浙江省宁波市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 M=0， 1， 2， 3， 4， N=x|1 x+2） 2，则 MN=（ ） A 1 B 2， 3 C 0， 1 D 2， 3， 4 2已知 a R，则 “|a 1|+|a| 1”是 “函数 y= R 上为减函数 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已 知向量 =（ 2， 3）， =（ 1， 2），若 2 与非零向量 m +n 共线，则 等于（ ） A 2 B 2 C D 4如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ） A 84 B C D 5已知平面 与平面 交于直线 l，且直线 a，直线 b，则下列命题错误的是（ ） A 若 ， a b，且 b 与 l 不垂直，则 a l B若 ， b l，则 a b C若 a b， b l，且 a 与 l 不平行，则 D若 a l， b l，则 6已知函数 f（ x） =2x+），其中 为实数，若 f（ x） |f（ ） |对 x R 恒成立，且 f（ ） f（ ），则 f（ x）的单调递增区间是（ ） A ， （ k Z） B （ k Z） C ， （ k Z） D ， k Z） 7已知实数列 等比数列，若 8，则 + + （ ） A有最大值 B有最小值 C有最大值 D有最小值 第 2 页（共 19 页） 8已知 别是双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，其离心率为 e，点 B 的坐标为（ 0， b），直线 双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P、 Q 两点，线段 x 轴，直线 交点分别为 M， R，若 面积之比为 e，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C 2 D 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分 ，单空题每题 4 分，共 36 分 9已知 m， n，则 n= ，用 m， n 表示 10已知抛物线 y 的焦点 F 的坐标为 ，若 M 是抛物线上一点， |4，O 为坐标原点，则 11若函数 f（ x） = 为奇函数，则 a= ， f（ g（ 2）= 12对于定义在 R 上的函数 f（ x），如果存在实数 a，使得 f（ a+x） f（ a x） =1 对任意实数 x R 恒成立，则称 f（ x）为关于 a 的 “倒函数 ”已知定义在 R 上的函数 f（ x）是关于 0和 1 的 “倒函数 ”，且当 x 0， 1时， f（ x）的取值范围为 1， 2，则当 x 1， 2时， f（ x）的取值范围为 ，当 x 2016， 2016时， f（ x）的取值范围为 13已知关于 x 的方程 x2+b 2=0（ a， b R）有两个相异实根，若其中一根在区间（ 0，1）内，另一根在区间（ 1， 2）内，则 的取值范围是 14若正数 x， y 满足 y2+x+2y=1，则 最大值为 15在 ， 0， 0，将直线 转得到 线 转得到 在所有旋转过程中，直线 直线 成角的取值范围为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16在 ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且 a=2， 2 （ ）若满足条件的 且只有一个，求 b 的取值范围； （ ）当 周长取最大值时，求 b 的值 第 3 页（共 19 页） 17如图，在多面体 ， 为直角梯形， ，平行四边形，平面 平面 （ ）求证： 平面 （ ）若 等边三角形，且 平面 成角的正切值为 ，求二面角 AC 的平面角的余弦值 18已知函数 f（ x） =1 （ 1）对于任意的 1 x 2，不等式 4m2|f（ x） |+4f（ m） |f（ x 1） |恒成立，求实数 （ 2）若对任意实数 1， 2存在实数 1， 2，使得 f（ =|2f（ 立，求实数 a 的取值范围 19已知 椭圆 的左、右焦点， 以 为圆心， 1 为半径的圆 ，且 |2a （ ）求椭圆 方程； （ ）过点 P（ 0， 1）的直线 椭圆 A， B 两点，过 P 与 直的直线 圆 ， D 两点， M 为线段 点，求 积的取值范围 20对任意正整数 n，设 方程 =1 的正根求证： （ 1） （ 2） + + 1+ + + 第 4 页（共 19 页） 2015年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 M=0， 1， 2， 3， 4， N=x|1 x+2） 2，则 MN=（ ） A 1 B 2， 3 C 0， 1 D 2， 3， 4 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 N 中不等式的解集确定出 N，找出 M 与 N 的交集即可 【解答】 解：由 N 中不等式变形得： x+2） 2= 2 x+2 4， 解得： 0 x 2，即 N=（ 0， 2）， M=0， 1， 2， 3， 4， MN=1， 故选： A 2已知 a R，则 “|a 1|+|a| 1”是 “函数 y= R 上为减函数 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 先求出不等式 |a 1|+|a| 1 的解集，结合指数函数的性质判断充分必要性即可 【解答】 解： a 0 时： |a 1|+|a|=1 a a 1，解得： a 0，无解， 0 a 1 时： |a 1|+|a|=1 a+1=1 ，成立， a 1 时： |a 1|+|a|=2a 1 1，解得： a 1，无解， 故不等式的解集是 a 0， 1， 若函数 y= R 上为减函数，则 a （ 0， 1）， 故 “|a 1|+|a| 1”是 “函数 y= R 上为减函数 ”的必要不充分条件 3已知向量 =（ 2， 3）， =（ 1， 2），若 2 与非零向量 m +n 共线，则 等于（ ） A 2 B 2 C D 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 先求出 2 和 m +n ，再由向量共线的性质求解 【解答】 解： 向量 =（ 2， 3）， =（ 1， 2）， 2 =（ 2， 3）（ 2， 4） =（ 4， 1）， m +n =（ 2m n， 3m+2n）， 2 与非零向量 m +n 共线， ， 第 5 页（共 19 页） 解得 14m= 7n， = 故选： C 4如图是一个几 何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ） A 84 B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为 4 【解答】 由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为 4 所以五棱柱的表面积为（ 4 4 ） 2+（ 4+4+2+2+2 ） 4=76+48 故选 B 5已知平面 与平面 交于直线 l，且直线 a，直线 b，则下列命题错误的是（ ） A若 ， a b，且 b 与 l 不垂直，则 a l B若 ， b l，则 a b C若 a b， b l，且 a 与 l 不平行，则 D若 a l， b l，则 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 根据空间直线和平面平行或垂直以及平面和平面平行或者垂直的性质和判定定理进行判断即可 【解答】 解： A若 ， a b，且 b 与 l 不垂直，则 a l，正确 B若 ， b l，则 b ， a， a b，正确 C a 与 l 不平行， a 与 l 相交， a b， b l， b ，则 正确 D若 a l， b l，不能得出 ，因为不满足面面垂直的条件，故 D 错误， 故选： D 6已知函数 f（ x） =2x+），其中 为实数，若 f（ x） |f（ ） |对 x R 恒成立，且 f（ ） f（ ），则 f（ x）的单调递增区间是（ ） A ， （ k Z） B （ k Z） C ， （ k Z） D ， k Z） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 第 6 页（共 19 页） 【分析】 由若 对 x R 恒成立，结合函数最值的定义，我们易得 f（ ）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角 的值，结合，易求出满足条件的具体的 值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答 案 【解答】 解：若 对 x R 恒成立， 则 f（ ）等于函数的最大值或最小值 即 2 +=， k Z 则 =， k Z 又 即 0 令 k= 1，此时 = ，满足条件 令 2x 2， 2， k Z 解得 x 故选 C 7已知实数列 等比数列，若 8，则 + + （ ） A有最大值 B有最小值 C有最大值 D有最小值 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 先求出 2，再由 + + =1+ + ，利用均值定理能求出+ + 有最小值 【解答】 解： 数列 等比数列， 8， ， 解得 2， + + = + + =1+ + 1+2 =1+2=1+2 = ， 第 7 页（共 19 页） + + 有最小值 故选： D 8已知 别是双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，其离心率为 e，点 B 的坐标为（ 0， b），直线 双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P、 Q 两点，线段 x 轴，直线 交点分别为 M， R，若 面积之比为 e，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 分别求出 P， Q， M 的坐标，利用 面积之比为 e，|2c，可得 3c=，即可得出结论 【解答】 解：由题意， |b， |O c ， 直线 ： y= （ x+c），与 y= x联立得： Q（ ， ）； 与 y= x联立得： P（ ， ） 中点为 （ ， ）， 直线 ： y = （ x ）， 令 y=0 得： ， 又 面积之比为 e， |2c， 3c=， 解之得： ， e= 故选： A 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 9已知 m， n，则 n= 12 ，用 m， n 表示 【考点】 对数的运算性质 【分析】 利用指数、对数的性质、运算法则和换底公式求解 第 8 页（共 19 页） 【解答】 解： m， n， ， ， n=（ 2 2 3=12， = = 故答案为： 12， 10已知抛物线 y 的焦点 F 的坐标为 （ 0， 1） ，若 M 是抛物线上一点， |4，O 为坐标原点，则 或 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线的方程与定义，即可得出结论 【解答】 解：抛物线 y 的焦点在 y 轴上，且 p=1，焦点坐标为（ 0， 1）； M 是抛物线上一点， |4， M（ 2 ， 3）， M（ 2 ， 3）， = ， M（ 2 ， 3）， = ， 故答案为：（ 0， 1）， 或 11若函数 f（ x） = 为奇函数，则 a= 0 ， f（ g（ 2） = 25 【考点】 函数奇偶性的性质；函数的值 【分析】 利用分段函数，结合函数的奇偶性，即可得出结论 【解答】 解：由题意， a=f（ 0） =0 设 x 0，则 x 0， f（ x） =2x+1= f（ x）， g（ 2x） = x 1， g（ 2） = 4， f（ g（ 2） =f（ 4） = 16 8 1= 25 故答案为： 0， 25 12对于定义在 R 上 的函数 f（ x），如果存在实数 a，使得 f（ a+x） f（ a x） =1 对任意实数 x R 恒成立，则称 f（ x）为关于 a 的 “倒函数 ”已知定义在 R 上的函数 f（ x）是关于 0和 1 的 “倒函数 ”，且当 x 0， 1时， f（ x）的取值范围为 1， 2，则当 x 1， 2时， f（ x）的取值范围为 ， 1 ，当 x 2016， 2016时， f（ x）的取值范围为 ， 2 【考点】 抽象函数及其应用 【分析】 根据 “倒函数 ”的定义，建立两个方程关系，根据方程关系判断函数的周期性，利用函数的周期性和函数的关系进行求解即可得到结论 第 9 页（共 19 页） 【解答】 解：若函数 f（ x）是关于 0 和 1 的 “倒函数 ”， 则 f（ x） f（ x） =1，则 f（ x） 0， 且 f（ 1+x） f（ 1 x） =1， 即 f（ 2+x） f（ x） =1， 即 f（ 2+x） f（ x） =1=f（ x） f（ x）， 则 f（ 2+x） =f（ x）， 即函数 f（ x）是周期为 2 的周期函数， 若 x 0， 1，则 x 1， 0， 2 x 1， 2，此时 1 f（ x） 2 f（ x） f（ x） =1， f（ x） = ， 1， f（ x） =f（ 2 x） ， 1， 当 x 1， 2时， f（ x） ， 1 即一个周期内当 x 0， 2时， f（ x） ， 2 当 x 2016， 2016时， f（ x） ， 2 故答案为： ， 1， ， 2 13已知关于 x 的方程 x2+b 2=0（ a， b R）有两个相异实根，若其中一根在区间（ 0，1）内，另一根在区间（ 1， 2）内，则 的取值范围是 【考点】 一元二次方程的根的分布与系数 的关系 【分析】 由题意知 ，从而转化为线性规划问题求解即可 【解答】 解：令 f（ x） =x2+b 2， 由题意知， ， 作其表示的平面区域如下， 第 10 页（共 19 页） ， 的几何意义是点 A（ 1， 4）与阴影内的点的连线的斜率， 直线 m 过点 B（ 3， 2），故 = ； 直线 l 过点 C（ 1， 1），故 = ； 结合图象可知， 的取值范围是 ； 故答案为： 14若正数 x， y 满足 y2+x+2y=1，则 最大值为 【考点】 基本不等式 【分析】 由题意和基本不等式可得 1= 2y） 2+x+2y 2x2y+2 ，解关于 的一元二次不等式可得 【解答】 解： 正数 x， y 满足 y2+x+2y=1， 1=y2+x+2y= 2y） 2+x+2y 2x2y+2 ， 当且仅当 x=2y 时取等号 变形可得 2（ ） 2+2 1 0， 解得 ， 结合 0 可得 0 ， 平方可得 2（ ） 2= ， 第 11 页（共 19 页） ，即 最大值为 ， 故答案为： 15在 ， 0， 0，将直线 转得到 线 转得到 在所有旋转过程中，直线 直线 成角的取值范围为 10，50 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 平移 A 处，由已知得 0， 50， 0 20，由此能求出直线 直线 成角的取值范围 【解答】 解： 在 ， 0， 0， 将直线 转得到 线 转得到 如图，平移 A 处， 转， 0， 50， 转， 0 2 0 20， 设直线 直线 成角为 ， 则 130 150， 150 170， 10 50或 130 170（舍） 故答案为： 10， 50 第 12 页（共 19 页） 三、解答题：本大题共 5 小题 ，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16在 ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且 a=2， 2 （ ）若满足条件的 且只有一个，求 b 的取值范围； （ ）当 周长取最大值时，求 b 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ ）由条件利用三角恒等变换求得 值，结合满足条件的 a= a b，由此求得 b 的范围 （ ） 周长为 a+b+c，利用余弦定理、基本不等式求得周长 2+b+c 最大值为 2+2 ，此时， b= =c 【解答】 解：（ ） ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且 a=2， 2， 2 +，即 2 +， ， 平方可得 ， = ， 求得 ， （ ， ），结合满足条件的 且只有一个， A （ ，） 且 a= 2= b，即 b= ；或 a b，即 0 b 2，综上可得， b （ 0， 2） （ ）由于 周长为 a+b+c， 由余弦定理可得 22=b2+2=（ b+c） 2 （ b+c） 2 = （ b+c）2， b+c =2 ，当且仅当 b=等号，此时，三角形的周长为 2+b+2 ， 故此时 b= 17如图，在多面体 ， 为直角梯形， ，平行四边形，平面 平面 （ ）求证： 平面 第 13 页（共 19 页） （ ）若 等边三角形，且 平面 成角的正切值为 ，求二面角 AC 的平面角的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）推导出 平面 而 平面 而 此能证明 平面 （ ）法 1：过 C 作 H， K，推导出 C E 的平面角，由此能求出二面角 A C 的平面角的余弦值 （ ）法 2：以 C 为原点， 在直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系不妨设 ，利用向量法能求出二面角 A C 的平面角的余弦值 【解答】 证明：（ ）因为 ，所以 平面 又 以 平面 而有 所以 平面 而 又 以 又平面 平面 以 平面 解：（ ）解法 1：过 C 作 H， K， 因为 平面 以 而 平面 所以 而 平面 以 C E 的平面角，与 A C 的平面角互补 因为 以 平面 成角为 由 ，所以 2 由 等边三角形，知 0，所以 令 CD=a，所以 ， 所以 ， 所以二面角 A C 的平面角的余弦值为 （ ）解 法 2：因为 两垂直， 以 C 为原点， 在直线为 x， y， z 轴，如图建立空间直角坐标系不妨设 因为 以 平面 成角为 由 ，所以 2 第 14 页（共 19 页） 由 等边三角形，知 0， 所以 ， ， 平面 一个法向量 ，平面 一个法向量则 ，且 取 则 二面角 A C 的平面角与 的夹角互补 所以二面角 A C 的平面角的余弦值为 18已知函数 f（ x） =1 （ 1）对于任意的 1 x 2，不等式 4m2|f（ x） |+4f（ m） |f（ x 1） |恒成立，求实数 （ 2）若对任意实数 1， 2存在实数 1， 2，使得 f（ =|2f（ 立，求实数 a 的取值范围 【考点】 函数恒成立 问题；二次函数的性质 【分析】 （ 1）由题意可得 4|1|+1| 4+|2x|，由 1 x 2，可得 4，运用二次函数的最值的求法，可得右边函数的最小值，解不等式可得 m 的范围； 第 15 页（共 19 页） （ 2） f（ x）在 1， 2的值域为 A， h（ x） =|2f（ x） 值域为 B，由题意可得 A B分别求得函数 f（ x）和 h（ x）的值域，注意讨论对称轴和零点，与区间的关系，结合单调性即可得到值域 B，解不等式可得 a 的范围 【解答】 解：（ 1）对于任意的 1 x 2，不等式 4m2|f（ x） |+4f（ m） |f（ x 1） |恒成立， 即为 4|1|+1| 4+|2x|， 由 1 x 2，可得 4， 由 g（ x） = =4（ + ） 2 ， 当 x=2，即 = 时， g（ x）取得最小值，且为 1， 即有 41，解得 m ； （ 2）对任意实数 1， 2 存在实数 1， 2，使得 f（ =|2f（ 立， 可设 f（ x）在 1， 2的值域为 A， h（ x） =|2f（ x） 值域为 B， 可得 A B 由 f（ x）在 1， 2递增，可得 A=0， 3； 当 a 0 时， h（ x） =|22|=22，（ 1 x 2）， 在 1， 2递增，可得 B= a， 6 2a， 可得 a 0 3 6 2a，不成立； 当 a=0 时， h（ x） =22，（ 1 x 2）， 在 1， 2递增，可得 B=0， 6， 可得 0 0 3 6，成立； 当 0 a 2 时，由 h（ x） =0，解得 x= 1（负的舍去）， h（ x）在 1， 递减， ， 2递增， 即有 h（ x）的值域为 0， h（ 2） ，即为 0， 6 2a， 由 0 0 3 6 2a，解得 0 a ； 当 2 a 3 时， h（ x）在 1， 递减， ， 2递增， 即有 h（ x）的值域为 0， h（ 2） ，即为 0， a， 由 0 0 3 a，解得 a=3； 当 3 a 4 时， h（ x）在 1， 2递减，可得 B=2a 6， a， 由 2a 6 0 3 a，无解，不成立； 当 4 a 6 时， h（ x）在 1， 递增，在 ， 2递减，可得 B=2a 6， 2+ ， 第