云南省2016年高考数学一模试卷（文科）含答案解析

云南省 2016 年高考数学一模试卷（文科） （解析版） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 S=1， 2， a， T=2， 3， 4， b，若 ST=1， 2， 3，则 a b=（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 2设 i 是虚数单位，复数 化简是（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 3已知平面向量 =（ x， 1）， =（ 2， 3），如果 ，那么 x=（ ） A B C D 4函数 y=2 的最大值为（ ） A 2 B C 3 D 5若运行如图所示程序框图，则输出结果 S 的值为（ ） A 94 B 86 C 73 D 56 6如图是底面半径为 1，高为 2 的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（ ） A B C 2 D 2 7直线 y=2x+1 与圆 x2+2x+4y=0 的位置关系为（ ） A相交且经过圆心 B相交但不经过圆心 C相切 D相离 8为得到函数 y=2x ）的图象，只需将函数 y=图象（ ） A向左平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位 C向左平移 个长度单位 D向右平移 个长度单位 9在数列 ， ， ， =1，则 ） A B C D 5 10在长为 3m 的线段 任取一点 P，则点 P 与线段两端点 A、 B 的距离都大于 1m 的概率是（ ） A B C D 11设 双曲线 C： 的两个焦点，点 P 在 C 上，且 =0，若抛物线 6x 的准线经过双曲线 C 的一个焦点，则 | | |的值等于（ ） A 2 B 6 C 14 D 16 12已知函数 f（ x）的定义域为实数集 R， ，则 f（ 10） f（ 100）的值为（ ） A 8 B 16 C 55 D 101 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13曲线 f（ x） =2 点（ 0， 2）处的切线方程为 14若 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x+y+2 的最大值为 15已知三棱锥 P 顶点 P、 A、 B、 C 在球 O 的表面上， 边长为 的等边三角形，如果球 O 的表面积为 36，那么 P 到平面 离的最大值为 16 ，内角 A、 B、 C 对的边分别为 a、 b、 c，如果 面积等于 8， a=5， ，那么 = 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17等比数 列 前 n 项和为 a1+a2+6， 28 （ ）求数列 通项公式； （ ）求证： 18某校高二年级共有 1600 名学生，其中男生 960 名， 640 名，该校组织了一次满分为 100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在 80， 100的学生可取得 A 等（优秀），在 60， 80）的学生可取得 B 等（良好），在 40， 60）的学生可取得 C 等（合格），在不到 40 分的学生只能取得 D 等（不合格），为研究这 次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取 100 名学生，将他们的成绩按从低到高分成 30， 40）、 40， 50）、 50， 60）、 60， 70）、 70， 80）、 80， 90）、 90，100七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图 （ ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数； （ ） 请你根据已知条件将下列 2 2 列联表补充完整，并判断是否有 90%的把握认为 “该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关 ”？ 数学成绩优秀 数学成绩不 优秀 合计 男生 a=12 b= 女生 c= d=34 合计 n=100 附： P（ 9如图，在三棱锥 A ， D， E 为 中点 （ ）求证： （ ）设平面 平面 D=2， ，求三棱锥 D 体积 20已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O，离心率等于 ，以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 ，直线 l： y=kx+m 与 y 轴交于点 P，与椭圆 E 交于 A、 （ ） 求椭圆 E 的方程； （ ）若 ，求 取值范围 21已知常数 a 0， f（ x） =x （ 1）当 a= 4 时，求 f（ x）的极值； （ 2）当 f（ x）的最小值不小于 a 时，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， O 相切于 C， O 的弦， D 是 的中点， E 交于 E （ ）求证： （ ）若 ，求 选修 4标系与参数方程 23（ 2016 云南一模）在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）在以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为= （ I）直接写出直线 l、曲线 C 的直角坐标方程； （ 曲线 C 上的点到直线 l 的距离为 d，求 d 的取值范围 选修 4等式选讲 24 =|x 2|+|x+1|+2|x+2| （ ）求证： f（ x） 5； （ ）若对任意实数 都成立，求实数 a 的取值范围 2016 年云南省高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 S=1， 2， a， T=2， 3， 4， b，若 ST=1， 2， 3，则 a b=（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【分析】 由 S， T，以及 S 与 T 的交集确定出 a 与 b 的值，即可求出 a b 的值 【解答】 解： S=1， 2， a， T=2， 3， 4， b，且 ST=1， 2， 3， a=3， b=1， 则 a b=3 1=2， 故选： A 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2设 i 是虚数单位，复数 化简是（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 【分析】 复数的分子、分母同乘复数单位 i，分母实数化，把式子化简到最简形式 【解答】 解：复数 = = =1 i 故选： D 【点评】 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基础题 3已知平面向量 =（ x， 1）， =（ 2， 3），如果 ，那么 x=（ ） A B C D 【分析】 根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出 x 的值 【解答】 解：平面向量 =（ x， 1）， =（ 2， 3），且 ， 3x 1 2=0， 解得 x= 故选： B 【点评】 本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目 4函数 y=2 的最大值为（ ） A 2 B C 3 D 【分析】 使用二倍角公式和两角和的正弦公式化简，根据正弦函数的性质得出最大值 【解答】 解： y=2x+ ） y 的最大值是 故选： B 【点评】 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于基础题 5若运行如图所示程序框图，则输出结果 S 的值为（ ） A 94 B 86 C 73 D 56 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作 用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算 S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案 【解答】 解：模拟执行程序，可得 i=1， S=1 i=2， S=4 不满足条件 i 5， i=3， S=10， 不满足条件 i 5， i=4， S=22， 不满足条件 i 5， i=5， S=46， 不满足条件 i 5， i=6， S=94， 满足条件 i 5，退出循环，输出 S 的值为 94 故选： A 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法 6如图是底面半径为 1，高为 2 的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（ ） A B C 2 D 2 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是半圆锥体与直三棱锥的组合体，求 出该几何体的体积，再求出圆柱的体积，即可求出被削掉的那部分体积 【解答】 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面半径为 1，高为 2 的半圆锥体， 与底面为等腰三角形高为 2 的三棱锥的组合体， 其体积为 12 2+ 2 1 2= ； 又圆柱的体积为 12 2=2， 所以被削掉的那部分的体积为 2 = 故选： B 【点评】 本题考查了由三视图求几何体的体积的应用问题，也考查了三视图与实物图之间的关系问题，解题时应用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表体积的应用问题，是基 础题目 7直线 y=2x+1 与圆 x2+2x+4y=0 的位置关系为（ ） A相交且经过圆心 B相交但不经过圆心 C相切 D相离 【分析】 先求出圆心和半径 r，再求出圆心到直线的距离 d，由 d=r 得直线 y=2x+1 与圆 x2+2x+4y=0 的位置关系为相切 【解答】 解： 圆 x2+2x+4y=0 的圆半径 r= = ，圆心（ 1， 2）， 圆心（ 1， 2）到直线 y=2x+1 的距离 d= = =r， 直线 y=2x+1 与圆 x2+2x+4y=0 的位置关系为相切 故选： C 【点评】 本题考查直线与圆的位置关系的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用 8为得到函数 y=2x ）的图象，只需将函数 y=图象（ ） A向左平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位 C向左平移 个长度单位 D向右平移 个长度单位 【分析】 把函数 y=2x ）变为 y=（ x ） ，然后由 x 得变化得答案 【解答】 解： y=2x ） =（ x ） ， 要得到函数 y=2x ）的图象，只需将函数 y=图象向右平移 个长度单位 故选： B 【点评】 本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，是基础题 9在数列 ， ， ， =1，则 ） A B C D 5 【分析】 ， ， =1，可得： 3= ， 1=2， 2= ， 即可得出 【解答】 解： ， ， =1， ， ， ，可得： 3= ， 1=2 同理可得： 2= ， + = 故选： C 【点评】 本题考查了数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10在长为 3m 的线段 任取一点 P，则点 P 与线段两端点 A、 B 的距离都大于 1m 的概率是（ ） A B C D 【分析】 由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为 3，基本事件的区域长度为 1，代入几何概率公式可求 【解答】 解：设 “长为 3m 的线段 应区间 0， 3 “与线段两端点 A、 B 的距离都大于 1m”为事件 A，则满足 A 的区间为 1， 2 根据几何概率的计算公式可得， 故选： B 【点评】 本题主要考查了几何概型 ，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解 11设 双曲线 C： 的两个焦点，点 P 在 C 上，且 =0，若抛物线 6x 的准线经过双曲线 C 的一个焦点，则 | | |的值等于（ ） A 2 B 6 C 14 D 16 【分析】 求得抛物线的准线方程 x= 4，可得双曲线的 c=4，由向量垂直的条件和勾股定理，可得 14， 由双曲线的定义可得 |2a=6， ，运用平方相减即可得到所求值 【解答】 解：抛物线 6x 的准线为 x= 4， 由题意可得双曲线的一个焦点为（ 4， 0）， 即有 c=4， 由 =0 可得 由勾股定理可得， 14， 由双曲线的定义可得 |2a=6， 2，可得 28， 即有 | | |的值等于 14 故选： C 【点评】 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量垂直的条件以及勾股定理，同时考查抛物线的方程和性质的运用，属于中档题 12已知函数 f（ x）的定义域为实数集 R， ，则 f（ 10） f（ 100）的值为（ ） A 8 B 16 C 55 D 101 【分析】 根据所给解析式凑数计算 f（ 10）和 f（ 100） 【解答】 解： f（ 10） =f（ 100 90） =， f（ 100） =f（ 10 90） =（ 10） =10 f（ 10） f（ 100） =2 10= 8 故选： A 【点评】 本题考查了函数值的计算，属于基础题 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13曲线 f（ x） =2 点（ 0， 2）处的切线方程为 x+y 2=0 【分析】 求得函数的导数，求出切线的斜率，由斜截式方程可得所求切线的方程 【解答】 解： f（ x） =2 导数为 f（ x） =（ 1+x） 可得在点（ 0， 2）处的切线斜率为 k= 1， 即有在点（ 0， 2）处的切线方程为 y= x+2， 即为 x+y 2=0 故答案为： x+y 2=0 【点评】 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，正确求导和运用直线方程是解题的关键 14若 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x+y+2 的最大值为 5 【分析】 先作出约束条件 ，满足的可行域，再求 z=3x+y+2 的最大值 【解答】 解：作出约束条件 ，满足的可行域： O（ 0， 0）， A（ 1， 0）， B（ 0， 1）， z=3x+y+2， 0+0+2=2， 1+0+2=5， 0+1+2=3， z=3x+y+2 的最大值为 5 故答案为： 5 【点评】 本题考查简单的线性规划的应用，是中档题解题时要认真审题，仔细解答 15已知三棱锥 P 顶点 P、 A、 B、 C 在球 O 的表面上， 边长为 的等边三角形，如果球 O 的表面积为 36，那么 P 到平面 离的最大值为 【分析】 求出球心 O 到平面 距离，即可求出 P 到平面 离的最大值 【解答】 解： 边长为 的等边三角形，外接圆的半径为 1， 球 O 的表面积为 36，球的半径为 3， 球心 O 到平面 距离为 =2 ， P 到平面 离的最大值为 故答案为： 【点评】 本题考查 P 到平面 离的最大值，考查勾股定理的运用，考查球的 表面积，属于中档题 16 ，内角 A、 B、 C 对的边分别为 a、 b、 c，如果 面积等于 8， a=5， ，那么 = 【分析】 求出 用三角形的面积公式求出 c 的长度，进一步利用余弦定理求出 b 的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果 【解答】 解： ， ， ， 又 S= =2c=8， c=4， b= = = = 故答案为： 【点评】 本题考查的知识点：三角形的面积公式，余弦定理和正弦定理的应用，等比性质的应用 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17等比数列 前 n 项和为 a1+a2+6， 28 （ ）求数列 通项公式； （ ）求证： 【分析】 （ ）设等比数列 公比为 q， 从而可得 ，从而解方程即可； （ ）由（ ）可得 ，从而写出 ， ，从而证明 【解答】 解：（ ）设等比数列 公比为 q， 由 728 2 26 得 2 故 q 1， 故 ， 解得 ， （ ）证明：由（ ）可得， ； ， ， 【点评】 本题考查了等比数列的性质应用及前 n 项和公式的应用 18某校高二年级共有 1600 名学生，其中男生 960 名， 640 名，该校组织了一次满分为 100分的数学学业水平模 拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在 80， 100的学生可取得 A 等（优秀），在 60， 80）的学生可取得 B 等（良好），在 40， 60）的学生可取得 C 等（合格），在不到 40 分的学生只能取得 D 等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取 100 名学生，将他们的成绩按从低到高分成 30， 40）、 40， 50）、 50， 60）、 60， 70）、 70， 80）、 80， 90）、 90，100七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图 （ ）估计 该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数； （ ） 请你根据已知条件将下列 2 2 列联表补充完整，并判断是否有 90%的把握认为 “该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关 ”？ 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 男生 a=12 b= 女生 c= d=34 合计 n=100 附： P（ 分析】 （ ）利用频率分布直方图中的数据，求出不合格的概率，然后求解不合格的人数 （ ）由列联表中数据，代入公式，求出 值，进而与临界值比较，即可得出结论 【解答】 解：（ ） 抽取的 100 名学生中，本次考试成绩不合格的有 x 人，根据题意得 x=100 1 10 （ 2+=2 （ 2 分） 据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数为（人） （ 4 分） （ ）根据已知条件得 2 2 列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 男生 a=12 b=48 60 女生 c=6 d=34 40 合计 18 82 n=100 （ 10 分） ，所以，没有 90%的把握认为 “该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关 ” （ 12 分） 【点评】 本题考查独立性检验的应用，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识，本题解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，要想知道两个变量 之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断，本题是一个基础题 19如图，在三棱锥 A ， D， E 为 中点 （ ）求证： （ ）设平面 平面 D=2， ，求三棱锥 D 体积 【分析】 （ ）设 中点为 O，连接 明 出 平面 后证明 （ ）利用三棱锥 D C 体积相等，求出 S 后求解三棱锥 C 【解答】 （ ）证明：设 中点为 O，连接 D， C 的中点， （ 3 分） E=O， 平面 面 （ 6 分） （ ）解：由已知得三棱锥 D C 体积相等 （ 7 分） 面 平面 平面 = 由已知可得： S 三棱锥 C 体积 所以，三棱锥 D 体积为 （ 12 分） 【点评】 本题 考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的性质定理的应用，考查转化思想以及计算能力，空间想象能力 20已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O，离心率等于 ，以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 ，直线 l： y=kx+m 与 y 轴交于点 P，与椭圆 E 交于 A、 （ ） 求椭圆 E 的方程； （ ）若 ，求 取值范围 【分析】 （ ）设椭圆 E 的方程为 ，通过离心率 ，以及 a， b，c 的关系，利用以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 ，求出 a， b，即可得到椭圆 E 的方程 （ ） 求出 P（ 0， m），设 A（ m）， B（ m），通过直线与椭圆方程联立，利用 0，推出不等式， 0由 ，得到 ，然后求解 【解答】 解：（ ）根据已知设椭圆 E 的方程为 ，焦距为 2c，由已知得 ， （ 3 分） 以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 ， ， a=2， b=1 椭圆 E 的方程为 （ 6 分） （ ） 根据已知得 P（ 0， m），设 A（ m）， B（ m）， 由 得（ ） 4=0， 由已知得 =44（ ）（ 4） 0， 即 0且 （ 9 分） 由 得 3 ， ，即 4=0当 时， 4=0 不成立 ， 0， ，即 1 4， 所 以 取值范围为（ 1， 4） （ 12 分） 【点评】 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用 21已知常数 a 0， f（ x） =x （ 1）当 a= 4 时，求 f（ x）的极值； （ 2）当 f（ x）的最小值不小于 a 时，求实数 a 的取值范围 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值即可； （ 2）问题转化为 x+a 0，令 g（ x） =x+a， g（ x） = +2，通过讨论 g（ x）的单调性，求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ 1） f（ x）的定义域是（ 0， +）， a= 4 时， f（ x） = 4x， f（ x） =2 = ， 令 f（ x） 0，解得： x 2，令 f（ x） 0，解得： x 2， f（ x）在（ 0， 2）递减，在（ 2， +）递增， f（ x） 极小值 =f（ 2） =4 4 （ 2） f（ x）的最小值不小于 a， 即 x+a 0， 令 g（ x） =x+a， g（ x） = +2， a 0 时， g（ x）在（ 0， +）递增，无最小值，不合题意， a 0 时，令 g（ x） 0，解得： x ，令 g（ x） 0，解得： x ， g（ x）在（ 0， ）递减，在（ ， +）递增， g（ x） 最小值 =g（ ） = ） 0， 解得： 2 a 0 【点评】 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， O 相切于 C， O 的弦， D 是 的中点， E 交于 E （ ）求证： （ ）若 ，求 【分析】 （ ）根据切线的性质、直径所对的圆周角是直角得到角之间的关系，由三角形相似判定定理和性质，证明结论成立； （ ）根据等弧所对的圆周角相等得 直径所对的圆周角、三角形全等判定定理得 到 D， F，根据勾股定理、射影定理求出 割线定理得求出 【解答】 证明：（ ） O 的直径， O 相切于 C，