2016年江苏省苏州市高考数学考前指导卷含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2016 年江苏省苏州市高考数学考前指导卷 一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分 . 1设全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 2， 3， B=2， 3， 4，则 U（ A B） = 2已知复数 +2i， a R， i 是虚数单位，若 实数，则 a= 3某班有学生 60 人，现将所有学生按 1， 2， 3， ， 60 随机编号若采用系统抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本（等距抽样），已知编号为 4， a， 28， b， 52 号学生在样本中，则a+b= 4等比数列 前 n 项和为 ， ，则公比 q 为 5执行如图所示的流程图，输出的 S 的值为 6在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为 7双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别是 过 倾斜角 30的直线交双曲线右支于 M 点，若 直于 x 轴，则双曲线的离心率 e= 8已知函数 f（ x） =2x+） +k（ A 0， k 0）的最大值为 4，最小值为 2，且 f（ 2，则 f（ ） = 9在三棱锥 S ，底面 边长为 3 的等边三角形， B=2，则该三棱锥的体积为 10已知直线 l： x y=1 与圆 M： x2+2x+2y 1=0 相交于 A， C 两 点，点 B， D 分别在圆 M 上运动，且位于直线 侧，则四边形 积的最大值为 11已知平行四边形 20， ， ，点 P 是线段 的一个动点，则 的取值范围是 12若 x 0， y 0，则 的最小值为 13在钝角 ，已知 ，则 得最小值时，角 B 等于 14若不等式 | 1 对 x （ 0， 1恒成立，则实数 m 的取值范围是 二、解答题（每题 6 分，满分 90 分，将答案填在答题纸上） 第 2 页（共 16 页） 15在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，已知 ， c= ， （ ）求 a 的值； （ ） 若角 A 为锐角，求 b 的值及 面积 16在梯形 ， C=CB=a， 0，平面 平面 边形 矩形， AF=a，点 M 在线段 （ 1）求证： （ 2）若 平面 求线段 长 17苏州市举办 “广电狂欢购物节 ”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量 p 万件与广告费用 x 万元满足 p=3 （其中 0 x a， a 为正常数）已知生产该批产品 p 万件还需投入成本（ 10+2p）万元（不含广告费用），产品的销售价格定为（ 4+ ）元 /件，假定厂商生产的产品恰好能够售完 （ 1）将该产品的利润 y 万元表示为广告费用 x 万元的函数； （ 2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？ 18已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+相切 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点（ 1， 0）的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点，在 x 轴上是否存在点 N，使得 为定值？如果有，求出点 N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由 19已知数列 足 =中 q R， n N* （ 1）若 公差为 2 的等差数列，且 a1=q=3，求数列 通项公式； （ 2）若 首项为 2，公比为 q 的等比数列， q 0，且对任意 m， n N*， 0，都有 （ ， 6），试求 q 的取值范围 20已知 a R，函数 f（ x） =1 图象与 x 轴相切 （ ）求 f（ x）的单调区 间； （ ）当 x 1 时， f（ x） m（ x 1） 实数 m 的取值范围 第 3 页（共 16 页） 2016 年江苏省苏州市高考数学考前指导卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分 . 1设全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 2， 3， B=2， 3， 4，则 U（ A B） = 5 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出 A 与 B 的并集，找出并集的补集即可 【解答】 解： 集合 A=1， 2， 3， B=2， 3， 4， A B=1， 2， 3， 4， 全集 U=1， 2， 3， 4， 5， U（ A B） =5 故答案为： 5 2已知复数 +2i， a R， i 是虚数单位，若 实数，则 a= 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数定义是法则、复数为实数的充要条件即可得出 【解答】 解： 1+ 3+2i） =3 2a+（ 3a+2） i 是实数， 3a+2=0，解得 a= 故答案为： 3某班有学生 60 人，现将所有学生按 1， 2， 3， ， 60 随机编号若采用系统抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本（等距抽样），已知编号为 4， a， 28， b， 52 号学生在样本中，则a+b= 56 【考点】 系统抽样方法 【分析】 求出样本间隔即可得到结论 【解答】 解： 样本容量为 5， 样本间隔为 60 5=12， 编号为 4， a， 28， b， 52 号学生在样本中， a=16， b=40， a+b=56， 故答案为： 56 4等比数列 前 n 项和为 ， ，则公比 q 为 3 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 ， ，两式相减即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， ， ， 为 =3=q 第 4 页（共 16 页） 故答案为： 3 5执行如图所示的流程图，输出的 S 的值为 2 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序框图的运行过程，即可得出 该程序执行的结果是什么 【解答】 解： i=0 4， s= = ， i=1 4， s= = ， i=2 4， s= = 3， i=3 4， s= =2， i=4，输出 s=2， 故答案为： 2 6在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为 【考点】 互斥事件的概率加法公式 【分析】 利用列举法求出甲、乙两人各抽取 1 张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率 【解答】 解：设一、二等奖各用 A， B 表示，另 1 张无奖用 C 表示， 甲、乙两人各抽取 1 张的基本事件有 6 个， 其中两人都中奖的有 2 个， 故所求的概率 P= 故答案为： 第 5 页（共 16 页） 7双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别是 倾斜角 30的直线交双曲线右支于 M 点，若 直于 x 轴，则双曲线的离心率 e= 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 将 x=c 代入双曲线方 程求出点 M 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 a， b， 出离心率的值 【解答】 解：将 x=c 代入双曲线的方程得 y= 即 M（ c， ） 在 即 解得 故答案为： 8已知函数 f（ x） =2x+） +k（ A 0， k 0）的最大值为 4，最小值为 2，且 f（ 2，则 f（ ） = 3 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 由函数最值列式求得 A， k 的值，由 f（ =2，得到 2） = 1，则 2） =0，写出 f（ ），结合诱导公式求值 【解答】 解：由 f（ x） =2x+） +k， f（ x） =2x+） +k（ A 0， k 0）的最大值为 4，最小值为 2， ，解得： A=1， k=3 f（ x） =2x+） +3 由 f（ =2，得 2） +3=2， 2） = 1，则 2） =0 则 f（ ） = +3=2） +3=3 故答案为： 3 9在三棱锥 S ，底面 边长为 3 的等边三角形， B=2，则该三棱锥的体积为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由题意画出图形，结合已知可得 平面 求出 三角形求得 入体积公式求得三棱锥的体积 【解答】 解：如图， 第 6 页（共 16 页） B=S， 平面 在 ，由 ， ，得 在 ，由取 点 D，连接 故答案为： 10已知直线 l： x y=1 与圆 M： x2+2x+2y 1=0 相交于 A， C 两点，点 B， D 分别在圆 M 上运动，且位于直线 侧，则四边形 积的最大值为 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 先求出弦长 |长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，然后将 面积看成两个三角形 面积之和，分析可得当 垂直平分线时，四边形 面积最大 【解答】 解：把圆 M： x2+2x+2y 1=0 化为标准方程：（ x 1） 2+（ y+1） 2=3，圆心（ 1， 1），半径 r= 直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距 d= = ， 由勾股定理的半弦长 = = ，所以弦长 |2 = 又 B， D 两点在圆上，并且位于直线 两侧， 四边形 面积可以看成是两个三角形 面积之和， 如图所示， 当 B， D 为如图所示位置，即 弦 垂直平分线时（即为直径时）， 两三角形的面积之和最大，即四边形 面积最大， 最大面积为： S= | | | |= = 故答案为： 第 7 页（共 16 页） 11已知平行四边形 20， ， ，点 P 是线段 的一个动点，则 的取值范围是 ， 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 以为坐标原点，以 在的直线为 x 轴，建立如图所述的直角坐 标系，作 C，垂足为 E，求出 A（ ， ）， D（ ， ），设点 P（ x， 0）， 0 x 2， 根据向量的坐标运算以及向量的数量积的运算得到 =（ x ） 2 ，根据二次函数的性质即可求出答案 【解答】 解：以为坐标原点，以 在的直线为 x 轴，建立如图所述的直角坐标系，作 垂足为 E， 20， ， ， 0， ， ， A（ ， ）， D（ ， ）， 点 P 是线段 的一个动点，设点 P（ x， 0）， 0 x 2， =（ x ， ）， =（ x ， ）， =（ x ）（ x ） + =（ x ） 2 ， 当 x= 时，有最小值，最小值为 ， 当 x=0 时，有最大值，最大值为 2， 则 的取值范围为 ， 2， 故答案为： ， 2 第 8 页（共 16 页） 12若 x 0， y 0，则 的最小值为 【考点】 基本不等式 【分析】 设 =t 0，变形 = +t= + ，再利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：设 =t 0，则 = +t= + = ，当且仅当 = 时取等号 故答案为： 13在钝角 ，已知 ，则 得最小值时，角 B 等于 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 2A ） = ，由 A （ 0，），可得： 2A （ ， ），从而可求 A 的值，又 2B+ ），由题意可得 2B+ ） =1，解得 B=， k Z，结合范围 B （ 0， ），从而可求 【解答】 解： ，可得： + ，整理可得： ， （ =1，可得： 2A ） =1， 解得： 2A ） = ， 第 9 页（共 16 页） A （ 0， ），可得： 2A （ ， ）， 2A = ，或 ，从而解得解得： A= 或 （由题意舍去）， B） = = 2B+ ）， 当 2B+ ） =1 时， 2B+ ）取得最小值，此时， 2B+=2， k Z， 解得： B=， k Z， B （ 0， ）， B= 故答案为： 14若不等式 | 1 对 x （ 0， 1恒成立，则实数 m 的取值范围是 +） 【考点】 绝对值不等式的解法 【分析】 根据绝对值不等式的性质，结合不等式恒成立，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数以及函数的最值即可 【解答】 解： | 1 对任意 x （ 0， 1都成立 等价为 1，或 1， 即 m ，记 f（ x） = ，或 m ，记 g（ x） = ， f（ x） = = ， 由 f（ x） = =0， 解得 ，即 x=e ， 由 f（ x） 0，解得 0 x e ，此时函数单调递增， 由 f（ x） 0，解得 x e ，此时函数单调递减， 第 10 页（共 16 页） 即当 x=e 时，函数 f（ x）取得极大值，同时也是最大值 f（ e ） = = 时 m 若 m ， 当 x=1 时， =0， 当 m 0 时，不等式 m 不恒成立， 综上 m 故答案为： +） 二、解答题（每题 6 分，满分 90 分，将答案填在答题纸上） 15在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，已知 ， c= ， （ ）求 a 的值； （ ） 若角 A 为 锐角，求 b 的值及 面积 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ ）根据题意和正弦定理求出 a 的值； （ ）由二倍角的余弦公式变形求出 A 的范围和平方关系求出 余弦定理列出方程求出 b 的值，代入三角形的面积公式求出 面积 【解答】 解：（ ）在 ，因为 ， 由正弦定理 ， 得 （ ） 由 得， ， 由 得， ， 则 ， 由余弦定理 a2=b2+2 化简得， 2b 15=0，解得 b=5 或 b= 3（舍负） 所以 第 11 页（共 16 页） 16在梯形 ， C=CB=a， 0，平面 平面 边形 矩形， AF=a，点 M 在线段 （ 1）求证： （ 2）若 平面 求线段 长 【考点】 直线与平面平行的性质；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）由已知及等腰梯形的性质，勾股定理可证明 平面 平面而可证 平面 而可证 （ 2）设 于点 N，由 平面 得 四边形 平行四边形，可得N，由 CD=a， N， 20，解得 ，又 CE=a，从而可求 而可求 值 【解答】 证明：（ 1）由题意知，梯形 等腰梯形，且 ， 由 知 又平面 平面 平面 面 C， 面 所以 平面 又 面 所以 解：（ 2）设 于点 N，因为 平面 平面 面 面 N， 所以 四边形 平行四边形， 所以 N，由 CD=a， N， 20， 所以 ，又 CE=a， 所以 ， 所以 17苏州市举办 “广电狂欢购物节 ”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量 p 万件与广告费用 x 万元满足 p=3 （其中 0 x a， a 为正常数）已知生产该批产品 p 万件还需投入成本（ 10+2p）万第 12 页（共 16 页） 元（不含广告费用），产品的销售价格定为（ 4+ ）元 /件，假定厂商生产的产品恰好能够售完 （ 1）将该产品的利润 y 万元表示为广告费用 x 万元的函数； （ 2）问广告费投入 多少万元时，厂商的利润最大？ 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ 1）由题意知， ，将 代入化简即可得出 （ 2） y= ，对 a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出 【解答】 解：（ 1）由题意知， ，将 代入化简得： （ 2） 当 a 1 时， x （ 0， 1）时， y 0，所以函数 在（ 0， 1）上单调递增； x （ 1， a）时， y 0，所以函数 在（ 1， a）上单调递减， 促销费用投入 1 万元时，厂家的利润最大 当 a 1 时，因为函数 在（ 0， 1）上单 调递增， 在 0，a上单调递增， 所以 x=a 时，函数有最大值即促销费用投入 a 万元时，厂家的利润最大 综上所述，当 a 1 时，促销费用投入 1 万元，厂家的利润最大；当 a 1 时，促销费用投入 a 万元，厂家的利润最大 18已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，焦点与短轴的两顶 点的连线与圆x2+相切 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点（ 1， 0）的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点，在 x 轴上是否存在点 N，使得 为定值？如果有，求出点 N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由椭圆的离心率为 ，焦点与短轴的两顶点的连线与圆 x2+相切，列出方程组，求出 a， b，由此能求出椭圆方程 第 13 页（共 16 页） （ ）当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y=k（ x 1）， A（ B（ 直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足 【解答】 解：（ ） 椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，焦点与短轴的两顶点的连线与圆 x2+相切， ， 解得 ， ， 椭圆方程为 （ ）当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y=k（ x 1）， A（ B（ 则 0， ， 若存在定点 N（ m， 0）满足条件， 则有 =（ m）（ m） + 如果要上式为定值，则必须有 验证当直线 l 斜率不存在时，也符合 第 14 页（共 16 页） 故存在点 满足 19已知数列 足 =中 q R， n N* （ 1）若 公差为 2 的等差数列，且 a1=q=3，求数列 通项公式； （ 2）若 首项为 2，公比为 q 的等比数列， q 0，且对任意 m， n N*， 0，都有 （ ， 6），试求 q 的取值范围 【考点】 等比数列的性质；数列递推式 【分析】 （ 1）确定 首项为 3，公差为 6 的等差数列，即可求数列 通项公式； （ 2）确定 qn+q， 0，由指数函数的单调性知， 最大值为 ，最小值为 q，由题意， 的最大值及最小值分别为 和 ，即可求 q 的取值范围 【解答】 解：（ 1）由 an=q（ =2q=6，所以 首项为 3，公差为 6 的等差数列， 故 通项公式为 （ 2）因为 ，所以 ， 当 n 2 时， 1） +（ 1 2） +（ +（ 1） +（ 1 2） +（ q） +3q=2qn+q 当 n=1 时， q，符合上式，所以 ， 因为 q 0，且对任意 ，故 0， 特别地 2q2+q 0，于是 ，此时对任意 n N*， 0 当 时， ，由指数函数的单调性知， 最大值为 ，最小值为 q， 由题意， 的最大值及最小值分别为 和 由 及 ，解得 综上所述， q 的取值范围为 第 15 页（共 16 页） 20已知 a R，函数 f（ x） =1 图象与 x 轴相切 （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）当 x 1 时， f（