2016年上海市虹口区高考数学三模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年上海市虹口区高考数学三模试卷（文科） 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共 14 题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 . 1设集合 M=x| 0， N=x|2x 1，则 MN= 2在 ， ，则 3已知复数 z= （ i 为虚数 单位）， 表示 z 的共轭复数，则 z = 4若等比数列 公比 q 满足 |q| 1，且 ， a3+，则 （ a1+ 5若函数 f（ x） =（ x a） |x|（ a R）存在反函数 f 1（ x），则 f（ 1） +f 1（ 4） = 6在数学解题中，常会碰到形如 “ ”的结构，这时可类比正切的和角公式如：设 a，b 是非零实数，且满足 =则 = 7若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为 ，且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于 8某小区有排成一排的 8 个车位，现有 5 辆不同型号的轿车需要停放，则这 5 辆轿车停入车位后，剩余 3 个车位连在一起的概率为 （结果用最简分数表示） 9若双曲线 =1 的一个焦点到其渐近线的距离为 2 ，则该双曲线的焦距等于 10若复数 z 满足 |z+3|=|z 4i|（ i 为虚数单位），则 |z|的最小值为 11已知实数 x， y，满足 且目 标函数 z= x+y 的最大值是 2，则实数 m 的值为 12过抛物线 y 的焦点 F 的直线与其相交于 A， B 两点， O 为坐标原点若 |6，则 面积为 13若关于 x 的方程 2x|x| a|x|=1 有三个不同实根，则实数 a 的取值范围为 14若数列 足： +（ 1） n（ n N*），则 a1+ 二、选择题（本大题共 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答 案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5 分，否则一律零分 . 15关于三个不同平面 ， ， 与直线 l，下列命题中的假命题是（ ） 第 2 页（共 18 页） A若 ，则 内一定存在直线平行于 B若 与 不垂直，则 内一定不存在直线垂直于 C若 ， ， =l，则 l D若 ，则 内所有直线垂直于 16若函数 y=f（ x）的图象与函数 y=3x+a 的图象关于直线 y= x 对称，且 f（ 1） +f（ 3）=3，则实数 a 等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 4 17在锐角 ， B=60， | |=2，则 的取值范围为（ ） A（ 0， 12） B ， 12） C（ 0， 4 D（ 0， 2 18在平面直角坐标系中，定义两点 P（ Q（ 间的 “直角距离 ”为： d（ P，Q） =|现给出下列 4 个命题： 已知 P（ 1， 2）， Q（ R），则 d（ P， Q）为定值； 已知 P， Q， R 三点不共线，则必有 d（ P， Q） +d（ Q， R） d（ P， R）； 用 |示 P， Q 两点之间的距离，则 | d（ P， Q）； 若 P， Q 是圆 x2+ 上的任意两点，则 d（ P， Q）的最大值为 4； 则下列判断正确的为（ ） A命题 ， 均为真命题 B命题 ， 均为假命题 C命题 ， 均为假命题 D命 题 ， ， 均为真命题 三、解答题（本大题共 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤 . 19已知函数 f（ x） = 的图象过点 和点 （ 1）求函数 f（ x）的最大值与最小值； （ 2）将函数 y=f（ x）的图象向左平移 （ 0 ）个单位后，得到函数 y=g（ x）的图象；已知点 P（ 0， 5），若函数 y=g（ x）的图象上存在 点 Q，使得 |3，求函数 y=g（ x）图象的对称中心 20已知函数 f（ x） =2ax+b（ a 0）在区间 1， 3上的最大值为 5，最小值为 1 （ 1）求 a， b 的值及 f（ x）的解析式； （ 2）设 g（ x） = ，若不等式 g（ 3x） t3x 0 在 x 0， 2上有解，求实数 t 的取值范围 21如图， 接圆 O 的直径，四边形 矩形，且 平面 ， （ 1）证明：直线 平面 （ 2）当三棱锥 E 体积最大时，求异面直线 成角的大小 第 3 页（共 18 页） 22设椭圆 C： + =1（ a b 0），定义椭圆 C 的 “相关圆 ”E 为： x2+若抛物线 x 的焦点与椭圆 C 的右焦点重合，且椭圆 C 的短轴长与焦距相等 （ 1）求椭圆 C 及其 “相关圆 ”E 的方程； （ 2）过 “相关圆 ”E 上任意一点 P 作其切线 l，若 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，求证： O 为坐标原点）； （ 3）在（ 2）的条件下，求 积的取值范围 23设 数列 前 n 项和， 1（ 为常数， n=1， 2， 3， ） （ I）若 a3= 的值； （ 否存在实数 ，使得数列 等差数列？若存在，求出 的值；若不存在请说明理由 （ =2 时，若数列 足 =an+n=1， 2， 3， ），且 ，令 ，求数列 前 n 项和 第 4 页（共 18 页） 2016 年上海市虹口区高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共 14 题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 . 1设集合 M=x| 0， N=x|2x 1，则 MN= 0， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 分别求出 M 与 N 中不等式的解集确定出 M 与 N，找出两集合的交 集即可 【解答】 解：由 M 中不等式变形得：（ x 3）（ x+1） 0，且 3 x 0， 解得： 1 x 3，即 M= 1， 3）， 由 N 中不等式变形得： 2x 1=20，即 x 0， N=0， +）， 则 MN=0， 3）， 故答案为： 0， 3） 2在 ， ，则 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析】 由题意得 A 为钝角，且 ， ，由此由二倍角公式得 【解答】 解： ， ， ， ， 3已知复数 z= （ i 为虚数单位）， 表示 z 的共轭复数，则 z = 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简 z，再由 求得 z 【解答】 解： z= = ， z = 故答案为： 1 4若等比数列 公比 q 满足 |q| 1，且 ， a3+，则 （ a1+= 16 第 5 页（共 18 页） 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出 （ a1+ 【解答】 解： 等比数列 公比 q 满足 |q| 1，且 ， a3+， ， 由 |q| 1，解得 ， a1+， 则 （ a1+= =16 故答案为： 16 5若函数 f（ x） =（ x a） |x|（ a R）存在反函数 f 1（ x），则 f（ 1） +f 1（ 4） = 1 【考点】 反函数 【分析】 根据 f（ x）存在反函数 f 1（ x），得出 f（ x）是定义域上的单调函数，求出 a 的值以及 f（ x）的解析式，即可求出 f（ 1） +f 1（ 4）的值 【解答】 解： 函数 f（ x） =（ x a） |x|= ， 且 f（ x）存在反函数 f 1（ x）， f（ x）是定义域 R 的单调增函数， a=0， f（ x） = ， f（ 1） +f 1（ 4） =1+（ 2） = 1 故答案为： 1 6在数学解题中，常会碰到形如 “ ”的结构，这时可类比正切的和角公式如：设 a，b 是非零实数，且满足 =则 = 【考点】 两角和与差的正切函数 第 6 页（共 18 页） 【分析】 先把已知条件转化为 =+）利用正切函数的周期性求出 ，即可求得结论 【解答】 解：因为 =+）且 += = ） = = 故答案为： 7若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为 ，且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 设球的半径为 5，圆锥底面半径为 3，则圆锥的高为 9，代入体积公式计算即可得出比值 【解答】 解：设球的半径为 5，则 圆锥的底面半径为 3， 球心到圆锥底面的距离为=4 内接圆锥的轴截面为锐角三角形， 圆锥的高为 4+5=9 V 球 = ， V 圆锥 = =27 V 球 ： V 圆锥 = 27= 故答案为： 8某小区有排成一排的 8 个车位，现有 5 辆不同型号的轿车需要停放，则这 5 辆轿车停入车位后，剩余 3 个车位连在一起的概率为 （结果用最简分数表示） 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 先求出基本事件总数，再求出这 5 辆轿车停入车位后，剩余 3 个车位连在一起，包含的基本事件个数，由此能求出这 5 辆轿车停入车位后，剩余 3 个车位连在一起的概率 【解答】 解：某小区有排成一排的 8 个车位，现有 5 辆不同型号的轿车需要停放， 基本事件总数 n= ， 第 7 页（共 18 页） 这 5 辆轿车停入车位后，剩余 3 个车位连在一起，包含的基本事件个数 m= ， 这 5 辆轿车停入车位后，剩余 3 个车位连在一起的概率为： p= = = 故答案为： 9若双曲线 =1 的一个焦点到其渐近线的距离为 2 ，则该双曲线的焦距等于 6 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据焦点到其渐近线的距离求出 b 的值即可得到结论 【解答】 解：双曲线的渐近线为 y= 妨设为 y= bx+y=0， 焦点坐标为 F（ c， 0）， 则焦点到其渐近线的距离 d= = =b=2 ， 则 c= = = =3， 则双曲线的焦距等于 2c=6， 故答案为： 6 10若复数 z 满足 |z+3|=|z 4i|（ i 为虚数单位），则 |z|的最小值为 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 设 z=a+ a， b R）由 |z+3|=|z 4i|（ i 为虚数单位），可得= ，化为： 6a+8b 7=0再利用原点到直线的距离公式即可得出 【解答】 解：设 z=a+ a， b R） |z+3|=|z 4i|（ i 为虚数单位）， = ， 化为： 6a+8b 7=0 |z|= 的最小值为原点（ 0， 0）到直线 l： 6a+8b 7=0 的距离，： = ， 故答案为： 第 8 页（共 18 页） 11已知实数 x， y，满足 且目标函数 z= x+y 的最大值是 2，则实数 m 的值为 【考点】 简单线性规划 【分析】 先求出目标函数取得最大值时对应的交点 A 的坐标，利用 A 也在直线 y=，进行求解即可 【解答】 解：先作出可行域， z= x+y 的最大值是 2， 作出 z= x+y=2 的图象，则直线 z= x+y=2，与区域相交为 A， 由 得 ， 即 A（ 1， ）， 同时 A 也在 y=， 则 m= ， 故答案为： 12过抛物线 y 的焦点 F 的直线与其相交于 A， B 两点， O 为坐标原点若 |6，则 面积为 6 【考点】 抛 物线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得 A 的坐标（ 4 ， 4），再由三点共线的条件：斜率相等，可得 B 的坐标，由 面积为 |计算即可得到所求值 【解答】 解：抛物线 y 的焦点 F（ 0， 2），准线为 y= 2， 由抛物线的定义可得 |=6， 第 9 页（共 18 页） 解得 ，可设 A（ 4 ， 4）， 设 B（ m， ），由 A， F， B 共线可得， = ， 解得 m=2 （ 4 舍去）， 即有 B（ 2 ， 1）， 则 面积为 | 2| 4 2 |=6 故答案为： 6 13若关于 x 的方程 2x|x| a|x|=1 有三个不同实根，则实数 a 的取值范围为 （ ，2 ） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 首先进行转化，再对 x 进行分类讨论，由二次函数的图象以及性质得到 a 的范围 【解答】 解： 方程 2x|x| a|x|=1 有三个不同实根， 函数 y=2x|x| a|x| 1 有 3 个不同的零点， y= ， 对称轴为 x= ，与 y 轴交点为（ 0， 1） a 0 时，不符合条件， a 0， 且 0 a ， 故答案为：（ ， 2 ） 14若数列 足： +（ 1） n（ n N*），则 a1+2550 【考点】 数列的求和 【分析】 +（ 1） n（ n N*），可得： ， a3+， ， a5+， a6， a7+， ， ，可得 a3+=a7+， a4+3， a8+7， 0+11， ，利用分组求和即可得出 【解答】 解： +（ 1） n（ n N*）， ， a3+， ， a5+， ， a7+， ， ， 可得 a3+=a7+， （ a1+=25 a4+3， a8+7， 0+11， ， a2+ 25+8 =2525 则 a1+550 故 答案为： 2550 二、选择题（本大题共 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5 分，否则一律零分 . 第 10 页（共 18 页） 15关于三个不同平面 ， ， 与直线 l，下列命题中的假命题是（ ） A若 ，则 内一定存在直线平行于 B若 与 不垂直，则 内一定不存在直线垂直于 C若 ， ， =l，则 l D若 ，则 内所有直线垂直于 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明 【解答】 解：对于 A，假设 =a，则 内所有平行于 a 的直线都平行 ，故 A 正确； 对于 B，假设 内存在直线 a 垂直于 ，则 ，与题设矛盾，故假设错误，故 B 正确； 对于 C，设 =c， =d，在 内任取一点 P，作 c 于点 M， d 于点 N， 则 ， ，且 可能共线 又 l， l， l， l 又 N=P， ， ， l 故 C 正确 对于 D，假设 =a，则 内所有平行于 a 的直线都平行 ，故 D 错误 故选： D 16若函数 y=f（ x）的图象与函数 y=3x+a 的图象关于直线 y= x 对称，且 f（ 1） +f（ 3）=3，则实数 a 等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 4 【考点】 反函数 【分析】 设（ x， y）为函数 y=f（ x）的图象上的一点，则关于直线 y= x 对称的点为（ y， x）代入函数 y=3x+a 可得： f（ x） =a x）即可得出 【解答】 解：设（ x， y）为函数 y=f（ x）的图象上的一点，则关于直线 y= x 对称的点为（ y， x） 代入函数 y=3x+a 可 得： x=3 y+a， y+a= x），即 f（ x） =a x） f（ 1） +f（ 3） =3， a 0+a ，解得 a=2 故选： C 17在锐角 ， B=60， | |=2，则 的取值范围为（ ） A（ 0， 12） B ， 12） C（ 0， 4 D（ 0， 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 以 B 为原点， 在直线为 x 轴建立坐标系，得到 C 的坐标，找出三角形为锐角三角形的 A 的位置，得到所求范围 【解答】 解：以 B 为原点， 在直线为 x 轴建立坐标系， B=60， | |=| |=2， 第 11 页（共 18 页） C（ 1， ）， 设 A（ x， 0） 锐角三角形， A+C=120， 30 A 90， 即 A 在如图的线段 （不与 D， E 重合）， 1 x 4， 则 =x=（ x ） 2 ， 的范围为（ 0， 12） 故选： A 18在平面直角坐标系中，定义两点 P（ Q（ 间的 “直角距离 ”为： d（ P，Q） =|现给出下列 4 个命题： 已知 P（ 1， 2）， Q（ R），则 d（ P， Q）为定值； 已知 P， Q， R 三点不共线，则必有 d（ P， Q） +d（ Q， R） d（ P， R）； 用 |示 P， Q 两点之间的距离，则 | d（ P， Q）； 若 P， Q 是圆 x2+ 上的 任意两点，则 d（ P， Q）的最大值为 4； 则下列判断正确的为（ ） A命题 ， 均为真命题 B命题 ， 均为假命题 C命题 ， 均为假命题 D命题 ， ， 均为真命题 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可 【解答】 解： 已知 P（ 1， 2）， Q（ R），则 d（ P， Q） =|1 |2 为定值；故 正确， 已知 P， Q， R 三点不共线 ，设 P（ 1， 0）， Q（ 0， 0）， R（ 0， 1）， 则 d（ P， Q） =|1， d（ Q， R） =|1 d（ P， R） =|1+1=2，此时 d（ P， Q） +d（ Q， R） =d（ P， R）； d（ P， Q） +d（ Q， R） d（ P， R）不成立，故 错误， 第 12 页（共 18 页） 若 |示 P、 Q 两点间的距离，那么 | ， d（ P， Q）=| 2（ a2+ （ a+b） 2， |即 | d（ P， Q）， 则 | d（ P， Q） = d（ P， Q），故 正确， 若 P， Q 是圆 x2+ 上的任意两点，当 P， Q 是直线 y=x 与 x2+ 的交点时，则 d（ P，Q）的最大， 此时 P（ 1， 1）， Q（ 1， 1）；则 d（ P， Q） =| 1 1|+| 1 1|=2+2=4，则 d（ P， Q）的最大值为 4；故 正确， 故选： D 三、解答题（本大题共 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤 . 19已知函数 f（ x） = 的图象过点 和点 （ 1）求函数 f（ x）的最大值与最小值； （ 2）将函数 y=f（ x）的图象向左平移 （ 0 ）个单位后，得到函数 y=g（ x）的图象；已知点 P（ 0， 5），若函数 y=g（ x）的图象上存在点 Q，使得 |3，求函数 y=g（ x）图象的对称中心 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）利用条件求得 m、 n 的值，可得函数的解析式，从而求得它的最值 （ 2）根据 g（ x）的解析式，点 Q（ 0， 2）在 y=g（ x）的图象上，求得 的值，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论 【解答】 解：（ 1）易知 f（ x） =由它的图象 过点 和点， 可得 ，解得 故 故函数 f（ x）的最大值为 2，最小值为 2 （ 2）由（ 1）可知： 于是，当且仅当 Q（ 0， 2）在 y=g（ x）的图象上时满足条件， 由0 ，得 第 13 页（共 18 页） 故 由 ，得 于是，函数 y=g（ x）图象的对称中心为： 20已知函数 f（ x） =2ax+b（ a 0）在区间 1， 3上的最大值为 5，最小值为 1 （ 1）求 a， b 的值及 f（ x）的解析式； （ 2）设 g（ x） = ，若不等式 g（ 3x） t3x 0 在 x 0， 2上有解，求实数 t 的取值范围 【考点】 二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断 【分析】 （ 1）解关于 a， b 的方程组，求出 a， b 的值从而求出函数的解析式即可； （ 2）问题转化为 t 2 2 +1=2 + 在 x 0， 2上有解，通过换元法求出 t 的范围即可 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） =a（ x 1） 2+b a（ a 0）及条件，可得 ， 解得 a=1， b=2故 f（ x） =2x+2 （ 2）由（ 1）可得 g（ x） = =x+ 2， 于是题设条件得 3x+ 2 t3x 0 在 x 0， 2上有解， 即 t 2 2 +1=2 + 在 x 0， 2上有解， 令 =u ， 1， x 0， 2， 则 t 2 + 在 u ， 1上有解 当 u ， 1时， 2 + ， 1，于是 t 1， 因此，实数 t 的取值范围为（ ， 1 21如图 ， 接圆 O 的直径，四边形 矩形，且 平面 ， （ 1）证明：直线 平面 （ 2）当三棱锥 E 体积最大时，求异面直线 成角的大小 第 14 页（共 18 页） 【考点】 异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由题意推导出 此能证明 平面 （ 2）连接 点 C 到 距离为 h，由 ，得到当 h=2， 即，三棱锥 E 体积最大，由此能求出当三棱锥 E 体积最大时，异面直线 成角的大小 【解答】 （文）（本题满分 14 分） 本题共 2 个小题，第 1 小题，第 2 小题 证明：（ 1）由题意，得： 平面 面 又 圆 O 的直径， 于是由 C=C， 平面 解：（ 2）连接 点 C 到 距离为 h， 则 = = ， 故当 h=2，即 ，三棱锥 E 体积最大 由 ， 异面直线 所成角 而在 ， B=2 故 ， 异面直线 成角的大小为 22设椭圆 C： + =1（ a b 0），定义椭圆 C 的 “相关圆 ”E 为： x2+若抛物线 x 的焦点与椭圆 C 的右焦点重合，且椭圆 C 的短轴长与焦距相等 （ 1）求椭圆 C 及其 “相关圆 ”E 的方程； （ 2）过 “相关圆 ”E 上任意一点 P 作其切线 l，若 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，求证： O 为坐标原点）； （ 3）在（ 2）的条件下，求 积的取值范围 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ 1）求得抛物线的焦点，可得 c=1，由 a， b， c 的关系可得 a，进而得到椭圆方程和圆 E 的方程； （ 2）讨论切线 l 的斜率不存在，求出方程，可得交点 A， B，求得向量 坐标，可得 90； l 的斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合直线和圆相切的条件： d=r，化简整理，计算向量 数量积，即可得证； 第 15 页（共 18 页） （ 3）求得 面积，讨论直线 l 的斜率，运用弦长公式和基本不等式，求得最值，由不等式的性质，即可得到所求范围 【解答】 解：（ 1）由抛物线 x 的焦点（ 1， 0）与椭圆 C 的右焦点重合， 可得 c=1，又因为椭圆 C 的短轴长与焦距相等，则 b=c=1 a= ， 故椭圆 C 的方程为： +，其 “相关圆 ”E 的方程为： x2+； （ 2）证明：当切线 l 的斜率不存在时切线方程为 x= ， 与椭圆