O 于点 C，我们根据已知中 O 的半径为 2， 0， D 为 们易得 ，代入相交弦定理，我们即可求出线段 长 【解答】 解：延长 O 于点 C， 由题设知： ， 又由相交弦定理知 E=C， 得 故选 C 6若双曲线 =1 的一个焦点在抛物线 准线上，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出抛物线的准线方程，双曲线的 a， b， c，解方程可得 6，即有 c=2，运用离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：抛物线 准线为 x= ， 由双曲线 =1 的 a= ， b=| |， 第 7 页（共 18 页） 可得 c= ， 即有 =| |， 解得 6，可得 c=2， 则离心率 e= = = 故选： A 7记实数 ， 最小数为 ， 则定义在区间 0， +）上的函数 f（ x） =， x+3， 13 x的最大值为（ ） A 5 B 6 C 8 D 10 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 在同一坐标系中作出三个函数 y=x+3， y= 与 y= x+13 的图象，依题意，由图象即可求得 ， x+3， 13 x 【解答】 解：在同一坐标系中作出三个函数 y=， y=x+3， y=13 x 的图象如图： 由图可知， ， x+3， 13 x为 y=x+3 上 A 点下方的射线， 抛物线 间的部分，线段 直线 y=13 x 点 C 下方的部分的组合体， 显然，在 C 点时， y=， x+3， 13 x取得最大值 解方程组 得， C（ 5， 8）， ， x+3， 13 x=8 故选： C 8已知函数 f（ x） =x|x| 有三个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 0， 2） B（ 2， +） C（ ， 2） D 2， +） 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理 【分析】 f（ x） =x|x| 得 x|x|+1=用参数分离法得 m=|x|+ ，构造函数 g（ x）=|x|+ ，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可 【解答】 解：由 f（ x） =x|x| 得 x|x|+1= 第 8 页（共 18 页） 当 x=0 时，方程不成立， 即 x 0， 则方程等价为 m=|x|+ 设 g（ x） =|x|+ ， 当 x 0 时， g（ x） = x+ 为减函数， 当 x 0 时， g（ x） =x+ ， 则 g（ x）在（ 0， 1）上为减函数，则（ 1， +）上为增函数， 即当 x=1 时，函数取得极小值同时也是最小值 g（ 1） =1+1=2， 作出函数 g（ x）的图象如图： 要使 f（ x） =x|x| 有三个零点， 则等价为 m=|x|+ 有三个不同的根， 即 y=m 与 g（ x）有三个不同的交点，则由图象知 m 2， 故实数 m 的取值范围是（ 2， +）， 故选： B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9已知 a R，复数（ 2+ 2 i）的实部与虚部互为相反数，则 a 的值为 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简， 由实部加虚部等于 0 求得 a 值 【解答】 解：（ 2+ 2 i） =（ 4+a） +（ 2a 2） i， （ 2+ 2 i）的实部与虚部互为相反数， 4+a+2a 2=0，解得： a= 故答案为： 10一个几何体的三视图如图所示（单位： 则几何体的体积为 12 第 9 页（共 18 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；函数的零点 【分析】 由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，根据圆锥和圆柱的体积公式进行求解即可 【解答】 解：由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱， 圆锥的高为 3面半径 r=2圆锥的体积为 =4（ 圆柱的高为 2面半径 r=2圆柱的体积为 22 2=8（ 则该几何体的体积为 4+8=12（ 故答案为： 12 11已知圆 C 的极坐标方程为 =2极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半 轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 【考点】 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 【分析】 求出圆 C 的直角坐标方程和直线 l 的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式能求出圆 C 的圆心到直线 l 的距离 【解答】 解： 圆 C 的极坐标方程为 =2 2=2 圆 C 的直角坐标方程为 x2+2x=0， 圆心 C（ 1， 0），半径 r= =1， 直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）， 直线 l 的直角坐标方程为 3x 4y 4=0 圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= = 故答案为： 12在（ x ） 9 的展开式中， 系数为 18 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 写出二项展开式的通项，由 x 得指数等于 5 求得 r 值，则答案可求 第 10 页（共 18 页） 【解答】 解：由 = ， 令 9 2r=5，可得 r=2， 系数为 故答案为： 18 13在 角 A， B， a， b， c，且满足 a+b=2 ， C= ， 面积为 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由题意和正弦定理可得 c 值，由余弦定理可得 值，整体代入三角形的面积公式计算可得 【解答】 解： 在 ， 由正弦定理可得 a+b= c， 又 a+b=2 ， C= ， c=2 ，解得 c=2， 由余弦定理可得 c2=a2+2a2+ a+b） 2 3 代值可得 4=8 3得 ， 面积 S= = ， 故答案为： 14如图，在 ， 0， ， ， D 是 上的一点（含端点），则 的取值范围是 6， 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 建立平面直角坐标系，求出各点坐标，使用坐标计算 【解答】 解：以 在直线为 x 轴，以 B 为原点建立平面直角坐标系， = = 第 11 页（共 18 页） A（ ， ）， B（ 0， 0）， C（ ， 0） 设 D（ a， 0），则 =（ a ， ）， =（ ， 0） = a 6 D 是 上的一点（含端点）， 0 a 当 a=0 时， 取得最小值 6，当 a= 时， 取得最大值 1 故答案为 6， 1 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15已知函数 f（ x） =2 4 x R （ 1）求 f（ x）的最小正周期； （ 2）求 f（ x）的区间 ， 上 的最大值和最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（ x） =2 + ） 2，根据三角函数周期公式即可求值得解； （ 2）由 x ， ，可求 + ， ，利用正弦函数的图象和性质即可得解 【解答】 （本题满分为 13 分） 解：（ 1） f（ x） =2 4=2 2（ 1 =2 （ 2 =2 + ） 2 3 分 f（ x）的最小正周期 T= =6 5 分 （ 2） x ， ， 第 12 页（共 18 页） + ， ， 7 分 f（ x）在区间 ， 上是增函数，在区间 ， 上是减函数， 9 分 而 f（ ） = 2， f（ ） =2 ， f（ ） = ， 11 分 f（ x）的区间 ， 上的最大值为 2 2，最小值为 13 分 16在 8 件获奖作品中，有 3 件一等奖，有 5 件二等奖，从这 8 件作品中任取 3 件 （ 1）求取出的 3 件作品中，一等奖多于二等奖的概率； （ 2）设 X 为取出的 3 件作品中一等奖的件数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）设 A 为事件 “取出的 3 件产品中，一等奖多于二等奖 ”，利用互斥事件加法公式能求出取出的 3 件作品中，一等奖多于二等奖的概率 （ 2）随机变量 X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分 布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）设 A 为事件 “取出的 3 件产品中，一等奖多于二等奖 ”， 依题意，则有 P（ A） = = ， 取出的 3 件作品中，一等奖多于二等奖的概率为 （ 2）随机变量 X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P = 第 13 页（共 18 页） 17如图，在三棱柱 ，侧棱垂直于底面， 0， ， ，点 M 和 N 分别为 中点 （ 1）求证： （ 2）求证： 平面 （ 3）求二面角 M A 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 （ 2）推导出 =0，由 是平面 一个法向量，且 面 证明 平面 （ 3）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出二面角 M 的余弦值 【解答】 证明：（ 1）由题意知 两垂直， 如图，以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 0， 2， 0）， C（ 1， 0， 0）， M（ 0， 1， 2）， =（ 1， 0， 0）， =（ 0， 1， 2）， =0， ， （ 2） M（ 0， 1， 2）， N（ ）， A（ 0， 0， 0）， B（ 0， 2， 0）， =（ ）， =（ 0， 2， 0）， =0， 是平面 一个法向量，且 面 平面 解：（ 3）由（ 2）得 =（ ）， =（ 0， 1， 2）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，取 z=1，得 =（ 4， 2， 1）， 平面 法向量 =（ 0， 0， 2）， 第 14 页（共 18 页） = = = ， 二面角 M A 的平面角是锐角， 二面角 M A 的余弦值为 18设等差数列 前 n 项和为 a2+0 （ 1）求数列 项公式； （ 2）若数列 足 + + =1 ， n N*，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）通过设等差数列 公差为 d，利用等差中项及 a2+0 可知 ，通过知 42d=4（ 23d），计算可得 d=2，进而计算即得结论； （ 2）通过 + + =1 与 + + =1 作差，结合（ 1）整理可知 （ n 2），验证当 n=1 时也成立，进而利用错位相减法计算即得结论 【解答】 解：（ 1）设等差数列 公差为 d， a2+0， =5， 42d=4（ 23d）， 即 20 2d=4（ 10 3d），解得： d=2， an=（ n 3） =2n 1； （ 2）依题意， + + =1 ， n N*， 第 15 页（共 18 页） 当 n 2 时， + + =1 ， 两式相减得： =（ 1 ）（ 1 ） = ， 由（ 1）可知 （ n 2）， 又 1 ） 满足上式， ， n N*， 故 + + ， + + + ， 两式相减得： +（ + + ） = ， 19已知椭圆 C 经过点 A（ 2， 3）、 B（ 4， 0），对称轴为坐标轴，焦点 x 轴上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）求 角平分线所在的直线 l 与椭圆 C 的另一 个交点的坐标 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）设椭圆 C 的方程为 =1， a b 0，利用待定系数法能求出椭圆 C 的方程 （ ）直线 方程为 3x 4y+6=0，求出直线 l 的方程为 2x y x=0，与椭圆联立，得1916x 44=0，由此利用韦达定理能求出直线 l 与椭圆 C 的另一个交点坐标 【解答】 解：（ ） 椭圆 C 经过点 A（ 2， 3）、 B（ 4， 0），对称轴为坐标轴，焦点 x 轴上， 设椭圆 C 的方程为 =1， a b 0， 第 16 页（共 18 页） 则 ，解得 6， 2， 椭圆 C 的方程为 （ ） 椭圆 C 的方程为 ， 2， 0）， 2， 0），则直线 方程为 y= ，即 3x 4y+6=0， 直线 方程为 x=2，由点 A 在椭圆 C 上的位置得直线 l 的斜率为正数， 设 P（ x， y）为直线 l 上一点，则 =|x 2|， 解得 2x y 1=0 或 x+2y 8=0（斜率为负，舍）， 直线 l 的方程为 2x y x=0，