2016年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 A=x|x 4， B=x| 1 2x 1 0，则 =（ ） A（ 4， +） B 0， C（ ， 4） D（ 1， 4 2命题 “ 0，使得 0”的否定是（ ） A x 0， 0 B x 0， 0 C 0， 0 D 0， 0 3定义运算 | |=符合条件 | |=0 的复数 z 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4设 为第四象限的角， ，则 ） A B C D 5某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A 2014 B 2015 C 2016 D 2017 6经过点（ 2， 1），且渐近线与圆 y 2） 2=1 相切的双曲线的标准方程为（ ） A =1 B C =1 D =1 7平面内满足约束条件 的点（ x， y）形成的区域为 M，区域 M 关于直线 2x+y=0的对称区域为 M，则区域 M 和区域 M内最近的两点的距离为（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 8将函数 f（ x） = 图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x），则 g（ x）具有性质（ ） A最大值为 1，图象关于直线 x= 对称 B在（ 0， ）上单调递减，为奇函数 C在（ ， ）上单调递增，为偶函数 D周期为 ，图象关于点（ ， 0）对称 9如图是正三棱锥 V 正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 10已知定义在 R 上的奇函数 y=f（ x）的图象关于直线 x=1 对称，当 0 x 1 时， f（ x）=x，则方程 f（ x） 1=0 在（ 0， 6）内的零点之和为（ ） A 8 B 10 C 12 D 16 11若数列 ，满足： ， ，且 2 n 1） 1+（ n+1） ，则 值是（ ） A 4 B 4 C 4 D 4 12对 R， n 0， 2，向量 =（ 2n+3n 3长度不超过 6 的概率为（ ） A B C D 二、填空题：（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13曲线 y=x+3 在点（ 1， 3）处的切线方程为 14已知 等差数列，公差为 1，且 等比中项，则 15已知正数 x， y 满足 3=0，则 2x+y 的最小值是 16在正三棱锥 V ，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为 2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于 三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 第 3 页（共 20 页） 17在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且满足 +C） C） （ 1）求角 A 的值； （ 2）若 a= 且 b a，求 2b c 的取值范围 18为了解人们对于国家新颁布的 “生育二胎放开 ”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了 50 人， 他们年龄的频数分布及支持 “生育二胎 ”人数如表： 年龄 5， 15） 15， 25） 25， 35） 35， 45） 45， 55） 55， 65） 频数 5 10 15 10 5 5 支持 “生育二胎 ” 4 5 12 8 2 1 （ 1）由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表，并问是否有的 99%把握认为以 45 岁为分界点对 “生育二胎放开 ”政策的支持度有差异： （ 2）若对年龄在 5， 15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好两人都支持 “生育二胎放开 ”的概率是多少？ 年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 支持 a= c= 不支持 b= d= 合计 参考数据： P（ k） k 2= 19如图，在梯形 ， C=， 20，四边形 矩形，平面 平面 （ ）求证： 平面 （ ）点 P 是线段 运动，且 =2，求三棱锥 E 体积 20已知曲线 C 的方程是 （ m 0， n 0），且曲线 C 过 A（ ， ）， B（ ，）两点， O 为坐标原点 （ ）求曲线 C 的方程； （ ）设 M（ N（ 向量 （ =（ 且 =0，若直线 点（ 0， ），求直线 斜率 第 4 页（共 20 页） 21已知函数 f（ x） = （ ）讨论函数 y=f（ x）在 x （ m， +）上的单调性； （ ）若 m （ 0， ），则当 x m， m+1时，函数 y=f（ x）的图象是否总在函数 g（ x）=x2+x 的图象上方？请写出判断过程 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22 如图，正方形 长为 2，以 A 为圆心、 半径的圆弧与以 直径的半圆O 交于点 F，连接 延长交 点 E （ 1）求证： E 是 中点； （ 2）求 B 的值 选修 4标系与参数方程 23平面直角坐标系 ，曲线 C：（ x 1） 2+直线 l 经过点 P（ m， 0），且倾斜角为 以 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立坐标系 （ ）写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程； （ ）若直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，且 |1，求实数 m 的值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x+6| |m x|（ m R） （ ）当 m=3 时，求不等式 f（ x） 5 的解集； （ ）若不等式 f（ x） 7 对任意实数 x 恒成立，求 m 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 A=x|x 4， B=x| 1 2x 1 0，则 =（ ） A（ 4， +） B 0， C（ ， 4） D（ 1， 4 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 交集的补集即可 【解答】 解：由 B 中不等式解得： 0 x ，即 B=0， ， A=4， +） ， ， 4）， 则 =0， ， 故选： B 2命题 “ 0，使得 0”的否定是（ ） A x 0， 0 B x 0， 0 C 0， 0 D 0， 0 【考点】 命题的否定 【分析】 直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可 【解答】 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 “ 0，使得 0”的否定是 x 0， 0 故选： A 3定义运算 | |=符合条件 | |=0 的复数 z 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 直接利用新定义得到关于 z 的等式，求得 z 后得答案 【解答】 解：由题意可得， | |=z 2（ 1+i） =0， 则 z=2+2i， 复数 z 对应的点的坐标为（ 2， 2） ，在第一象限 故选： A 4设 为第四象限的角， ，则 ） 第 6 页（共 20 页） A B C D 【考点】 二倍角的正弦 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得 【解答】 解： 为第四象限的角， ， = ， 则 ， 故选： D 5某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A 2014 B 2015 C 2016 D 2017 【考点 】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 i=2015 时，满足进行循环的条件，执行循环体后， i=2014， S=2017； 当 i=2014 时，满足进行循环的条件，执行循环体后， i=2013， S=2016； 当 i=2013 时，满足进行循环的条件，执行循环体后， i=2012， S=2017； 当 i=2012 时，满足进行循环的条件，执行循环体后， i=2011， S=2016； 当 i=2n+1 时，满足进行循环的条件，执行循环体后， i=2n， S=2017； 当 i=2n 时，满足进行循环的条件，执行循环体后， i=2n 1， S=2016； 当 i=1 时，满足进行循环的条件，执行循环体后， i=0， S=2017； 当 i=0 时，不满足进行循环的条件， 故输出的 S 值为 2017， 故选： D 6经过点（ 2， 1），且渐近线与圆 y 2） 2=1 相切的双曲线的标准方程为（ ） A =1 B 第 7 页（共 20 页） C =1 D =1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设双曲线的方程为 （ 0），将（ 2， 1）代入双曲线的方程，求得渐近线方程，再由直线和圆相切的条件： d=r，解方程可得 m， n，进而得到双曲线的 方程 【解答】 解：设双曲线的方程为 （ 0）， 将（ 2， 1）代入方程可得， 4m n=1， 由双曲线的渐近线方程 y= x， 圆 y 2） 2=1 的圆心为（ 0， 2），半径为 1， 渐近线与圆 y 2） 2=1 相切，可得： =1，即为 =3， 由 可得 m= ， n= ， 即有双曲线的方程为 =1 故选： A 7平面内满足约束条件 的点（ x， y）形成的区域为 M，区域 M 关于直线 2x+y=0的对称区域为 M，则区域 M 和区域 M内最近的两点的距离为（ ） A B C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域 M，求出可行域 M 内到直线 2x+y=0 距离最近的点 A 的坐标，利用点到直线的距离公式求得 A 到直线 2x+y=0 的距离，则答案可求 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 第 8 页（共 20 页） 联立 ，解得 A（ 1， 1）， 由图可知，可行域 M 内 A 点到直线 2x+y=0 的距离最小，为 ， 区域 M 和区域 M内最近的两点的距离为 故选： D 8将函数 f（ x） = 图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x），则 g（ x）具有性质（ ） A最大值为 1，图象关于直线 x= 对称 B在（ 0， ）上单调递减，为奇函数 C在（ ， ）上单调递增，为偶函数 D周期为 ，图象关于点（ ， 0）对称 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件利用 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性、周期性、单调性以及它的图象的对 称性，得出结论 【解答】 解：将函数 f（ x） = 图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x） = x ） = 图象， 显然， g（ x）为奇函数，故排除 C 当 x= 时， f（ x） =0，不是最值，故 g（ x）的图象不关于直线 x= 对称，故排除 A 在（ 0， ）上， 2x （ 0， ）， y=增函数，故 g（ x） = 单调递减， 且 g（ x）为奇函数，故 B 满足条件 当 x= 时， g（ x） = ，故 g（ x）的图象不关于点（ ， 0）对称，故排除 D， 故选： B 9如图是正三棱锥 V 正视图、侧视图 和俯视图，则其侧视图的面积是（ ） 第 9 页（共 20 页） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图求出正三棱锥的棱长、底面正三角形的边长，根据正三棱锥的结构特征求出三棱锥的高，即可求出侧视图的面积 【解答】 解：由题意知几何体是一个正三棱锥， 由三视图得棱长为 4，底面正三角形的边长为 2 ， 底面正三角形的高是 =3， 正 三棱锥顶点在底面的射影是底面的中心， 正三棱锥的高 h= = ， 侧视图的面积 S= = =6， 故选： C 10已知定义在 R 上的奇函数 y=f（ x）的图象关于直线 x=1 对称，当 0 x 1 时， f（ x）=x，则方程 f（ x） 1=0 在 （ 0， 6）内的零点之和为（ ） A 8 B 10 C 12 D 16 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 可根据定义在 R 上的奇函数 f（ x）的图象关于直线 x=1 对称 f（ x+4） =f（ x），再利用 0 x 1 时， f（ x） = 0，数形结合，可求得方程 f（ x） 1=0 在区间（ 0， 6）内的所有零点之和 【解答】 解： 函数 y=f（ x）的图象关于直线 x=1 对称， f（ 2 x） =f（ x），又 y=f（ x）为奇函数， f（ x+2） =f（ x） = f（ x）， f（ x+4） = f（ x+2） =f（ x），即 f（ x）的周期为 4， 0 x 1 时， f（ x） = 0， f（ x） =1 在（ 0， 1）内有一实根 函数 f（ x）的图象关于直线 x=1 对称， f（ x） =1 在（ 1， 2）有一个实根 x1+； f（ x）是奇函数， f（ x）的周期为 4， f（ x） =1 在（ 2， 3），（ 3， 4）上没有根；在（ 4， 5），（ 5， 6）各有一个实根 x3+10； 原方程在区间（ 0， 6）内的所有实根之和为 12 故选： C 11若数列 ，满足： ， ，且 2 n 1） 1+（ n+1） ，则 值是（ ） A 4 B 4 C 4 D 4 【考点】 数列递推式 第 10 页（共 20 页） 【分析】 令 bn=由 2 n 1） 1+（ n+1） ，得数列 成以 1 为首项，以2 为公差的等差数列，由此求得数列 通项公式得答案 【解答】 解：令 bn= 则由 2 n 1） 1+（ n+1） ，得 2bn=1+， 数列 成以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， 则 +5（ n 1） =5n 4， 即 n 4， ， 则 =4 故选： C 12对 R， n 0， 2，向量 =（ 2n+3n 3长度不超过 6 的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据向量长度的关系，结合几何概型的概率公式进行求 解即可 【解答】 解：若向量 =（ 2n+3n 3长度不超过 6， 即 | | 6， 即（ 2n+32+（ n 32 36， 整理得 5n（ 2 27， 即 6 +） 27 5 即当 n=0 时，不等式成立， 当 n 0 时，不等式等价 +） ， 要使 +） 恒成立，则 1 ， 即 5 n 27 0， 得 n ， n 0， 2， 0 n ， 综上 0 n ， 则对应的概率 P= = ， 故选： C 二、填空题：（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13曲线 y=x+3 在点（ 1， 3）处的切线方程为 2x y+1=0 第 11 页（共 20 页） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先求出导函数，然后将 x=1 代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可 【解答】 解： y=31， 令 x=1，得切线斜率 2， 所以切线方程为 y 3=2（ x 1）， 即 2x y+1=0 故答案为： 2x y+1=0 14已知 等差数列，公差为 1，且 等比中项，则 1 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由 等比中项，可得 = =（ ）（ 0），解出即可得出 【解答】 解： 等比中项， = =（ ）（ 0）， 解得 1 故答案为： 1 15已知正数 x， y 满足 3=0，则 2x+y 的最小值是 3 【考点】 基本不等式 【分析】 用 x 表示 y，得到 2x+y 关于 x 的函数，利用基本不等式得出最小值 【解答】 解： 3=0， y= ， 2x+y=2x+ = = 2 =3 当且仅当 即 x=1 时取等号 故答案为： 3 16在正三棱锥 V ，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为 2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于 2 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由于正三棱锥的侧面为全等的等腰三角形，故侧面与球的切点在棱锥的斜高上，利用等积法得出棱锥的高与棱锥底面边长的关系，得出棱锥的体积关于高 h 的函数 V（ h），利用导数与函数的最值得关系计算 V（ h）的极小值点 【解答】 解：设 中心为 O，取 点 D，连结 设 OD=a， VO=h，则 = 第 12 页（共 20 页） 过 O 作 ， S ， ，整理得 （ h 2） V（ h） = S h= V（ h） =4 =4 令 V（ h） =0 得 12=0，解得 h=2 当 2 h 时， V（ h） 0，当 h 时， V（ h） 0， 当 h=2 时， V（ h）取得最小值 故答案为 2 三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且满足 +C） C） （ 1）求角 A 的值； （ 2）若 a= 且 b a，求 2b c 的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【分析】 （ 1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可解得： ，结合 2A （ 0，2），可得 A 的值 第 13 页（共 20 页） （ 2）由 b a，由（ 1）可得： A= ，又 a= ，由正弦定理可得： =2，从而利用三角函数恒等变换的应用可得 2b c=2 B ），结合范围 B ，），可得 2b c 取值范围 【 解答】 解：（ 1） +C） C） =2（ = = + ，解得： A （ 0， ）， 2A （ 0， 2）， 当 2A= 时，解得： A= ， 当 2A= 时，解得： A= （ 2） b a， A 为锐角，由（ 1）可得： A= ， 又 a= ， 由正弦定理可得： = =2， 2b c=2（ 2=42 B） =4 =3 B ）， B ， ）， B ， ），可得 B ） ， 1）， 2b c=2 B ） ， 2 ） 18为了解人们对于国家新颁布的 “生育二胎放开 ”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄的频数分布及支持 “生育二胎 ”人数如表： 年龄 5， 15） 15， 25） 25， 35） 35， 45） 45， 55） 55， 65） 频数 5 10 15 10 5 5 支持 “生育二胎 ” 4 5 12 8 2 1 第 14 页（共 20 页） （ 1）由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表，并问是否有的 99%把握认为以 45 岁为分界点对 “生育二胎放开 ”政策的支持度有差异： （ 2）若对年龄在 5， 15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好两人都支持 “生育二胎放开 ”的概率是多少？ 年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 支持 a= c= 不支持 b= d= 合计 参考数据： P（ k） k 2= 【考点】 独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）根据统计数据，可得 2 2 列联表，根据列联表中的数据，计算 值，即可得到结论； （ 2）利用列举法确定基本事件的个数，即可得出恰好两人都支持 “生育二胎放开 ”的概率 【解答】 解：（ 1） 2 2 列联表 年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 支持 a=3 c=29 32 不支持 b=7 d=11 18 合 计 10 40 50 所以没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对 “生育二胎放开 ”政策的支持度有差异 （ 2）设年龄在 5， 15）中支持 “生育二胎 ”的 4 人分别为 a， b， c， d，不支持 “生育二胎 ”的人记为 M， 则从年龄在 5， 15）的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：（ a， b），（ a， c），（ a，d），（ a， M），（ b， c），（ b， d），（ b， M），（ c， d），（ c， M），（ d， M） 设 “恰好这两 人都支持 “生育二胎 ”为事件 A， 则事件 A 所有可能的结果有：（ a， b），（ a， c），（ a， d），（ b， c），（ b， d），（ c， d）， 所以对年龄在 5， 15）的被调查人中随机选取两人进行调查时，恰好这两人都支持 “生育二胎 ”的概率为 19如图，在梯形 ， C=， 20，四边形 矩形，平面 平面 （ ） 求证： 平面 第 15 页（共 20 页） （ ）点 P 是线段 运动，且 =2，求三棱锥 E 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）根据平面几何知识计算 据勾股定理的逆定理得出 平面 平面 出 平面 （ 2）以 棱锥的底面，则 棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算 【解答】 （ 1）证明：在梯形 ， C=， 20， 2D3 平面 平面 面 面 D， 面 平面 （ 2） 四边形 矩形， D= ， F=1， =2， S = ， A = = 20已知曲线 C 的方程是 （ m 0， n 0），且曲线 C 过 A（ ， ）， B（ ，）两点， O 为坐标原点 （ ）求曲线 C 的方程； （ ）设 M（ N（ 向量 （ =（ 且 =0，若直线 点（ 0， ），求直线 斜率 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）将 A， B 代入曲线 C 的方程，解方程组，可得 m=4， n=1，即可得到所求曲线的方程； （ ）设直线 方程为 ，代入椭圆方程为 ，运用韦达定理，由向量的数量积的坐标表示，化简整理，解方程可得所求直线的斜率 【解答】 解：（ ）将 A， B 代入曲线 C 的方程，可得： ， 第 16 页（共 20 页） 解得 m=4， n=1 所以曲线 C 方程为 ； （ ）设直线 方程为 ，代入椭圆方程为 得， ， =（ 2（ 2=4， 由 ）（ ） =+ k（ x1+ ， 即 21已知函数 f（ x） = （ ）讨论函数 y=f（ x）在 x （ m， +）上的单调性； （ ）若 m （ 0， ），则当 x m， m+1时，函数 y=f（ x）的图象是否总在函数 g（ x）=x2+x 的图象上方？请写出判断过程 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，解 关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ ）求出 f（ x）在 m， m+1的最小值，问题转化为判断 （ 1+x） x 的大小，其中，令 m（ x） = 1+x） x，根据函数的单调性判断即可 【解答】 解：（ ） ， 当 x （ m， m+1）时， f（ x） 0，当 x （ m+1， +）时， f（ x） 0， 所以 f（ x）在（ m， m+1）递减，在（ m+1， +）递增； （ ）由（ 1）知 f（ x）在（ m， m+1）递减， 所以其最小值为 f（ m+1） = 因为 ， g（ x）在 x m， m+1最大值为（ m+1） 2+m+1， 所以下面判断 f（ m+1）与（ m+1） 2+m+1 的大小， 即判断 （ 1+x） x 的大小，其中 ， 令 m（ x） = 1+x） x， m（ x） =2x 1， 第 17 页（共 20 页） 令 h（ x） =m（ x），则 h（ x） =2， 因 ， 所以 h（ x） =2 0， m（ x）单调递增； 所以 x 6， 2x 13 故存在 ， 使得 ，所以 6 x 5 在 11 12 上单调递减，在 6 x 5 单调递增， 所以 x 5 所以 2x 11 时， ， 即 ，也即 f（ m+1） （ m+1） 2+m+1， 所以函数 y=f（ x）的图象总在函数 g（ x） =x2+x 图象上方 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，正方形 长为 2，以 A 为圆心、 半径的圆弧与以 直径的半圆O 交于点 F，连接 延长交 点 E （ 1）求证： E 是 中点； （ 2）求 B 的值 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）