2016年浙江省宁波市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年浙江省宁波市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1已知集合 A= 1， 0， 1， 2， B=1， x， x，且 B A，则 x=（ ） A 1 B 0 C 2 D 1 2已知等差数列 公差为 2，若 等比数列，则 ） A 4 B 6 C 8 D 10 3已知向量 ， 为非零向量，则 “（ x +y ） （ 2y x ）对任意非零实数 x， y 都成立 ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4已知函数 f（ x） = ，并给出以下命题，其中正确的是（ ） A函数 y=f（ 奇函数，也是周期函数 B函数 y=f（ 偶函数，不是周期函数 C函数 y=f（ 是偶函数，但不是周期函数 D函数 y=f（ 是偶函数，也是周期函数 5下列命题中，正确的是（ ） A若 a， b 是两条直线， ， 是两个平面，且 a， b，则 a， b 是异面直线 B若 a， b 是 两条直线，且 a b，则直线 a 平行于经过直线 b 的所有平面 C若直线 a 与平面 不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行 D若直线 a 平面 ，点 P ，则平面 内经过点 P 且与直线 a 平行的直线有且只有一条 6已知二面角 l 的平面角为 ， ， ， A， B 为垂足， ， ，设 A，B 到二面角的棱 l 的距离分别为 x， y，当 变化时点（ x， y）的轨迹为（ ） A圆弧 B双曲线的一段 C线段 D椭圆的一段 7已知 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对的边，且 a=4， b+c=5， 面积为（ ） A B C D 8已知数列 首项 a1=a，其前 n 项和为 满足 n 1=3n+4（ n 2），若对任意的 n N*， 恒 成立，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 二、填空题（共 7 小题，每小题 6 分 ，满分 36 分） 9已知双曲线 =1（ b 0）的离心率为 则 b= ，若以（ 2， 1）为圆心， r 为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r= 第 2 页（共 18 页） 10记 z=x+，（ k R），其中 x， y 满足 ，若 z 的最大值为 3，则实数 ， z 的最小值为 11下面几个数中： ； 3 ，最大的是 ，最小的是 （请填写对应数的序号） 12如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 （单位： 13已知正数 x， y 满足 1，则 M= + 的最小值为 14已知函数 f（ x） =x2+ax+b（ a， b R），对于任意实数 a，总存在实数 m，当 x m，m+1时，使得 f（ x） 0 恒成立，则 b 的取值范围为 15在平面直角坐标系中，定义 ，（ n N*） 为点 点 （ ， ）的一个变换，我们把它称为点变换，已知 1， 0）， x3， 是经过点变换得到的一无穷点列，则 坐标为 ；设 则满足 a1+1000 的最小正整数 n= 三、解答题（共 5 小题，满分 74 分） 16已知函数 f（ x） =x） x） +x）（ 0）关于点（ ， 1）对称 （ ）若 m=4，求 f（ x）的最小值； （ ）若函数 f（ x）的最小正周期是一个三角形的最大内角的值，又 f（ x） f（ ）对任意实数 x 成立，求函数 f（ x）的解析式，并写出函数 f（ x）的单调递增区间 17已知直角梯形 ， A= ， ， ， E 为 点，将 直线 起到 得 平面 的射影 H 在直线 （ ）求证：平面 平面 （ ）求平面 平面 成的锐二面角的余弦值 第 3 页（共 18 页） 18已知 f（ x） = （ 1）若 a= 8，求当 6 x 5 时， |f（ x） |的最大值； （ ）对于任意实数 3），存在 使得 f（ =f（ 求实数 a 的取值范围 19已知 ， 0）， ， 0）为椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且 积的最大值为 （ ）求椭圆 C 的方程 （ ）若直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点 面积为 1， =s +t （ s， t R），当点 G 在椭圆 C 上运动时，试问 s2+否为定值，若是定值，求出这 个定值，若不是定值，求出 s2+取值范围 20已知在数列 ， ， = （ ）若 t=0，求数列 通项公式； （ ）若 t=1，求证： 第 4 页（共 18 页） 2016 年浙江省宁波市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1已知集合 A= 1， 0， 1， 2， B=1， x， x，且 B A，则 x=（ ） A 1 B 0 C 2 D 1 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 由 A= 1， 0， 1， 2， B A 知 x= 1 或 x=0 或 x=2，从而分类讨论求得 【解答】 解： A= 1， 0， 1， 2， B A， x= 1 或 x=0 或 x=2， 若 x= 1，则 x=2，故成立； 若 x=0，则 x=0，故不成立； 若 x=2，则 x=2，故不成立； 故选： D 2已知等差数列 公差为 2，若 等比数列，则 ） A 4 B 6 C 8 D 10 【考点】 等差数列；等比数列 【分析】 利用已知条件列出关于 d 的方程，求出 入通项公式即可求得 【解答】 解： a4=， a3=， 等比数列， a1 即（ ） 2=（ ）， 解得 8， a2= 6 故选 B 3已知向量 ， 为非零向量，则 “（ x +y ） （ 2y x ）对任意非零实数 x， y 都成立 ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 “（ x +y ） （ 2y x ）对任意非零实数 x， y 都成立 ”，可得：（ x +y ） （ 2y x ） =2 =0， + =0，必然有 =0反之不一定成立 【解答】 解： “（ x +y ） （ 2y x ）对任意非零实数 x， y 都成立 ”， （ x +y ） （ 2y x ） =2 =0， + =0， 第 5 页（共 18 页） 必然有 =0 反之：可得（ x +y ） （ 2y x ） =2 =2 ）=0，不一定成立 因此 “（ x +y ） （ 2y x ）对任意非零实数 x， y 都成立 ”是 “ ”的充分不必要条件 故选： A 4已知函数 f（ x） = ，并给出以下命题，其中正确的是（ ） A函数 y=f（ 奇函数，也是周期函数 B函数 y=f（ 偶函数，不是周期函数 C函数 y=f（ 是偶函数，但不是周期函数 D函数 y=f（ 是偶函数，也是周期函数 【考点】 函数奇偶性的判断；函数的周期性 【分析】 求出 y=f（ 解析式，求出 f x） ，判断 f（ f x） 的关系 ，利用函数周期的定义得出 y=f（ 周期同理判断 y=f（ 的奇偶性和周期性 【解答】 解： f（ x） = ， f（ = 当 0 时， 0， f x） =f（ =1+f（ 当 0 时， 0， f x） =f（ =1 f（ f（ 偶函数， fx+2） =f（ y=f（ 以 2 为周期的函数 同理可得： y=f（ 是偶函数， y=是周期函数， y=f（ 不是周期函数 故选： C 5下列命题中，正确的是（ ） A若 a， b 是两条直线， ， 是两个平面，且 a， b，则 a， b 是异面直线 B若 a， b 是两条直线，且 a b，则直线 a 平行于经过直线 b 的所有平面 C若直线 a 与平面 不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行 D若直线 a 平面 ，点 P ，则平面 内经过点 P 且与直线 a 平行的直线有且只有一条 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 根据命题条件举出反例判断 【解答】 解：对于 A，当 ， a， b 分别为第三个平面 与 ， 的交线时，由面面平行的性质可知 a b，故 A 错误 对于 B，设 a， b 确定的平面为 ，显然 a， b，故 B 错误 对于 C，当 a 时，直线 a 与平面 内的无数条直线都平行，故 C 错误 第 6 页（共 18 页） 对于 D， 直线 a 平面 ， 存在直线 b，使得 a b，过 P 作 c b，则 a c故 D 正确 故选： D 6已知二面角 l 的平面角为 ， ， ， A， B 为垂足， ， ，设 A，B 到二面角的棱 l 的距离分别为 x， y，当 变化时点（ x， y）的轨迹为（ ） A圆弧 B双曲线的一段 C线段 D椭圆的一段 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 利用直角三角形的勾股定理得到（ x， y）满足的方程， x， y 的实际意义得到 x， 据双曲线方 程得到（ x， y）的轨迹 【解答】 解： ， ， A2+ ， ， 4+6+ 即 2 其中 x 0， y 0 故（ x， y）轨迹为双曲线的一段， 故选： B 7已知 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对的边，且 a=4， b+c=5， 面积为（ ） A B C D 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 根据 A+B）利用正切的两角和公式化简整理求得 值，继而求得 C，利用余弦定理 a=4， b+c=5， C=60代入求得 b，最后利用三角形面积公式求得答案 【解答】 解： A+B） = 化简得， 所以 所以 C=60 （ a2+把 a=4， b+c=5， C=60代入 第 7 页（共 18 页） 解得 b= ， 所以 S= 故选 C 8已知数列 首项 a1=a，其前 n 项和为 满足 n 1=3n+4（ n 2），若对任意的 n N*， 恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 【考点】 数列递推式 【分析】 根据条件求出与 有关的关系式，利用条件 恒成立，建立条件，即可得到结论 【解答】 解：由 n 1=3n+4（ n 2），可以得到 +（ n+1） 2+2（ n+1） +4， 两式相减得 +n+5， 故 +=6n+11，两式再相减得 ， 由 n=2 得 a1+a2+0， 0 2a， 故偶数项为以 20 2a 为首项，以 6 为公差的等差数列， 从而 n+14 2a； n=3 得 a1+a2+a3+a1+7， a 3， 从而 =6n 9+2a， 由条件得 ， 解得 a ， 故选： C 二、填空题（共 7 小题，每小题 6 分，满分 36 分） 9已知双曲线 =1（ b 0）的离心率为 则 b= 2 ，若以（ 2， 1）为圆心， 半径 r= 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的 a， c，运用离心率公式计算可得 b=2；再由直线和圆相切的条件： d=r，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求半径 【解答】 解：双曲线 =1（ b 0）的 a=1， c= ， 由题意可得 e= = = ， 第 8 页（共 18 页） 解得 b=2； 由双曲线 =1 可得渐近线方程为 y= 2x， 由以（ 2， 1）为圆心， r 为半径的圆与渐近线 y=2x 相切， 可得 d=r，即 r= = 故答案为： 2， 10记 z=x+，（ k R），其中 x， y 满足 ，若 z 的最大值为 3，则实数 0 ， z 的最小值为 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出可行域，根据 z 的最大值为 3，判断目标函数的斜率得出 k 的值，根据可行域得出最优解的位置，计算 z 的最小值 【解答】 解：作出约束条件的可行域，如图所示： （ 1）若 k=0，则 z=x+1，显然当 x=2 时 z 取得最大值 3，符合题意，此时，当 x=0 时， z 取得最小值 1 （ 2）若 k 0，由 z=x+ 得 y= 若 k 0，则当直线 y= 经过点 B（ 2， 2）时，直线截距最大，即 z 最大 3=2+2k+1，解得 k=0（舍）， 若 k 0，则当 2 即 k 时，直线 y= 经过点 C（ 1， 0）时，直线截距最小，即 z 最大 3=1+0 k+1，无解 第 9 页（共 18 页） 当 2 即 k 0 时，直线 y= 经过点 B（ 2， 2）时，直线截距最小，即 z 最大 3=2+2k+1，解得 k=0（舍） 综上， k=0， z 的最小值为 1 故答案为 0， 1 11下面几个数中： ； 3 ，最大的是 ，最小的是 （请填写对应数的序号） 【考点】 不等式比较大小；对数的运算性质 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性、结合幂的运算法则，即可得出结论 【解答】 解： ，且 ， =45+15） = = ， = ， 3 ， 最大的是 ，最小的是 故答案为： ， 12如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 64 （单位： 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根 据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为 4 的正方体，去掉一个半径为 4 的球体，由此求出它的体积 【解答】 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是棱长为 4 的正方体，去掉一个半径为 4 的 球体， 所以该几何体的体积为 V=43 43=64 第 10 页（共 18 页） 故答案为： 64 13已知正数 x， y 满足 1，则 M= + 的最小值为 2 2 【考点】 基本不等式 【分析】 由条件可得 0 x ，即有 M + =1 =1 ，运用基本不等式即可得到所求最小值 【解答】 解：由正数 x， y 满足 1，可得 0 x ， 则 M= + + = + =1 + =1 =1 1 =1 =2 2 当且仅当 y= ， x= 时，取得最小值 2 2 故答案为： 2 2 14已知函数 f（ x） =x2+ax+b（ a， b R），对于任意实数 a，总存在实数 m，当 x m，m+1时，使得 f（ x） 0 恒成立，则 b 的取值 范围为 b 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 根据题意可知函数与 x 轴有两交点，且两根差的绝对值应不小于 1，可得出（ m n）2 1 恒成立，转换成最值问题求解即可 【解答】 解：设 f（ x） =x2+ax+b=0，有两根 4b x1+ a， b， 对于任意实数 a，总存在实数 m，当 x m， m+1时，使得 f（ x） 0 恒成立， （ 2 1 恒成立， 1 4b， b 15在平面直角坐标系中，定义 ，（ n N*） 为点 点 （ ， ）的一个变换，我们把它称为点变换，已知 1， 0）， 11 页（共 18 页） 是经过点变换得到的一无穷点列，则 坐标为 （ 0， 2） ；设 则满足 a1+1000 的最小正整 数 n= 10 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据条件即可求得点 坐标，从而可以求出向量的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出 ， ， ， 6，从而便可看出数列 以 1 为首项， 2 为公比的等比数列，从而可求出前 n 项和为 2n 1，从而可以得到 2n 1001，这样便可判断出最小正整数 n 的值 【解答】 解：由条件得， 1， 0）， 1， 1）， 0， 2）， 2， 2）， 4， 0）， 4， 4）， 0， 8） ； ，； 数列 首项为 1，公比为 2 的等比数列； ； 由 a1+1000 得， 2n 1 1000； 2n 1001； 29=512， 210=1024； 满足 a1+1000 的最小正整数 n=10 故答案为：（ 0， 2）， 10 三、解答题（共 5 小题，满分 74 分） 16已知函数 f（ x） =x） x） +x）（ 0）关于点（ ， 1）对称 （ ）若 m=4，求 f（ x）的最小值； （ ）若函数 f（ x）的最小正周期是一个三角形的最大内角的值，又 f（ x） f（ ）对任意实数 x 成立，求函数 f（ x）的解析式，并写出函数 f（ x）的单调递增区间 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象 【分析】 （ ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，结合 f（ x）关于点（ ， 1）对称，得 ，即 n=2，且 ，从而求得函数的最小值； 第 12 页（共 18 页） （ ）由 f（ x） f（ ）对任意实数 x 成立，得 ， k Z， k 0，再由t 的范围可得 T 的值，由 ，得 m=2 求得函数解析式，再由复合函数的单调性求得函数 f（ x）的单调递增区间 【解答】 解：（ ） f（ x） =x） x） +x） = = = 其中 ， f（ x）关于点（ ， 1）对称， ， 即 n=2，且 ， m=4， f（ x） = ， ； （ ）由 f（ x） f（ ）对任意实数 x 成立， 则 ， k Z， k 0，其中 T 为函数 f（ x）的最小正周期， 且 ，得 k=0， T= f（ x） = ， 由 ，得 m=2 f（ x） = 由 ，得 f（ x）的单调增区间为 ， k Z 17已知直角梯形 ， A= ， ， ， E 为 点，将 直线 起到 得 平面 的射影 H 在直线 （ ）求证：平面 平面 第 13 页（共 18 页） （ ）求平面 平面 成的锐二面角的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）过 H，推导出 而 平面 此能证明平面 平面 （ ）连结 M， N，推导出 而 平面 平面 面 l，则 二面角 E l 此能求出平面 1成的锐二面角的余弦值 【解答】 证明：（ ）过 H， 由 平面 的射影在直线 ，知 平面 又 1H=H， 平面 面 平面 平面 解：（ ）连结 M， N， 由 1D， 1E， 又 平面 又 平面 平面 面 l， l，从而 l l 二面角 E l B 的平面角， ， ， ， ， = = ， 平面 平面 成的锐二面角的余弦值为 第 14 页（共 18 页） 18已知 f（ x） = （ 1）若 a= 8，求当 6 x 5 时， |f（ x） |的最大值； （ ）对于任意实数 3），存在 使得 f（ =f（ 求实数 a 的取值范围 【考点】 函数的最值及其几何意义；分段函数的应用 【分析】 （ 1）化简 f（ x） = ，从而转化为当 0 x 5 时， |f（ x） |的最大值，从而求得； （ ）分类讨论，从而确定 f（ x）的性质，再根据二次函数的性质判断 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）当 a= 8， f（ x） = ， 当 6 x 0 时，存在 0 t 2，使 f（ x） =f（ t）， 从而只要求当 0 x 5 时， |f（ x） |的最大值， 而 f（ x） =8x+9=（ x 4） 2 7， 7 f（ x） 9； 则 |f（ x） | 9； 故 f（ x） |的最大值为 9； （ ）若 2 时，取 x2=2，则 f（ =f（ 2） =f（ 符合题意； 只要考虑 2 3，存在 使得 f（ =f（ （ 1）当 0，即 a 0 时， f（ x） =x2+ a 在 0， +）上单调递增； 故不存在 f（ =f（ （ 2）当 0 2，即 4 a 0 时， 则只要 f（ 3） f（ 0）， 即 10+2a 1 a， 从而解得， 4 a 3； （ 3）当 2 3，即 6 a 4 时， 取 时，不存在 使 f（ =f（ 第 15 页（共 18 页） （ 4）当 3，即 a 6 时， 取 a 3， 必有 f（ =f（ 符合题意； 综上所述， a 6 或 4 a 3 19已知 ， 0）， ， 0）为椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且 积的最大值为 （ ）求椭圆 C 的方程 （ ）若直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点 面积为 1， =s +t （ s， t R），当点 G 在椭圆 C 上运动时，试问 s2+否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求出 s2+取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】