上海市嘉定区2016年高考数学三模试卷(文科)含答案解析

上海市嘉定区 2016 年高考数学三模试卷（文科） （解析版） 一填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1函数 y= 的定义域是 2已知向量 =（ 2， x+1）， =（ 3， x+2），若 ，则实数 x= 3若函数 f（ x） =2x+）（ 0 ）是 R 上的偶函数，则 = 4设集合 A= 1， 1， 3， B=a+2， ， AB=3，则实数 a= 5已知 （ a， b R），其中 i 为虚数单位，则 a+b= 6一个总体分为 A， B 两层，其个体数之比为 4： 1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本，已知 B 层中甲、乙都被抽到的 概率为 ，则总体中的个体数是 7当 x、 y 满足不等式组 时，目标函数 k=3x 2y 的最大值为 8某棱锥的表面展开图是如图所示的一个边长为 4 的正方形和四个正三角形，则该棱锥的体积等于 9若对任意 x 0， a 恒成立，则 a 的取值范围是 10已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f（ x） =x f（ m） +f（ m 2） 0，则实数 m 的取值范围是 11已知直线 n+1（ n=1， 2， ）与 x 轴、 y 轴的交点分别为 O 为坐标原点，设 面积为 n=1， 2， ），则 = 12已知 递增的等比数列，且 a2+ 1，那么首项 取值范围是 13小李同学在研究长方体时发现空间有一 条直线与长方体的所有棱所在直线所成的角都相等，那么这个角的大小是 （结果用反三角函数值表示） 14在数列 ， ， +（ 1） ，则数列 前 100 项之和为 二选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得 5 分，否则一律得零分 15在 ， “ ”是 “ 钝角三角形 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 16某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是边长为 2 的正方形，俯视图中的曲线是半径为 2 的 圆弧，则该几何体的体积为（ ） A 6 B 8 C 6 2 D 8 2 17过坐标原点 O 作单位圆 x2+ 的两条互相垂直的半径 在该圆上存在一点 C，使得 =a +b （ a、 b R），则以下说法正确的是（ ） A点 P（ a， b）一定在单位圆内 B点 P（ a， b）一定在单位圆上 C点 P（ a， b）一定在单位圆外 D当且仅当 时，点 P（ a， b）在单位圆上 18（上海春卷 18）已知函数 f（ x） = 的图象关于点 P 对称，则点 P 的坐标是（ ） A B C D 本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为 2，且在这个圆锥中有一个高为 x 的圆柱 （ 1）用 x 表示此圆柱的侧面积表达式； （ 2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积 20如图，在直角坐标系 ，角 的顶点是原点，始边与 x 轴正半轴重合， 终边交单位圆于点 A，且 将角 的终边按逆时针方向旋转 ，交单位圆于点 B记A（ B（ （ ）若 ，求 （ ）分别过 A， B 作 x 轴的垂线，垂足依次为 C， D记 面积为 面积为 角 的值 21如图所示，在直角坐标系 ，点 P（ 1 ）到抛物线 C： p 0）的准线的距离为 ，点 M（ t， 1）（ t 0）是 C 上的定点， A、 B 是 C 上的两个动点，且线段 （ m， n）在线段 （ 1）抛物线 C 的方程及 t 的值； （ 2）当点 A、 B 分别在第一、四象限时，求 取值范围 22设数列 前 n 项和为 于任意的 n N*，都有 3n（ n N*） （ 1）求数列 首项 数列的递推关系式 =f（ （ 2）若数列 an+c成等比数列，求常数 c 的值，并求数列 通项公式； （ 3）数列 是否存在三项 s p r），它们组成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 23已知 f（ x）是定义在 R 上的函数，满足 f（ x+1） = （ 1）证明： 2 是函数 f（ x）的周期； （ 2）当 x 0， 1）时， f（ x） =x，求 f（ x）在 x 1， 0）时的解析式，并写出 f（ x）在 x 2k 1， 2k+1）（ k Z）时的解析式； （ 3）对于（ 2）中的函数 f（ x），若关于 x 的方程 f（ x） =好有 20 个解，求实数 a 的取值范围 2016 年上海市嘉定区高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1函数 y= 的定义域是 （ 1， 2） 【分析】 根据二次根式以及对数函数的性质得到关于 x 的不等式组，解出即可 【解答】 解：由题意得： ，解得： 1 x 2， 函数的定义域是（ 1， 2）， 故答案为：（ 1， 2） 【点评】 本题考查了二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题 2已知向量 =（ 2， x+1）， =（ 3， x+2），若 ，则实数 x= 4 或 1 【分析】 由向量垂直的条件：数量积为 0，结合数量积的坐标表示，解方程可得 x 的值 【解答】 解：向量 =（ 2， x+1）， =（ 3， x+2）， 若 ，则 =0， 即有 2 3+（ x+1）（ x+2） =0， 化为 x 4=0， 解得 x= 4 或 1 故答案为： 4 或 1 【点评】 本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，主要是垂直的条件：数量积为 0，考查运算能力，属于基础题 3若函数 f（ x） =2x+）（ 0 ）是 R 上的偶函数，则 = 【分析】 根据正弦函数的奇偶性以及它的图象的对称性，得出结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x+）（ 0 ）是 R 上的偶函数， f（ x） =f（ x），即 2x） =+2x）， 故 f（ x）的最值，则 = ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查正弦函数的奇偶性以及它的图象的对称性，属于基础题 4设集合 A= 1， 1， 3， B=a+2， ， AB=3，则实数 a= 1 【分析】 根据交集的概念，知道元素 3 在集合 B 中，进而求 a 即可 【 解答】 解： AB=3 3 B，又 3 a+2=3 即 a=1 故答案为 1 【点评】 本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型 5已知 （ a， b R），其中 i 为虚数单位，则 a+b= 1 【分析】 先对等式化简，然后根据复数相等的充要条件可得关于 a， b 的方程组，解出可得 【解答】 解： ，即 =2 ai=b+i， 由复数相等的条件， 得 ，解得 ， a+b=1， 故答案为： 1 【点评】 本题考查复数相等的充要条件，属基础题，正确理解复数相等的条件是解题关键 6一个总体分为 A， B 两层，其个体数之比为 4： 1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本，已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为 ，则总体中的个体数是 40 【分析】 设出 B 层中的个体数，根据条件中所给的 B 层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于 ，算出 n 的值，由已知 A 和 B 之间的比值，得到总体中的个体数 【解答】 解：设 B 层中有 n 个个体， B 层中甲、乙都被抽到的概率为 ， = ， n 56=0， n= 7（ 舍去）， n=8， 总体分为 A， B 两层，其个体数之比为 4： 1 共有个体（ 4+1） 8=40 故答案为： 40 【点评】 本题是分层抽样的相关知识容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过 7当 x、 y 满足不等式组 时，目标函数 k=3x 2y 的最大值为 6 【分析】 作出可行域，将目标函数变形，作出直线 ，将直线平 移至（ 4， 3）时，纵截距最小， k 最大，将（ 4， 3）代入 k 求出其最大值 【解答】 解：作出可行域将目标函数 k=3x 2y 变形为 y= 作出直线 y= ，将其平移至（ 4， 3）时纵截距最小， k 最大 所以 k 的最大值为 3 4 2 3=6 故答案为： 6 【点评】 本题考查画不等式组表示的平面区域，利用可行域求出目标函数的最值 8某棱锥的表面展开图是如图 所示的一个边长为 4 的正方形和四个正三角形，则该棱锥的体积等于 【分析】 根据表面展开图可知棱锥的所有棱长均为 4，做出棱锥的高 用勾股定理计算 可得出棱锥的体积 【解答】 解：由棱锥的表面展开图可知棱锥为正四棱锥 P 面边长与侧棱长均为4， 做棱锥的高 O 为底面正方形的中心， =2 = = 故答案为： 【点评】 本题考查了棱锥的结构特征，体积计算，属于中档题 9若对任意 x 0， a 恒成立，则 a 的取值范围是 a 【分析】 根据 x+ 2 代入 中求得 的最大值为 进而 a 的范围可得 【解答】 解： x 0， x+ 2（当且仅当 x=1 时取等号）， = = ，即 的最大值为 ， 故答案为： a 【点评】 本题主要考查了基本不等式在最值 问题中的应用属基础题 10已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f（ x） =x f（ m） +f（ m 2） 0，则实数 m 的取值范围是 （ 1， +） 【分析】 函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f（ x） =x 得出函数在R 上是增函数，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可 【解答】 解：函数 f（ x）当 x 0 时， f（ x） =x 二次函数的性质知，它在（ ， 0）上是增函数， 又函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数， 故函数 f（ x）是定义在 R 上的增函数， f（ m） +f（ m 2） 0，可得 f（ m） f（ m 2） =f（ 2 m） m 2 m，解得： 1 m， 实数 m 的取值范围是（ 1， +） 故答案为：（ 1， +） 【点评】 本题考查奇偶性与单调性的综合，求解本题关键是根据函数的奇偶性与单调性得出函数在 R 上的单调性，利用单调性将不等式 f（ m） +f（ m 2） 0 转化为代数不等式，求出实数 m 的取值范围，本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型 11已知直线 n+1（ n=1， 2， ）与 x 轴、 y 轴的交点分别为 O 为坐标原点，设 面积为 n=1， 2， ），则 = 4 【分析】 由直线 n+1 求出与 x 轴、 y 轴的交点，进一步求出三角形的面积，然后再由极限运算得答案 【解答】 解：直线 n+1（ n=1， 2， ）与 x 轴、 y 轴的交点分别为 ），）， O 为坐标原点， 面积为 ， 则 = 故答案为： 4 【点评】 本题考查了直线的截距式方程以及三角形面积的求法，考查了极限及其运算，是基础题 12已知 递增的等比数列，且 a2+ 1，那么首项 取值范围是 【分析】 由已知得 ， q 0， q 1） 0，由此能求出 取值范围 【解答】 解： 递增的等比数列，且 a2+ 1， q 0，且 = 1， ， 递增的等比数列， q 1） 0， 同理， q 1） 0， q 0， q 1） 0， 当 0 时，有 q 1，由 0，得： q（ 1+q） 0，得： 1 q 0，矛盾，舍去； 当 0 时，有 0 q 1，由 0，得： q（ 1+q） 0，得： 0 q 1 符合 故当 0 q 1 时， t=q+调增，取值为（ 0， 2）， ， 取值范围为（ ， ） 故答案为： 【点评】 本题考查等 比数列的首项的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用 13小李同学在研究长方体时发现空间有一条直线与长方体的所有棱所在直线所成的角都相等，那么这个角的大小是 （结果用反三角函数值表示） 【分析】 摆脱长方体的限制看这题，构造一个正方体，可以得到正方体的对角线与正方体的所有棱所在直线所成的角都相等，其余弦值为 ，可得这个角的大小 【解答】 解：摆脱长方体的限制看这题，构造一个正方体，可以得到正方体的对角线与正方体的所有棱所在直线所成的角都相等，其余弦值为 ，所以这个角的大小是 故答案为： 【点评】 本题考查空间直线所成角大小的求解，考查学生的计算能力，摆脱长方体的限制看这题，构造一个正方体是关键 14在数列 ， ， +（ 1） ，则数列 前 100 项之和为 1300 【分析】 ， +（ 1） ，对 n 分类讨论可得： +， 1=1， kN*利用分组求和、等差数列的求和公式即可得出 【解答】 解： ， +（ 1） ， n=2k 为偶数时， +； n=2k 1 为奇数时， 1=1， k N* 数列 奇数项成等差数列，公差为 1，首项为 1 数列 前 100 项之和 =（ a1+（ a2+（ =50 1+ 1+25 =1300 故答案为： 1300 【点评】 本题考查了分组求和、等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得 5 分，否则一律得零分 15在 ， “ ”是 “ 钝 角三角形 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】 利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形 为钝角三角形，可得 B 不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件 【解答】 解： ，即 | | |0， 0，且 （ 0， ）， 所以两个向量的夹角 为锐角， 又两个向量的夹角 为三角形的内角 B 的补角， 所以 B 为钝角，所以 钝角三角形， 反过来， 钝角三角形，不一定 B 为钝角， 则 “ ”是 “ 钝角三角形 ”的充分条件不必要条件 故选 A 【点评】 此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，以及充分必要条件的证明，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键 16某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是边长为 2 的正方形，俯视图中的曲线是半径为 2 的 圆弧，则该几何体的体积为（ ） A 6 B 8 C 6 2 D 8 2 【分析】 由三视图知该几何体一个正方体挖去 圆柱所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是 一个正方体挖去 圆柱所得的组合体， 正方体的棱长是 2，圆柱底面圆的半径是 2、母线长是 2， 几何体的体积 V= =8 2， 故选： D 【点评】 本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力 17过坐标原点 O 作单位圆 x2+ 的两条互相垂直的半径 在该圆上存在一点 C，使得 =a +b （ a、 b R），则以下说法正确的是（ ） A点 P（ a， b）一定在单位圆内 B点 P（ a， b）一定在单位圆上 C点 P（ a， b）一定在单位圆外 D当且仅当 时，点 P（ a， b）在单位圆上 【分析】 根据点 P 到圆心 O 的距离判断点 P 与圆的位置关系 【解答】 解：易知 | |= ， | |= =1 | |= =1 又圆的半为 1 点 P 一定在单位圆上 故选： B 【点评】 本题主要考察了向量的求模运算，以及点与圆的位置关系的判断，属于中档题 18（上海春卷 18）已知函数 f（ x） = 的图象关于点 P 对称，则点 P 的坐标是（ ） A B C D，任意给点 M（ x， y）关于 P（ m， n）的对称点为 N（ 2m x， 2n y）， 由 ， 联立方程组 ： ， 解这个方程组得到 ， 故选 C 【点评】 巧妙运用对称性质，合理借助中点坐标公式是求解对称问题的重要方法 三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为 2，且在这个圆锥中有一个高为 x 的圆柱 （ 1）用 x 表示此圆柱的侧面积表达式； （ 2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积 【分析】 （ 1）设圆柱的底面半径为 r，根据相似比求出 r 与 x 的关系，代入侧面积公式即可； （ 2）利用二次函数的性质求出侧面积最大时 x 的值，代入体积公式即可 【解答】 解：（ 1）设圆柱的半径为 r，则 ， r=2 x， 0 x 2 S 圆柱侧 =2（ 2 x） x= 2x ， 当 x=1 时， S 圆柱侧 取最大值 2， 此时， r=1，所以 【点评】 本题考查了旋转体的结构特征，体积计算，属于基础题 20如图，在直角坐标系 ，角 的顶点是原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点 A，且 将角 的终边按逆时针方向旋转 ，交单位圆于点 B记A（ B（ （ ）若 ，求 （ ）分别过 A， B 作 x 轴 的垂线，垂足依次为 C， D记 面积为 面积为 角 的值 【分析】 （ ）由三角函数定义，得 x1=，由此利用同角三角函数的基本关系求得 根据 ，利用两角和的余弦公式求得结果 （ ）依题意得 y1=，分别求得 解析式，再由 ，根据 的范围，求得 的值 【解答】 （ ）解：由三角函数定义，得 x1= 因为 ， ，所以 所以 （ ）解：依题意得 y1= 所以， 依题意 ，即 2= 整理得 因为 ，所以 ，所以 ，即 【点评】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题 21如图所示，在直角坐标系 ，点 P（ 1 ）到抛物线 C： p 0）的准线的距离为 ，点 M（ t， 1）（ t 0）是 C 上的定点， A、 B 是 C 上的两个动点，且线段 （ m， n）在线段 （ 1）抛物线 C 的方程及 t 的值； （ 2）当点 A、 B 分别在第一、四象限时，求 取值范围 【分析】 （ 1）求得抛物线的准线方程，由题意可得 1+ = ，解得 p，可得抛物线的方程；代入 M 的坐标，可得 t 的值； （ 2）求得 Q 的坐标，设出直线 方程，代入抛物线的方程，消去 x，可得 y 的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得 m 的范围，运用直线的斜率公式，化简整理配方，由二次函数的值域可得所求范围 【解答】 解：（ 1）抛物线 C： p 0）的准线是 ， 所以 ，解得 ， 所以抛物线 C 的方程为 y2=x 又点 M（ t， 1）（ t 0）在曲线上，所以 t=1 （ 2）由（ 1）知， M（ 1， 1）， 可得直线 方程为 y=x，故 m=n， 即点 Q（ m， m） 由题意，直线 斜率存在且不为 0， 设直线 方程为 y m=k（ x m）， 由 消去 x， 得 y+m ，设 A（ B（ 则 ， ， 由线段 中点为 Q， 可得 y1+m，所以 ， m 0， 由 ，得 ， 所以 ， 因为 ，所以 2m 的取值范围是 ， 故 取值范围是（ ， 8 【点评】 本题考查抛物线的方程的求法，注意读懂直线的距离公式，考查直线的斜率的乘积的范围，注意联立直线和抛物线的方程，运用韦达定理，以及中点坐标公式和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题 22设数列 前 n 项和为 于任意的 n N*，都有 3n（ n N*） （ 1）求数列 首项 数列的递推关系式 =f（ （ 2）若数列 an+c成等比数列，求常数 c 的值，并求数列 通项公式； （ 3）数列 是否存在三项 s p r），它们组成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 【分析】 （ 1）由递推公式 an=1（ n 2）， a1=解 （ 2）利用递推公式可得 an=1，利用等比数列的定义可求 c （ 3）假设存在 等差数列，则 2ap=as+合（ 1）中的通项公式进行推理 【解答】 解：（ 1）令 n=1，则 1=23，所以 （ 1 分） 由 3n，得 =2 3（ n+1） ， （ 2 分） 式减 式，得 =2 23， （ 3 分） 故数列的递推关系式为 =2 （ 4 分） （ 2）由（ 1）知， =2，则 ， （ 1 分） 由题意 +c=q（ an+c），故当 q=2，且 时，数列 an+c是等比数列， 所以当 c=3 时，数列 an+c成等比数列 （ 3 分） 此时， 故 ，即 ， n N* （ 5 分） 综上， c=3， 通项公式为 ， n N* （ 6 分） （ 3）假设 s p r）成等差数列，则 2ap=as+（ 1 分） 即 2（ 32p 3） =（ 32s 3） +（ 32r 3），所以 2p+1=2s+2r， （ 2 分） 从而， 2p s+1=1+2r s， （ 4 分） 因为 s， p， r N*且 s p r，故 2p s+1 为偶数，而 1+2r s 为奇数 所以， 2p s+1=1+2r s 不可能成立，即不存在满足条件的三项 （ 6 分） 【点