2016年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷(文科)含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（文科） 一选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1集合 A=x| 1 x 3，集合 B=x| 1 x 2，则 AB=（ ） A（ 1， 2） B（ 1， 2） C（ 1， 3） D（ 1， 3） 2设复数 复平面内对应的点关于虚轴对称，且 +i，则 ） A 2+i B 2+i C 2 i D 2 i 3已知向量 =（ 2， 1）， =（ 0， 1），则 | +2 |=（ ） A 2 B C 2 D 4 4已知函数 ，则 =（ ） A 4 B C 4 D 5某集团计划调整某种产品的价格，为此销售部在 3 月 1 日至 3 月 5 日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格 x（元）与销售量 y（万件）之间的数据如表所示： 日期 3 月 1 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日 价格 x（元） 9 0 1 销售量 y（万件） 11 10 8 6 5 已知销售量 y 与价格 x 之间具有 线性相关关系，其回归直线方程为： y=0，若该集团调整该产品的价格到 ，预测批发市场中该产品的日销售量约为（ ） A 件 B 件 C 件 D 件 6已知 ， 为第一象限角，则 ） A B C D 7如图，在长方体 ，点 P 是棱 一点，则三棱锥 P 左视图可能为（ ） A B C D 第 2 页（共 21 页） 8将函数 f（ x） =2x+） 的图象向右平移 个单位后的图象关于 y 轴对称，则函数 f（ x）在 上的最小值为（ ） A B C D 9见如图程序框图，若输入 a=110011，则输出结果是（ ） A 51 B 49 C 47 D 45 10已知双曲线 C： 的右焦点为 F，以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 双曲线的实轴垂直，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 2 11在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，且满足 么 （ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰或直角三角形 D等腰直角三角形 12已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且在区间 0， +）上是增函数，则不等式 f（ 1）的解集为（ ） A（ 0， ） B（ 0， e） C（ ， e） D（ e， +） 二 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置上） 第 3 页（共 21 页） 13已知实数 x， y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值为 14在椭圆 + =1 上有两个动点 M、 N， K（ 2， 0）为定点，若 =0，则 的最小值为 15设集合 S， T 满足 S T 且 S ，若 S 满足下面的条件： （ ） a， b S，都有 a b S 且 S； （ ） r S， n T，都有 S则称 S 是 T 的一个理想，记作 S T 现给出下列 3 对集合： S=0， T=R； S=偶数 ， T=Z； S=R， T=C， 其中满足 S T 的集合对的序号是 （将你认为正确的序号都写上） 16已知底面为正三角形的 直三棱柱内接于半径为 1 的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为 三 本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知等差数列 前 n 项和为 （ ）， 3列 等比数列，且 2b1= （ ）求数列 通项公式； （ ）求数列 |的前 n 项和 18某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了 16 名男志愿者和 14 名女志愿者调查发现，男、女志愿者中分别各有 10 人和 6 人喜欢运动，其他人员不喜欢运动 （ ）根据以上数据完成以下 2 2 列联表： 喜欢运动 不喜欢运动 总计 男 a= b= 女 c= d= 总计 n= （ ）判断性别与喜欢运动是否有关，并说明理由 （ ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有 4 人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2 名负责医疗救护工作，求抽出的 2 名志愿者都懂得医疗救护的概率 附： 临界值表（部分）： P（ 2 9如图（ 1），在等腰梯形 ， E， F 分别为 中点，且 F=2， M 为 点，现将梯形 在直线折起，使平面 平面 图（ 2）所示， N 是 一点，且 （ ）求证： 平面 第 4 页（共 21 页） （ ）求三棱锥 F 体积 20动点 P 在抛物线 y 上，过点 P 作 直于 x 轴，垂足为 Q，设 （ ）求点 M 的轨迹 E 的方程； （ ）设点 S（ 4， 4），过点 N（ 4， 5）的直线 l 交轨迹 E 于 A， B 两点，设直线 值 21已知函数 f（ x） = （ ）若函数 f（ x）在（ 1， +）上单调递减，求实数 a 的取值范围； （ ）当 a=1 时，函数 有两个零点 证： x1+1 选修 4何 证明选讲 22已知四边形 O 的内接四边形，且 D，其对角线 交于点 M过点 B 作 O 的切线交 延长线于点 P （ 1）求证： D=M； （ 2）若 D=M，求证： C 选修 4标系与参数方程 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 222，且曲线 C 的左焦点 l 上 （ ）若直线 l 与曲线 C 交于 A、 B 两点求 |值； （ ）设曲线 C 的内接矩形的周长为 P，求 P 的最大值 第 5 页（共 21 页） 选修 4等式选讲 24已知 R 使得关于 x 的不等式 |x 1| |x 2| t 成立 （ ）求满足条件的实数 t 集合 T； （ ）若 m 1， n 1，且对于 t T，不等式 t 恒成立，试求 m+n 的最小值 第 6 页（共 21 页） 2016 年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一选择题：（本大 题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1集合 A=x| 1 x 3，集合 B=x| 1 x 2，则 AB=（ ） A（ 1， 2） B（ 1， 2） C（ 1， 3） D（ 1， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的交集即可 【解答】 解：集合 A=x| 1 x 3=（ 1， 3），集合 B=x| 1 x 2=（ 1， 2）， 则 AB=（ 1， 2）， 故选： B 2设复数 复平面内对应的点关于虚轴对称，且 +i，则 ） A 2+i B 2+i C 2 i D 2 i 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 由 到 复平面内对应的点的坐标，结合题意求得 复平面内对应的点的坐标，则答案可求 【解答】 解： +i， 复平面内对应点的坐标为（ 2， 1）， 由复数 复平面内对应的点关于虚轴对称，可知 复平面内对应的点的坐标为（2， 1）， 2+i， 选： B 3已知向量 =（ 2， 1）， =（ 0， 1），则 | +2 |=（ ） A 2 B C 2 D 4 【考点】 向量的模 【分析】 直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可 【解答】 解：向量 =（ 2， 1）， =（ 0， 1），则 | +2 |=|（ 2， 1） |= 故选： B 4已知函数 ，则 =（ ） A 4 B C 4 D 【考点】 函数的值 【分析】 由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可 【解答】 解： f（ ） = 2， =f（ 2） = ， 第 7 页（共 21 页） 故选： B 5某集团计划调整某种产品的价格，为此销售部在 3 月 1 日至 3 月 5 日连续五天对某个大型批发 市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格 x（元）与销售量 y（万件）之间的数据如表所示： 日期 3 月 1 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日 价格 x（元） 9 0 1 销售量 y（万件） 11 10 8 6 5 已知销售量 y 与价格 x 之间具有线性相关关系，其回归直线方程为： y=0，若该集团调整该产品的价格到 ，预测批发市场中该产品的日销售量约为（ ） A 件 B 件 C 件 D 件 【考点】 线性回归方程 【分析】 根据线性回归方程过样本中心点（ ， ），求出回归直线方程，利用回归方程求出x= y 的值即可 【解答】 解：由题意可知， = （ 9+0+1） =10， = （ 11+10+8+6+5） =8， 所以 8=b 10+40， 即 b= 回归直线方程为 y= 0， 当 x=， y= 0= 故选： D 6已知 ， 为第一象限角，则 ） A B C D 【考点】 二倍角的余弦 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 值，再利用二倍角公式，求得 值 【解答】 解：由 = ， 为第一象限角， ， ， ，所以 ， 故选： C 7如图，在长方体 ，点 P 是棱 一点，则三棱锥 P 左视图可能为（ ） 第 8 页（共 21 页） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 直接利用三视图的定义，判断选项即可 【解答】 解：在长方体 ，三棱锥 P 左视图中， 1、 D 故选 D 8将函数 f（ x） =2x+） 的图象向右平移 个单位后的图象关于 y 轴对称，则函数 f（ x）在 上的最小值为（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由函数 y=x+）的图象变换可得，又图象关于 y 轴对称，结合范围 | ，解得 ，可得函数解析式 ，又由已知可得，利用 正弦函数的图象和性质即可解得 f（ x）在 上的最小值 【解答】 解： 由题 ， 又 图象关于 y 轴对称， 依题 ， 结合范围 | ，解得 这样 ， 又 x ， ， 可得： ， 故选： D 9见如图程序框图，若输入 a=110011，则输出结果是（ ） 第 9 页（共 21 页） A 51 B 49 C 47 D 45 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答 】 解：第一次执行循环体后， t=1， b=1， i=2，不满足退出循环的条件， 第二次执行循环体后， t=1， b=3， i=3，不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体后， t=0， b=3， i=4，不满足退出循环的条件， 第四次执行循环体后， t=0， b=3， i=5，不满足退出循环的条件， 第五次执行循环体后， t=1， b=19， i=6，不满足退出循环的条件， 第六次执行循环体后， t=1， b=51， i=7，满足退出循环的条件， 故输出 b 值为 51， 故选： A 10已知双曲线 C： 的右焦点为 F，以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 双曲线的实轴垂直，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 F（ c， 0），渐近线方程为 y= x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为 b，即为圆 F 的半径，再由 直于 x 轴，可得 a=b，运用 a， b， c 的关系和离心率公式，即可得到所求值 【解答】 解：设 F（ c， 0），渐近线方程为 y= x， 第 10 页（共 21 页） 可得 F 到渐近线的距离为 =b， 即有圆 F 的半径为 b， 令 x=c，可得 y= b = ， 由题意可得 =b， 即 a=b， c= = a， 即离心率 e= = ， 故选 C 11在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，且满足 么 （ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰或直角三角形 D等腰直角三角形 【考点】 正弦定理 【分析】 根据正弦定理把等式 边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得 而推断 A=B，或 A+B=90答案可得 【解答】 解：根据正弦定理可知 A=B，或 2A+2B=180即 A+B=90， 即有 等腰或直角三角形 故选 C 12已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且在区间 0， +）上是增函数，则不等式 f（ 1）的解集为（ ） A（ 0， ） B（ 0， e） C（ ， e） D（ e， +） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 由 f（ x）为定义在 R 上的奇函数便可得到 ，从而由原不等式可得到 |f（ | f（ 1），进一步便得到 f（ 1） f（ f（ 1），可以说明 f（ x）在 R 上单调递增，从而便得到 1 1，这样便可 得出原不等式的解集 【解答】 解： f（ x）为定义在 R 上的奇函数； =f（ +f（ =2f（ 第 11 页（共 21 页） 由 得， |f（ | f（ 1）； f（ 1） f（ f（ 1）； 即 f（ 1） f（ f（ 1）； 又 f（ x）在 0， +）上是增函数， f（ x）在（ ， 0上为增函数； f（ x）在 R 上为增函数； 1 1； ； 原不等式的解集为 故选： C 二 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置上） 13已知实数 x， y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值为 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=2x+y 得 y= 2x+z， 平移直线 y= 2x+z， 由图象可知当直线 y= 2x+z 经过点 C 时，直线 y= 2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由 ，解得 C（ 2， 0） 将 C（ 2， 0）的坐标代入目标函数 z=2x+y， 得 z=2 2+0=4即 z=2x+y 的最大值为 4 故答案为： 4 14在椭圆 + =1 上有两个动点 M、 N， K（ 2， 0）为定点，若 =0，则 的最小值为 第 12 页（共 21 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 M 在椭圆 + =1 上，可设 M（ 63 0 2），则 = （ ） = 2 = 2，运用两点的距离公式，配方运用余弦函数的值域，即可得到所求最小值 【解答】 解： M 在椭圆 + =1 上，可设 M（ 63 0 2）， 则 = （ ） = 2 = 2， 由 K（ 2， 0），可得 2=| |2=（ 62） 2+（ 32 =27243 =27（ ） 2+ ， 当 时， 2 取得最小值 ， 故答案为： 15设集合 S， T 满足 S T 且 S ，若 S 满足下面的条件： （ ） a， b S，都有 a b S 且 S； （ ） r S， n T，都有 S则称 S 是 T 的一个理想，记作 S T 现给出下列 3 对集合： S=0， T=R； S=偶数 ， T=Z； S=R， T=C， 其中满足 S T 的集合对的序号是 （将你认为正确的序号都写上） 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 直接利用新定义逐一核对三个命题得答案 【解答】 解：对于 ，满足（ ），且 r=0 S， n 为实数 T，则 S， S T，满足（ ），故 满足； 对于 ，满足（ ），且 r 为偶数 S， n 为整数 T，则 偶数 S， S T，满足（ ），故 满足； 对于 ，不妨取实数 1，复数 i，两者相乘后得复数 i，不属于实数集，故 不满足 满足 S T 的集合对的序号是 故答案为： 16已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为 1 的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；球内接多面体 【分析】 画出图形，设 O 为外接球球心，三棱柱的高为 h，表示出三棱柱的体 积为， 0 h 2利用导数求解三棱柱的体积最大时，三棱柱的高 第 13 页（共 21 页） 【解答】 解：如图所示，设 O 为外接球球心，三棱柱的高为 h，则由题意可知， AO=BO=CO=1， ， ， 此时三棱柱的体积为 ，其中 0 h 2 令 y= h（ 0 h 2），则 y= 3，令 y=0， 则 ，当 时， y 0，函数 y 增， 当 时， y 0，函数 y 减 故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为 故答案为： 三 （本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知等差数列 前 n 项和为 （ ）， 3列 等比数列，且 2b1= （ ）求数列 通项公式； （ ）求数列 |的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）通过令等差数列 公差为 d，联立 （ ）、 3算可得首项和公差，进而可得 1 2n；通过令数列 公比为 q，联立 2b1=算可知首项和公比，进而可得 ； （ 2）通过（ I）知， ，分 n 5 与 n 6 两种情况讨论即可 【解答】 解：（ I）令等差数列 公差为 d， （ ）， 3 ，解得 ， 则 1 2n； 令数列 公比为 q， 2b1= 第 14 页（共 21 页） ，解得 ， 则 ； （ 2）通过（ I）知， ， 于是 18某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了 16 名男志愿者和 14 名女志愿者调查发现，男、女志愿者中分别各有 10 人和 6 人喜欢运动，其他人员不喜欢运动 （ ） 根据以上数据完成以下 2 2 列联表： 喜欢运动 不喜欢运动 总计 男 a= b= 女 c= d= 总计 n= （ ）判断性别与喜欢运动是否有关，并说明理由 （ ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有 4 人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2 名负责医疗救护工作，求抽出的 2 名志愿者都懂得医疗救护的概率 附： 临界值表（部分）： P（ 2 考点】 独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）根据 2 2 列联表可得表中的数据； （ ）求出 2 值，查表，与临界值比较，即可得出结论； （ ）列出所有的基本事件，由古典概型求概率 【解答】 解：（ ）由已知得 喜欢运动 不喜欢运动 总计 男 10 6 16 女 6 8 14 总计 16 14 30 （ ）假设：是否喜欢运动与性别无关，由已知数据可求得： 2= 因此， 我们认为喜欢运动与性别无关 （ ）喜欢运动的女志愿者有 6 人， 第 15 页（共 21 页） 设分别为 A、 B、 C、 D、 E、 F，其中 A、 B、 C、 D 懂得医疗救护， 则从这 6 人中任取 2 人有 E， 15 种取法， 其中两人都懂得医疗救护的有 6 种 设 “抽出的志愿者中 2 人都能胜任医疗救护工作 ”为事件 A， 则 P（ A） = = 19如图（ 1），在等腰梯形 ， E， F 分别为 中点，且 F=2， M 为 点，现将梯形 在直线折起，使平面 平面 图（ 2）所示， N 是 一点，且 （ ）求证： 平面 （ ）求三棱锥 F 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）取 中点 P，连结 点 N 作 点 Q，连接 用中位线定理得出四边形 平行四边形，故 是 平面 （ 长 于一点 H，利用平行线等分线段成比例得出 比值，得出 面积比，则三棱锥 F 三棱锥 F 体积比等于其底面积的比 【解答】 解：（ ）取 中点 P，连结 点 N 作 点 Q，连接 则 ， ， Q， 四边形 平行四边形， 平面 面 平面 （ ）延长 于一点 H， ， ， ， ， 第 16 页（共 21 页） Q， = ， ， 20动点 P 在抛物线 y 上，过点 P 作 直于 x 轴，垂足为 Q，设 （ ）求点 M 的轨迹 E 的方程； （ ）设点 S（ 4， 4），过点 N（ 4， 5）的直线 l 交轨迹 E 于 A， B 两点，设直线 值 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ I）设 M 的坐标，根据中点坐标公式，将 P 点坐标代入整理可求得 M 的轨迹方程； （ 线 l 过点 N，设 l 的方程为： y=k（ x 4） +5，与 E 联立，整理得： 46k20=0，根据韦达定理，分类讨论 l 是 否经过点 S，并分别求得直线的斜率，即可求得 【解答】 解：（ I）设点 M（ x， y）， P（ 则由 ，得 ， 因为点 P 在抛物线 y 上，所以， y. （ 由已知，直线 l 的斜率一定存在，设直线 l 的方程为： y=k（ x 4） +5， 设点 A（ B（ 则联立 ， 整理得： 46k 20=0， 由韦达定理，得 ， 当直线 l 经过点 S 即 4 或 4 时， 当 4 时，直线 斜率看作抛物线在点 A 处的切线斜率， 则 2， ，此时 ； 第 17 页（共 21 页） 同理，当点 B 与点 S 重合时， （学生如果没有讨论，不扣分） 直线 l 不经过点 S 即 4 且 4 时， ， ， = ， = 21已知函数 f（ x） = （ ）若函数 f（ x）在（ 1， +）上单调递减，求实数 a 的取值范围； （ ）当 a=1 时，函数 有两个零点 证： x1+1 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数零点的 判定定理 【分析】 （ ）求出函数的导数，根据函数的单调性，分离参数 a，问题转化为：当 x 1 时恒成立，解出即可； （ ）求出个零点 到 构造函数，根据函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ I）因为 f（ x） = ， 若函数 f（ x） =（ 1， +）上单调递 减， 则 1 0 在（ 1， +）上恒成立， 即当 x 1 时 恒成立，所以 a 1 （ 明：根据题意， ， 因为 函数 的两个零点， 所以 ， 两式相减，可得 ， 第 18 页（共 21 页） 即 ，故 那么 ， 令 ，其中 0 t 1， 则 构造函数 ， 则 因为 0 t 1，所以 h（ t） 0 恒成立， 故 h（ t） h（ 1），即 可知 ，故 x1+1 选修 4何证明选讲 22已知四边形 O 的内接四边形，且 D，其对角线 交于点 M过点 B 作 O 的切线交 延长线于点 P （ 1）求证： D=M； （ 2）若 D=M，求证： C 【考点】 与圆有关的比例线段；相似三角形的性质 【分析】 （ 1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论； （ 2）证明 用 明 可得出结论 【解答】 证明：（ 1）由 D 可知， 第 19 页（共 21 页） 由角分线定理可知， = ，即 D=M 得证 （ 2）由 D=M， 可知 = ，又因为 D，所以 = 所以 以 因为 以 以 C 选修 4标系与