2016年山东省菏泽市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年山东省菏泽市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一个是符合题目要求的 . 1复数 z= （ i 是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ） A（ 1， 1） B（ 1， 1） C（ 1， 1） D（ 1， 1） 2设集合 A=y|y=x R，集合 B=x|y=则（ B（ ） A（ ， 1） U（ 1， +） B 1， 1 C（ 1， +） D 1， +） 3已知函数 f（ x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出 100 粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数通过 10 次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为 39，由此可估计 的值约为（ ） A B C D 4圆（ x 1） 2+ 被直线 分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 5 5若 的展开式中 的系数为 20，则 a2+最小值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 6下列四个判断： 某校高三（ 1）班的人和高三（ 2）班的人数分别是 m 和 n，某次测试数学平均分分 别是a， b，则这两个班的数学平均分为 ； 从总体中抽取的样本（ 1， （ 2， （ 3， （ 4， （ 5， 则回归直线y=bx+a 必过点（ 3， 已知 服从正态分布 N（ 1， 22），且 p（ 1 1） = p（ 3） =中正确的个数有（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 7某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（ ） 第 2 页（共 18 页） A B C D 8函数 y=4e|x|（ e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ） A B C D 9点 A 是抛物线 p 0）与双曲线 （ a 0， b 0）的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 准线的距离为 p，则双曲线 离心率等于（ ） A B C D 10若函 数 f（ x） =1+ +区间 k， k（ k 0）上的值域为 m， n，则 m+n=（ ） A 0 B 1 C 2 D 4 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知命题 p： x R， |1 x| |x 5| a，若 p 为假命题，则 a 的取值范围是 12 a， b， c 分别是 A， B， C 的对边， 面积为 ，且 ，则 c= 13如图表示的是求首项为 41，公差为 2 的等差数列前 n 项和的最小值的程序框图，如果中填 a=a+2，则 可填写 14若 x， y 满足不等式组 ，表示平面区域为 D，已知点 O（ 0， 0）， A（ 1，0），点 M 是 D 上的动点， ，则 的最大值为 15若函数 y=f（ x）的导数 y=f（ x）仍是 x 的函数，就把 y=f（ x）的导数 y=f（ x）叫做函数 y=f（ x）二阶导数，记做 y（ 2） =f（ 2） （ x）同样函数 y=f（ x）的 n 1 阶导数的导数叫做 y=f（ x）的 n 阶导数，表示 y（ n） =f（ n） （ x）在求 y=x+1）的 n 阶导数时，已求得第 3 页（共 18 页） ， ，根据以上推理，函数 y=x+1）的第 n 阶导数为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 明过程或演算步骤 16已知函数 （ ）求 f（ x）的最大值； （ ）求 f（ x）的图象在 y 轴右侧第二个最高点的坐标 17如图，三棱锥 A ， 在平面互相垂直，且 D=4， ， ， E， F 分别为 中点 （ ）求证：平面 平面 （ ）求二面角 E C 的正弦值 18某架飞机载有 5 位空降兵空降到 A、 B、 C 三个地点，每位空降兵都要空降到 A、 B、 空降到每一个地点的概率都是 ，用 表示地点 C 空降人数，求： （ ）地点 A 空降 1 人，地点 B、 C 各空降 2 人的概率； （ ）随机变量 的分布列与期望 19已知数列 前 n 项和 （ ）求数列 通项公式； （ ）设数列 通项 ，求数列 前 n 项和 20在平面直角坐标系 ，椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，直线 y= 截得的线段长为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过原点的直线与 椭圆 C 交于 A， B 两点（ A， B 不是椭圆 C 的顶点）点 D 在椭圆 线 x 轴、 y 轴分别交于 M， N 两点 （ i）设直线 斜率分别为 明存在常数 使得 求出 的值； （ 积的最大值 21已知函数 f（ x） =x+1） +x（ a R） （ ）当 a=1 时，求 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x）不是单调函数，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 18 页） 2016 年山东省菏泽市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每 小题 5 分，共 50 分 有一个是符合题目要求的 . 1复数 z= （ i 是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ） A（ 1， 1） B（ 1， 1） C（ 1， 1） D（ 1， 1） 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解即可 【解答】 解：复数 z= = =1 i，复数的共轭复数在复平面内对应点的坐标（ 1， 1） 故选： A 2设集合 A=y|y=x R，集合 B=x|y=则（ B（ ） A（ ， 1） U（ 1， +） B 1， 1 C（ 1， +） D 1， +） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出 y=值域确定出 A，找出 R 中不属于 A 的部分求出 A 的补集，求出 y=，找出 A 补集与 B 的公共部分即可求出所求的集合 【解答】 解：由集合 A 中的函数 y=x R，得到 y 1， 1， A= 1， 1， ， 1） （ 1， +）， 由集合 B 中的函数 y=到 x 0， B=（ 0， +）， 则（ B=（ 1， +） 故选 C 3已知函数 f（ x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出 100 粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数通过 10 次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为 39，由此可估计 的值约为（ ） A B C D 【考点】 定积分在求面积中的应用；几何概型 第 5 页（共 18 页） 【分析】 利用阴影部分与矩形的面积比等于落入阴影部分的豆子数与所有豆子数的比，由此求出阴影部分的面积 【解答】 解：由题意设阴影部分的面积为 S，则 = ，所以 S= ； 故选： D 4圆（ x 1） 2+ 被直线 分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 5 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长的圆心角的关系，答案可得 【解答】 解：圆（ x 1） 2+ 的圆心为（ 1， 0）到直线 x y=0 的距离为 = ，圆的半径为： 1， 弦长为 2 = 小扇形的圆心角为： 120， 较短弧长与较长弧长之比为 1： 2 故选： A 5若 的展开式中 的系数为 20，则 a2+最小值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 运用二项式展开式的通项公式，化简整理，再由条件得到方程，求出 r=3，进而得到 ，再由重要不等式 a2+2可得到最小值 【解答】 解： 的展开式的通项公式为 = = ， 由于 的系数为 20，则 12 3r=3， 解得， r=3， 即有 =20，即有 ， 则 a2+2， 当且仅当 a=b，取得最小值 2 故选 B 6下列四个判断： 某校高三（ 1）班的人和高三（ 2）班的人数分别是 m 和 n，某次测试数学平均分分别是a， b，则这两个班的数学平均分为 ； 从总体中抽取的样本（ 1， （ 2， （ 3， （ 4， （ 5， 则回归直线y=bx+a 必过点（ 3， 第 6 页（共 18 页） 已知 服从正态分布 N（ 1， 22），且 p（ 1 1） = p（ 3） =中正确的个数有（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据加权平均数的公式知 不正确， 根据线性回归方程过样本中心点知 不正确， 根据随机变量 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得 P（ 3） 【解答】 解： 当某校高三一班和高三二班的人数分别是 m， n，某次测试数学平均分分别是 a， b，则这两个班的数学平均分为 ，故 不正确； =3， =据回归直线 y=bx+a 必过样本中心点，得到必过（ 3， 故不正确； 随机变量 服从正态分布（ 1， 22）， 正态曲线的对称轴是 x=1， P（ 1 1） = P（ 3） =P（ 1） =确 故选 B 7某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是平放的半圆锥，结和数据求出它的体积即可 【解答】 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是平放的半圆锥，且圆锥的底面半径为 1，母线长为 3， 圆锥的高为 =2 ； 该几何体的体积为 V 半圆锥 = 12 2 = 故选： A 8函数 y=4e|x|（ e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 第 7 页（共 18 页） 【分析】 先验证函数 y=4e|x|是否具备奇偶性，排除一些选项，在取特殊值 x=0 时代入函数验证即可得到答案 【解答】 解： 函数 y=4e|x|， f（ x） =4 x） e| x|=4e|x|=f（ x）， 函数 y=4e|x|为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 又 f（ 0） =y=4e|0|=4 1=3， 只有 A 适合， 故选： A 9点 A 是抛物线 p 0）与双曲线 （ a 0， b 0）的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 准线的距离为 p，则双曲线 离心率等于（ ） A B C D 【 考点】 双曲线的简单性质 【分析】 先根据条件求出店 A 的坐标，再结合点 A 到抛物线 准线的距离为 p；得到= ，再代入离心率计算公式即可得到答案 【解答】 解：取双曲线的其中一条渐近线： y= x， 联立 ； 故 A（ ， ） 点 A 到抛物线 准线的距离为 p， + =p； = 双曲线 离心率 e= = = 故选： C 10若函数 f（ x） =1+ +区间 k， k（ k 0）上的值域为 m， n，则 m+n=（ ） 第 8 页（共 18 页） A 0 B 1 C 2 D 4 【考点】 函数的值域；函数的定义域及其求法 【分析】 本题可以先构造奇函数 g（ x） = +1，由于奇函数图象的对称性，得到函数值域的对称，再对应研究函数 f（ x）的值域，得到本题 结论 【解答】 解：记 g（ x） = +1， g（ x） = = ， g（ x） +g（ x） = +1+ =0， g（ x） = g（ x） 函数 g（ x）在奇函数， 函数 g（ x）的图象关于原点对称， 函数 g（ x）在区间 k， k（ k 0）上的最大值记为 a，（ a 0）， 则 g（ x）在区间 k， k（ k 0）上的最小值为 a， a +1 a， a+2 + a+2， a+2 f（ x） a+2， 函数 f（ x） =1+ +区间 k， k（ k 0）上的值域为 m， n， m= a+2， n=a+2， m+n=4 故选 D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知命题 p： x R， |1 x| |x 5| a，若 p 为假命题，则 a 的取值范围是 （ 4，+） 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 利用全称命题的否定是特称命题，判断全称命题是证明题，求解即可 【解答】 解：命题 p： x R， |1 x| |x 5| a，若 p 为假命题，可知全称命题是证明题，即： x R， |1 x| |x 5| a 恒成立，因为， |1 x| |x 5| 4，所以 a 4 则 a 的取值范围是（ 4， +） 第 9 页（共 18 页） 故答案为：（ 4， +） 12 a， b， c 分别是 A， B， C 的对边， 面积为 ，且 ，则 c= 2 或 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知利用三角形面积公式可求 a，利用同角三角函数基本关系式可求 值，利用余弦定理即可解得 c 的值 【解答】 解： ， S = ，解得 a=2 ， 利用余弦定理 c2=a2+2得： c= ， 解得： c=2 或 故答案为： 2 或 （填写一个不给分） 13如图表示的是求首项为 41，公差为 2 的等差数列前 n 项和的最小值的程序框图，如果中填 a=a+2，则 可填写 a 0 【考点】 程序框图 【分析】 由程序设计意图可知， 处应求通项，有 a=a+2，又由此数列首项为负数，公差为正数，求前 n 项和的最小值只需累加至最后一个非正项即可，从而可求 处可填写： a 0 【解答】 解：由程序设计意图可知 ， S 表示此等差数列 n 项和，故 处应该填写 a=a+2， 又因为此数列首项为负数，公差为正数，求前 n 项和的最小值只需累加至最后一个非正项即可，故 处可填写： a 0 故答案为： a 0 14若 x， y 满足不等式组 ，表示平面区域为 D，已知点 O（ 0， 0）， A（ 1，0），点 M 是 D 上的动点， ，则 的最大值为 【考点】 简单线性规划 第 10 页（共 18 页） 【分析】 作出可行域，由题意和数量积的运算可得 = ，数形结合由斜率的意义求出 k= 的最小值可得 【解答】 解：作出不等式组 所对应的可行域 D（如图 由题意可得 =（ 1， 0），设 M（ x， y），则 =（ x， y）， 可化为 x= ， 则 = = = ， 数形结合可知当取区域中的点 M（ ， 1）与原点连线的斜率 k= 取最小值 ， = 取最大值 = ， 故答案为： 15若函数 y=f（ x）的导数 y=f（ x）仍是 x 的函数，就把 y=f（ x）的导数 y=f（ x）叫做函数 y=f（ x）二阶导数，记做 y（ 2） =f（ 2） （ x）同样函数 y=f（ x）的 n 1 阶导数的导数叫做 y=f（ x）的 n 阶导数，表示 y（ n） =f（ n） （ x）在求 y=x+1）的 n 阶导数时，已求得， ，根据以上推理，函数 y=x+1）的第 n 阶导数为 【考点】 导数的运算 【分析】 根据导数的计算和归纳推理即可求出答案 第 11 页（共 18 页） 【解答】 解：求 y=x+1）的 n 阶导数时，已求得， ，根据以上推理，函数 y=x+1）的第 n 阶导数为 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 明过程或演算步骤 16已知函数 （ ）求 f（ x）的最大值； （ ）求 f（ x）的图象在 y 轴右侧第二 个最高点的坐标 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；函数 y=x+）的图象变换 【分析】 （ ）根据三角恒等变换化简 f（ x） = 2x ），从而求出 f（ x）的最大值即可； （ ）根据函数的表达式得到 ，令 k=1，得 ，从而得到满足条件的点的坐标 【解答】 解：（ ）由已知，有 f（ x） =x（ x+ x） = xx = x （ 1+x） + = x x= 2x ）， 所以 f（ x）的最大值为 ； （ ）令 2x = ， 得 ， 令 k=1，得 所以 f（ x） 的图象在 y 轴右侧第二个最高点的坐标是 17如图，三棱锥 A ， 在平面互相垂直，且 D=4， ， ， E， F 分别为 中点 第 12 页（共 18 页） （ ）求证：平面 平面 （ ）求二面角 E C 的正弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面 平面 （ ）建立空间坐标系求出平面的法向量利用向量法即可求二面角 E C 的正弦值或者根据二面角的定义 作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系进行求解 【解答】 （ I）证明 由 ， ， 5， 则 ， 显然， 以 0，即 又平面 平面 面 面 C， 面 所以 平面 又 面 以平面 平面 （ ）（方法一）由 D， F 分别为 中点， 知 ，知 ，知 ， 所以 0，则 20， 如图，以点 B 为坐标原点，以平面 与 直的直线为 x 轴，以 y 轴，以 z 轴建立空间坐标系； 则 B（ 0， 0， 0）， A（ 0， 0， 4）， C（ 0， 4， 0）， E（ 0， 2， 2）， ， ， 所以 ， 显然平面 一个法向量为 =（ 0， 0， 1）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z），由 ， 得其中一个 =（ ， 1， 1）， 设二面角 E C 的大小为 ，则 |， |=| |= ， 第 13 页（共 18 页） 因此 = ，即二面角 E C 的正弦值 为 （方法二） 连接 D， F 分别为 中点，知 如图，在平面 ，过 E 作 足为 G，则 G 是 中点，且 平面 在平面 ，过 G 作 足为 H，连接 由 平面 H=E， 面 所以 平面 以 二面角 E C 的平面角 由 则 中位线，所以 ， 易知 中位线，所以 ， 所以 ， ， 即二面角 E C 的正弦值为 18某架飞机载有 5 位空降兵空降到 A、 B、 C 三个 地点，每位空降兵都要空降到 A、 B、 空降到每一个地点的概率都是 ，用 表示地点 C 空降人数，求： （ ）地点 A 空降 1 人，地点 B、 C 各空降 2 人的概率； （ ）随机变量 的分布列与期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ I）先求出基本事件的总数，再求出 “地点 A 空降 1 人，地点 B、 C 各空降 2 人 ”包含的基本事件个数，由此能求出所求事件的概率 （ 题意知随机变量 B（ 5， ），由此能求出随机变量 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ I）基本事件的总数为 35 个， “地点 A 空降 1 人，地点 B、 C 各空降 2 人 ”包含的基本事件为 ， 所以所求事件的概率为： ； （ 题意知随机变量 B（ 5， ）， 随机变量 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3， 4， 5， P（ =0） = = ， 第 14 页（共 18 页） P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， P（ =4） = = ， P（ =5） = = ， 所以随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 P 根据二项分布得数学期望 19已知数列 前 n 项和 （ ）求数列 通项公式； （ ）设数列 通项 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）利用递推关系即可得出； （ =（ 3n 2） 2n+（ 1） n2n设数列 （ 3n 2） 2n的前 n，利用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出；再利用等比数列的前 【解答】 解：（ I） 数列 前 n 项和 ， 1= =1； 当 n 2 时， n 1= =3n 2，当 n=1 时也成立 n 2 （ =（ 3n 2） 2n+（ 1） n2n 设数列 （ 3n 2） 2n的前 n 项和为 则 +4 22+7 23+（ 3n 2） 2n， 22+4 23+（ 3n 5） 2n+（ 3n 2） 2n+1， 第 15 页（共 18 页） +3（ 22+23+2n）（ 3n 2） 2n+1= 4（ 3n 2） 2n+1=（ 5 3n） 2n+1 10， 3n 5） 2n+1+10 数列 （ 1） n2n的前 n 项和 = = 1（ 2） n 数列 前 n 项和 3n 5） 2n+1+10 1（ 2） n 20在平面直角坐标系 ，椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，直线 y= 截得的线段长为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过原点的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点（ A， B 不是椭圆 C 的顶点）点 D 在椭圆 线 x 轴、 y 轴分别交于 M， N 两点 （ i）设直线 斜率分别为 明存在常数 使得 求出 的值； （ 积的最大值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ ）由椭圆离心率得到 a， b 的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则 a 的值可求，进一步得到 b 的值，则椭圆方程可求； （ ）（ i）设出 A， D 的坐标分别为（ 0），（ 用 A 的坐标表示 B 的坐标，把 斜率都用 A 的坐标表示，写出直线 方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到 纵坐标的和，求出 点坐标，则 率可求，再写出 y=0 得到 M 点坐标，由两点求斜率得到 斜率，由两直线斜率的关系得到 的值； （ 程求出 N 点坐标，结合（ i）中求得的 M 的坐标得到 面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值 【解答】 解：（ ）由题意知， ，则 椭圆 C 的方程可化为 y2= 将 y=x 代入可得 ， 因此 ，解得 a=2 则 b=1 椭圆 C 的方程为 ； （ ）（ i）设 A（ 0）， D（ 则 B（ 第 16 页（共 18 页） 直线 斜率 ， 又 直线 斜率 设 程为 y=kx+m， 由题意知 k 0， m 0 联立 ，得（ 1+44=0 因此 由题意可得 直线 方程为 令 y=0，得 x=3 M（ 30） 可得 ，即 因此存在常数 使得结论成立 （ 线 程为 ， 令 x=0，得 ，即 N（ ） 由（ i）知 M（ 30）， 可得 面积为 S= = 当且仅当 时等号成立 积的最大值为 第 17 页（共 18 页） 21已知函数 f（ x） =x+1） +x（ a R） （ ）当 a=1 时，求 f（ x）的单调区