江苏省无锡市2015-2016学年高二上期末数学试卷含答案解析

2015年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷 一、填空题：（本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分） 1直线 x y+a=0（ aR， a 为常数）的倾斜角是 2命题 “xR， ex=x 1”的否定是 3过点 A（ 1， 1）且与直线 x+3y+4=0 平行的直线 l 的方程为 4已知一个物体的运动方程是 s=1 t+中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么该物体在 4 秒末的瞬时速度是 5 “x 0”是 “x0”的 条件；（填 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “充要 ”、 “非充分非必要 ”） 6过点（ 2， ）、（ ， ）的椭圆的标准方程为 7在正方体 成的角为 8直线 3x+4y=b 与圆 x2+2x 2y+1=0 相交，则 b 的取值范围为 9若正四棱锥的底面边长为 ，体积为 4它的侧面积为 10下列命题，其中正确的是 （填写序号） 若 m ， m n，则 n ； 若 m n， m， n，则 ； 若直线 m n，则直线 m 就平行于平面 内的无数条直线； 若 B 11椭圆 + =1 的左焦点为 P 在椭圆上，如果线段 中点 M 在 y 轴正半轴上，那么以线段 直径的圆的标准方程为 12已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为 2，一条准线方程为 y= 3，则其渐近线方程为 13定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） 1，且 f（ 1） =2，在不等式 f（ x） x+1 的解集为 14已知动点 A、 B 分别在图中抛物线 x 及椭圆 的实线上运动，若 x，点 N 的坐标为（ 1， 0），则三角形 周长 l 的取值范围是 二、解答题：本大题共 7小题，共 90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 15已知圆 C：（ x 1） 2+ 内有一点 P（ 2， 2），过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、 B 两点 （ 1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； （ 2）当弦 点 P 平分时，写出直线 l 的方程； （ 3）当直线 l 的倾斜角为 45时，求弦 长 16如图，在四棱锥 P ，底面 平行四 边形， 5， ， ，平面 E 是 中点， F 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 17抛物线 y=有一点 A 的横坐标为 a，其中 a（ 0， 1），过点 A 的抛物线的切线 l 交x 轴及直线 x=1 于 B， C 两点，直线 x=1 交 x 轴于 D 点 （ 1）求直线 l 的方程； （ 2）求 面积 S（ a），并求出 a 为何值时 S（ a）有最大值 18（文科班选做此题）已知 a 0，命题 p： x1， x +20 恒成立，命题 q：点 P（ 1，1）在圆（ x a） 2+（ y a） 2=4 的外部，是否存在正数 a，使得 p q 为真命题； pq 假命题，若存在，请求出 a 的范围；若不存在，请说明理由 19求异面直线 成角的余弦值； （ 2）求平面 成二面角的正弦值 20已知函数 f（ x） = （ m， nR）在 x=1 处取到极值 2 （ ）求 f（ x）的解析式； （ ）设函数 g（ x） =对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 g（ =f（ 求实数 a 的取值范围 21已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的短轴为 2，离心率为 ，直线 x=1（ mR）交椭圆 E 于 A， B 两点， O 为坐标原点 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）求 积的最大值； （ 3）当 mR 时，判断点 G（ 2， 0）与 直径的圆的位置关系，并说明理由 2015年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：（本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分） 1直线 x y+a=0（ aR， a 为常数）的倾斜角是 60 【分析】 根据题意， 设直线 x y+a=0 的倾斜角为 ，由直线的方程可得直线的斜率 k= ，进而可得 ，结合 的范围，即可得答案 【解答】 解：根据题意，设直线 x y+a=0 的倾斜角为 ， 直线 x y+a=0 可以变形为 y= x+a， 其斜率 k= ， 且 0 180， 则有 =60， 故答案为： 60 【点评】 本题考查直线倾斜角的计算，掌握直线的倾斜角与斜率的关系是解题的关键 2命题 “xR， ex=x 1”的否定是 xR， exx 1 【分析】 由题意，命题 “xR， ex=x 1”，其否定是一个全称命题，按书写规则写出答案即可 【解答】 解：命题 “xR， ex=x 1”是一个特称命题，其否定是一个全称命题 所以命题 “xR， ex=x 1”的否定为 “xR， exx 1” 故答案为： xR， exx 1 【点评】 本题考查特称命题的否定，解题的关键是熟练掌握特称命题的否定的书写规则，依据规律得到答案，要注意理解含有量词的命题的书写规则，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题 3过点 A（ 1， 1）且与直线 x+3y+4=0 平行的直线 l 的方程为 x+3y 2=0 【分析】 设与直线 x+3y+4=0 平行的直线 l 的方程为： x+3y+m=0，把点 A（ 1， 1）代入即可得出 【解答】 解：设与直线 x+3y+4=0 平行的直线 l 的方程为： x+3y+m=0， 把点 A（ 1， 1）代入可得： 1+3+m=0，解得 m= 2 要求的直线方程为： x+3y 2=0 故答案为： x+3y 2=0 【点评】 本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4已知一个物体的运动方程是 s=1 t+中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么该物体在 4 秒末的瞬时速度是 7 米 /秒 【分析】 据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在 t=4 时的值，即为物体在 4 秒末的瞬时速度 【解答】 解： s=1 t+ 求导函数可得 s=2t 1 当 t=4 时， s=2t 1=24 1=7， 故物体在 4 秒末的瞬时速度是 7 米 /秒， 故答案为： 7 米 /秒 【点评】 本题考查导数知识的运用，考查导数的物理意义，属于基础题 5 “x 0”是 “x0”的 充分不必要 条件；（填 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “充要 ”、 “非充分非必要 ”） 【分析】 将题设中的命题改写成命题的形式，分别判断它的真假及其逆命题的真假，再依据充分条件，必要条件的定义作出判断得出正 确答案 【解答】 解：原命题：若 “x 0”则 “x0”，此是个真命题 其逆命题：若 “x0”，则 “x 0”，是个假命题，因为当 “x0”时 “x 0”，也可能成立，故不一定得出 “x 0”， 综上知 “x 0”是 “x0”的充分不必要条件 故答案为：充分不必要 【点评】 本题考查充分条件必要条件的判断，解题的关键是熟练掌握充分条件与必要条件的定义，本题是基本概念考查题，难度较低，在高考中出现的机率较小 6过点（ 2， ）、（ ， ）的椭圆的标准方程为 + =1 【分析】 设椭圆的方程为 ，（ m， n 0 且 mn），再由点（ 2， ）、（ ， ）代入椭圆方程，解方程即可得 到 m， n，进而得到所求标准方程 【解答】 解：设椭圆的方程为 ，（ m， n 0 且 mn）， 由题意可得 ， 解得 ， 即有椭圆方程为 + =1 故答案为： + =1 【 点评】 本题考查椭圆的标准方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算求解能力，属于基础题 7在正方体 成的角为 60 【分析】 连接 是异面直线 成角由 等边三角形，知异面直线 成角为 60 【解答】 解：连接 1C， 是异面直线 成角 在 ， 1C= 0 故答案为： 60 【点评】 本题考查异面直线所成角的大小的求法，解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行等价转化 8直线 3x+4y=b 与圆 x2+2x 2y+1=0 相交，则 b 的取值范围为 （ 2， 12） 【分析】 求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件建立不等式关系进行求解即可 【解答】 解：圆的标准方程为（ x 1） 2+（ y 1） 2=1， 则圆心坐标为（ 1， 1），半径 r=1， 则若直线 3x+4y=b 与圆 x2+2x 2y+1=0 相交 ， 则圆心到直线的距离 d= = 1， 即 |b 7| 5， 则 5 b 7 5， 即 2 b 12， 故答案为：（ 2， 12） 【点评】 本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，利用点到直线的距离与半径之间的关系是解决本题的关键 9若正四棱锥的底面边长为 ，体积为 4它的侧面积为 8 【分析】 设出正四棱锥的底面边长为 a=2 ， h 为高，运用体积公式求解得出 h=1，求解斜高 h=2，运用面积公式求解即可 【解答】 解： 正四棱锥的底面边长为 ，体积为 4 a=2 ， h 为高， 即 （ 2 ） 2h=4， h=1， 斜高为： =2， 侧面积为： 4 2 =8 故答案为： 【点评】 本题考查了三棱锥的几何性质，运用求解斜高，侧面积公式，属于中档题，关键是把立体问题，转化为平面问题 10下列命题，其中正确的是 （填写序号） 若 m ， m n，则 n ； 若 m n， m， n，则 ； 若直线 m n，则直线 m 就平行于平面 内的无数条直线； 若 B 【分析】 在 中，由线面垂直的性质得 n 在 中， 与 相交或平行；在 中，直线m 与平面 有可能相交；在 中， 【解答】 解： 若 m ， m n，则由线面垂直的性质得 n ，故 正确； 若 m n， m， n，则 与 相交或平行，故 错误； 若直线 m n，则直线 m 与平面 有可能相交，故 错误； 若 B 则 补，故 错误 故答案为： 【点评】 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用 11椭圆 + =1 的左 焦点为 P 在椭圆上，如果线段 中点 M 在 y 轴正半轴上，那么以线段 直径的圆的标准方程为 y ） 2= 【分析】 先根据中位线定理可推断出 直于 x 轴，根据椭圆的标准方程求出焦距，进而设 |t，根据勾股定理求得 t 和 |可得 M 的坐标，可得所求圆的标准方程 【解答】 解： O 是 中点， M 为 中点， 行于 y 轴，即 直于 x 轴， c= = =2， |4 设 |t，根据椭圆定义可知 |8 t， （ 8 t） 2+16=得 t=5， |3， 可得 M（ 0， ）， | ， 即有所求圆的方程为 y ） 2= 故答案为： y ） 2= 【点评】 本题考查椭圆的定义和方程的运用，考查圆的方程的求法，注意运用中位线定理和椭圆的定义，属于中档题 12已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为 2，一条准线方程为 y= 3，则其渐近线方程为 y= x 【分析】 双曲线的焦点在 y 轴上，且 =3，焦点到渐近线距离为 2，求出 a， b， c，即可求出双曲线的渐近线方程 【解答】 解： 一条准线方程为 y= 3， 双曲线的焦点在 y 轴上，且 =3， 焦点到渐近线的距离为 2， =2， b=2， a=2 ， c=4 渐近线方程为 y= x= x 故答案为： y= x 【点评】 本题考查了双曲线的标准方程及其渐近线方程、点到直线的距离公式，属于基础题 13定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） 1，且 f（ 1） =2，在不等式 f（ x） x+1 的解集为 （ 1， +） 【分析】 由 f（ x） 1， f（ x） x+1 可抽象出一个新函数 g（ x），利用新函数的性质（单调性）解决问题，即可得到答 案 【解答】 解：设 g（ x） =f（ x）（ x+1）， 因为 f（ 1） =2， f（ x） 1， 所以 g（ 1） =f（ 1）（ 1+1） =0， g（ x） =f（ x） 1 0， 所以 g（ x）在 R 上是增函数，且 g（ 1） =0 所以 f（ x） x+1 的解集即是 g（ x） 0=g（ 1）的解集 x 1 故答案为：（ 1， +） 【点评】 本题考查利用导数研究函数的单调性，解决此类问题的关键是构造函数 g（ x） =f（ x）（ x+1），然后利用导数研究 g（ x）的单调性，从而解决问题，属于中档题 14已知动点 A、 B 分别在图中抛 物线 x 及椭圆 的实线上运动，若 x，点 N 的坐标为（ 1， 0），则三角形 周长 l 的取值范围是 （ ） 【分析】 可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出 A， B 点的横坐标范围，再利用焦半径公式转换为以 B 点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的 B 点横坐标方位计算即可 【解答】 解：由 得，抛物线 x 与椭圆 在第一象限的交点横坐标为， 设 A（ B（ 则 0 ， 2， 由可得，三角形 周长 l=|+x1+a +a+ + ， 2， 3+4 故答案为（ ） 【点评】 本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知 二、解答题：本大题共 7小题，共 90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 15已知圆 C：（ x 1） 2+ 内有一点 P（ 2， 2），过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、 B 两点 （ 1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； （ 2）当弦 点 P 平分时，写出直线 l 的方程； （ 3）当直线 l 的倾斜角为 45时，求弦 长 【分析】 （ 1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线 l 的方程； （ 2）当弦 点 P 平分时，求出 直线的斜率，即可写出直线 l 的方程； （ 3）当直线 l 的倾斜角为 45时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦 长 【解答】 解：（ 1）已知圆 C：（ x 1） 2+ 的圆心为 C（ 1， 0），因直线过点 P、 C，所以直线 l 的斜率为 2，直线 l 的方程为 y=2（ x 1），即 2x y 2=0 （ 2）当弦 点 P 平分时， l 线 l 的方程为 y 2= （ x 2），即 x+2y 6=0 （ 3）当直线 l 的倾斜角为 45时，斜 率为 1，直线 l 的方程为 y 2=x 2，即 x y=0 圆心到直线 l 的距离为 ，圆的半径为 3，弦 长为 【点评】 本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率，点到直线的距离；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键 16如图，在四棱锥 P ，底面 平行四边形， 5， ， ，平面 E 是 中点， F 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 【分析】 （ 1）取 中点 M，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形平行四边形，且 合线面平行的判定定理，即可得到 平面 （ 2）连接 5， ， ， F 为 中点，可得 面 得 合线面垂直的判定定理可得 平面 由面面垂直的判定定理，即可得到平面 平面 【解答】 证明：（ 1）取 中点 M， E 是 中点， 中位线， 四边形 平行四边形， 面 面 平面 （ 2）连接 5， ， ， F 为 中点， 又 平面 又由 B=A， 平面 又 面 平面 平面 【点评】 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中（ 1）的关键是证得 2）的关键是证明 平面 17抛物线 y=有一点 A 的横坐标为 a，其中 a（ 0， 1），过点 A 的抛物线的切线 l 交x 轴及直线 x=1 于 B， C 两点，直线 x=1 交 x 轴于 D 点 （ 1）求直线 l 的方程； （ 2）求 面积 S（ a），并求出 a 为何值时 S（ a）有最大值 【分析】 （ 1）利用导数的运算法则可得 y，利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程； （ 2）利用切线的方程即可得出点 B， C 的坐标，再利用三角形的面积公式，求得 S（ a），再由导数求得单调区间和最值，即可得出结论 【解答】 解：（ 1） y= y=2x， 可得切线 l 的斜率为 2a， 切线 l 的方程是 y a（ x a），即 2y ； （ 2）由 2y ，令 y=0， 解得 x= ， B（ ， 0）； 令 x=1，解得 y=2a C（ 1， 2a |1 ， |2a 面积 S（ a） = （ 1 ）（ 2a = （ 4a）， S（ a） = （ 38a+4） = （ 3a 2）（ a 2）， 令 S（ a） =0， a（ 0， 1）， a= 当 0 a 时， S（ a） 0； 当 a 1 时， S（ a） 0 a= 时， S（ a）有最大值 【点评】 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，导数的几何意义等是解题的关键 18（文科班选做此题）已知 a 0，命题 p： x1， x +20 恒成立，命题 q：点 P（ 1，1）在圆（ x a） 2+（ y a） 2=4 的外部，是否存在正数 a，使得 p q 为真命题； pq 假命题，若存在，请求出 a 的范围；若不存在，请说明理由 【分析】 根据条件求出命题的成立的等价条件，根据复合命题真假关系进行判断即可 【解答】 解：若： x1， x +20，即 x+2 ， 即 xa 在 x1 时成立， 设 f（ x） =x，则 f（ x） =（ x+1） 2 1， 当 x1 时，函数 f（ x）为增函数，则函数 f（ x）的最小值为 f（ 1） =1+2=3， 则 a3，即 p： a3 若点 P（ 1， 1）在圆（ x a） 2+（ y a） 2=4 的外部， 则（ 1 a） 2+（ 1 a） 2 4， 即（ a 1） 2 2，即 a 1+ 或 a 1 ， 若存在正数 a，使得 p q 为真命题； pq 假命题， 则 p， q 为一真一假， 则此时 p： 0 a3， q： a 1+ ， 若 p 真 q 假，则 ，得 0 a1+ ， 若 p 假 q 真，则 ，得 a 3， 综上 0 a1+ 或 a 3 【点评】 本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键 19求异面直线 成角的余弦值； （ 2）求平面 成二面角的正弦值 【分析】 （ 1）以 为单位正交基底建立空间直角坐标系 A 用向量法能求出异面直线 成角的余弦值 （ 2）分别求出平面 法向量，利用向量法能求出平面 成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面 成二面角的正弦值 【解答】 解：（ 1）以 为单位正交基底建立空间直角坐标系 A 则由题意知 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ 0， 2， 0）， 0， 0， 4）， D（ 1， 1， 0）， 0， 2， 4）， ， =（ 1， 1， 4）， = = = ， 异面直线 成角的余弦值为 （ 2） 是平面 设平面 法向量为 ， ， ，取 z=1，得 y= 2， x=2， 平面 法向量为 ， 设平面 成二面角为 ， |=| |= ， = 平面 成二面角的正弦值为 【点评】 本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用 20已知函数 f（ x） = （ m， nR）在 x=1 处取到极值 2 （ ）求 f（ x）的解析式； （ ）设函数 g（ x） =对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 g（ =f（ 求实数 a 的取值范围 【分析】 （ I）由已知中，函数 ，易求出导函数的解析式，再由函数在 x=1 处取到极值 2，其导函数在 x=1 处等 0，易构造一个关于 m 的方程，解方程求出 m 值，即可得到 f（ x）的解析式； （ ）由（ I）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数 f（ X）的单调性，由此易判断 f（ x）在区间 ， 2上的值域，由对任意的 ，总存在唯一的，使得 g（ =f（ 及函数 g（ x） =们分别对 a 值与 e 及可得到满足条件的实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ ） f（ x） = = f（ x）在 x=1 处取到极值 2，故 f（ 1） =0， f（ 1） =2 即 ， 解得 m=4， n=1，经检验，此时 f（ x）在 x=1 处取得极值故 （ ）由（ ）知 ，故 f（ x）在 上单调递增，在（ 1， 2）上单调递减，由 ，故 f（ x）的值域为 依题意 ，记 ，