河北省唐山市2016年高考数学一模试卷（文科）含答案解析

河北省唐山市 2016 年高考数学一模试卷（文科） （解析版） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 1设 A， B 是全集 I=1， 2， 3， 4的子集， A=l， 2，则满足 A B 的 B 的个数是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 2复数 的虚部为（ ） A B C D 3在等差数列 ， ，且 a1+5，则公差 d 的值是（ ） A 4 B 3 C 1 D 2 4下列函数中，既是偶函数又在区间（ 0， +）上单调递增的是（ ） A y= B y= y=e x+ y=|x+1| 5执行如图的程序框图，输出 S 的值为（ ） A a+ ） +a ） =（ ） A B C D 7 A（ ， 1）为抛物线 p 0）上一点，则 A 到其焦点 F 的距离为（ ） A B + C 2 D +1 8在区间 1， 1上随机取一个数 x，使 的概率为（ ） A B C D 9若 x， y 满足不等式组 ，则 的最大值是（ ） A B 1 C 2 D 3 10某几何体的三视图如图所示则其体积积为（ ） A 8 B C 9 D 11 F 为双曲线 ： =1（ a 0， b 0）的右焦点，若 上存在一点 P 使得 等边三角形（ O 为坐标原点），则 的离心率 e 为（ ） A B C D 2 12已知函数 f（ x） =3x2+x 的极大值为 m，极小值为 n，则 m+n=（ ） A 0 B 2 C 4 D 2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上 13 等比数列 前 n 项和，满足 1，则 公比 q= 14已知向量 ， 满足 （ ） =2，且 | |=1， | |=2，则 与 的夹角等于 15直线 l： 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A、 B， O 为坐标原点，则 内切圆的方程为 16一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为 2，所有顶点都在球 O 上，则球 O 的表面积为 三、解答题：本大题共 70 分，其中（ 17） -（ 21）题为必考题，（ 22），（ 23），（ 24）题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 17在如图所示的四边形 ， 0， 50， 0， ， 1 （ I）求 （ ）求 面积 18为迎接即将举行的集体跳绳比赛，高一年级对甲、乙两个代表队各进行了 6 轮测试， 测试成绩（单位：次 /分钟）如表： 轮次 一 二 三 四 五 六 甲 73 66 82 72 63 76 乙 83 75 62 69 75 68 （ ）补全茎叶图并指出乙队测试成绩的中位数和众数； （ ）试用统计学中的平均数、方差知识对甲乙两个代表队的测试成绩进行分析 19如图，直四棱柱 棱长均为 2， ， M 为 中点， （ ）求证： 平面 （ ）求 平面 距离 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的右焦点为 F（ 2， 0），点 P（ 2， ）在椭圆上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 F 的直线，交椭圆 C 于 A、 B 两点，点 M 在椭圆 C 上，坐标原点 O 恰为 直线 l 的方程 21已知函数 f（ x） =a（ x+l） （ ）若 f（ x）在 x=0 处的切线经过点（ 2， 3），求 a 的值； （ ） x （ 0， ）时， f（ x） 0，求 a 的取值范围 四 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分作答时用 2选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 相切于点 B， 圆 O 上两点，延长 圆 O 于点 E， D 于点 F （ I）证明： （ ）若 圆 O 的直径， ，求 选修 4标 系与参数方程 23 在直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系半圆 C（圆心为点 C）的极坐标方程为 =2 （ ， ） （ ）求半圆 C 的参数方程； （ ）直线 l 与两坐标轴的交点分别为 A， B，其中 A（ 0， 2），点 D 在半圆 C 上，且直线 倾斜角是直线 l 倾斜角的 2 倍，若 面积为 4，求点 D 的直角坐标 选修 4等式选讲 24 已知函数 f（ x） =|x+1| a|x l| （ ）当 a= 2 时，解不等式 f（ x） 5； （ ）若（ x） a|x+3|，求 a 的最小值 2016 年河北省唐山市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 1设 A， B 是全集 I=1， 2， 3， 4的子集， A=l， 2，则满足 A B 的 B 的个数是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【分析】 由题意可知：集合 B 中至少含有元素 1， 2，即可得出 【解答】 解： A， B 是全集 I=1， 2， 3， 4的子集， A=l， 2，则满足 A B 的 B 为： 1，2， 1， 2， 3， 1， 2， 4， 1， 2， 3， 4 故选： B 【点评】 本题考查了集合之间的运算性质、元素与集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2复数 的虚部为（ ） A B C D 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算 化简复数 ，则答案可求 【解答】 解：由 = ， 则复数 的虚部为： 故选： A 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题 3在等差数列 ， ，且 a1+5，则公差 d 的值是（ ） A 4 B 3 C 1 D 2 【分析】 由已知利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程组，由此能求出公差 【解答】 解： 在等差数列 ， ，且 a1+5， ，解得 7， d=3 公差 d 的值是 3 故选： B 【点评】 本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 4下列函数中，既是偶函数又在区间（ 0， +）上单调递增的是（ ） A y= B y= y=e x+ y=|x+1| 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可 【解答】 解： y= 是奇函数，不满足条件 y= 偶函数，在区间（ 0， +）上单调递减，不满足条件 y=e x+偶函数，函数的导数 y= e x+，当 x 0 时， y= 0，函数在区间（ 0， +）上单调递增，满足条件 y=|x+1|为非奇非偶函数，不满足条件 故选： C 【点评】 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质 5执行如图的程序框图，输出 S 的值为（ ） A 分析】 由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的结果 【解答】 解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，可得 i=1， S=0 满足条件 i 4， S=i=2 满足条件 i 4， S=i=3 满足条件 i 4， S=i=4 不满足条件 i 4，退出循环，输出 S 的值为 故选： D 【点评】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题 6 a+ ） +a ） =（ ） A B C D 【分析】 由条件利用两角和的正弦公式，计算求得结果 【解答】 解： a+ ） +a ） =a+ ） a ）+ =a+ ） a+ ） a+ ） a= ， 故选： A 【点评】 本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题 7 A（ ， 1）为抛物线 p 0）上一点，则 A 到其焦点 F 的距离为（ ） A B + C 2 D +1 【分析】 把 A 代入抛物线方程解出 p，得到抛物线的准线方程，则 A 到焦点的距离等于 【解答】 解：把 A（ ， 1）代入抛物线方程得： 2=2p， p=1 抛物线的焦点为 F（ 0， ） 抛物线的准线方程为 y= A 到准线的距离为 1+ = 故选： A 【点评】 本题考查了抛物线的定义，抛物线的性质，属于基础题 8在区间 1， 1上随机取一个数 x，使 的概率为（ ） A B C D 【分析】 求出不等式的等价条件，利用几何概型的概率公式进行求解即可 【解答】 解： 1 x 1， x ， 由 得， x ， 即 x ， 则对应的概率 P= = ， 故选： A 【点评】 本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据不等式的关系求出等价条件是解决本题的关键 9若 x， y 满足不等式组 ，则 的最大值是（ ） A B 1 C 2 D 3 【分析】 由题意作平面区域，而 的几何意义是阴 影内的点（ x， y）与原点的连线的斜率，从而求得 【解答】 解：由题意作平面区域如下， ， 的几何意义是阴影内的点（ x， y）与原点的连线的斜率， 结合图象可知， 过点 A（ 1， 2）时有最大值， 此时 = =2， 故选： C 【点评】 本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想方法应用，注意 的几何意义是阴影内的点（ x， y）与原点的连线的斜率 10某几何体的三视图如图所示则其体积积为（ ） A 8 B C 9 D 【分析】 几何体为两个尖头圆柱的组合体它们可以组合成高为 8 的圆柱 【解答】 解：由三视图可知几何体为两个尖头圆柱的组合体，它们可以组成高为 8 的圆柱， 圆 柱的底面半径为 1， 所以几何体的体积为 12 8=8 故选 A 【点评】 本题考查了空间几何体的三视图和体积计算，属于基础题 11 F 为双曲线 ： =1（ a 0， b 0）的右焦点，若 上存在一点 P 使得 等边三角形（ O 为坐标原点），则 的离心率 e 为（ ） A B C D 2 【分析】 先确定等边三角形的边长和点 P 横坐标，求出点 P 到右准线的距离 d，利用双曲线定义解出离心率 e 【解答】 解：不妨设 F 为右焦点， O 为坐标原点）为等边三角形， 故点 P 横坐标为 ， 点 P 到右准线的距离 d= = ， 长为 c， e= = e 1， e= +1， 故选： C 【点评】 本题主要考查双曲线的定义、简单性质和标准方程的应用，等边三角形的性质，属于基础题 12已知函数 f（ x） =3x2+x 的极大值为 m，极小值为 n，则 m+n=（ ） A 0 B 2 C 4 D 2 【分析】 利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原 函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案 【解答】 解：由题意可得： f（ x） =36x+1， 令 f（ x） =0，即 36x+1=0， 解得： ， ， f（ x）在（ ， ）递增， 在（ ， ）递 减，在（ ， +）递增， 是极大值点， 是极小值点， m+n=f（ +f（ = （ 2+ ）（ 2 ） = 2， 故选： D 【点评】 利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于 0 时的实数 x 的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上 13 等比数列 前 n 项和，满足 1，则 公比 q= 2 【分析】 由 1， 1， a1+1，解得 可得出 【解答】 解：由 1， 1， a1+1，解得 ， 等比数列 公比 q=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14已知向量 ， 满足 （ ） =2，且 | |=1， | |=2，则 与 的夹角等于 【分析】 求出 ，代入向量夹角公式计算 【解答】 解： （ ） = =2， = 1 = = = 故答案为： 【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题 15直线 l： 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A、 B， O 为坐标原点，则 内切圆的方程为 （ x 1） 2+（ y 1） 2=1 【分析】 由题意画出图形，设 内切圆的圆心为 M（ m， m），利用圆心到直线 m 值得答案 【解答】 解：由直线方程 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A、 B， 如图， 设 内切圆的圆心为 M（ m， m）， 化直线方程为 3x+4y 12=0， 由题意可得： ，解得： m=1 内切圆的方程为（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 故答案为：（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 【点评】 本题考查圆的标准方程，考查了点到直线距离公式的应用，体现了 数形结合的解题思想方法，是基础题 16一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为 2，所有顶点都在球 O 上，则球 O 的表面积为 8 【分析】 根据该八面体的棱长为 2，所有顶点都在球 O 上，确定球 O 的半径，即可求出球O 的表面积 【解答】 解：由题意，该八面体的棱长为 2，所有顶点都在球 O 上， 所以球 O 的半径为 ， 所以球 O 的表面积为 =8 故答 案为： 8 【点评】 本题考查球的内接几何体，考查球 O 的表面积，考查学生的计算能力，比较基础 三、解答题：本大题共 70 分，其中（ 17） -（ 21）题为必考题，（ 22），（ 23），（ 24）题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在如图所示的四边形 ， 0， 50， 0， ， 1 （ I）求 （ ）求 面积 【分析】 （ I）在 ，使用余弦定理即可解出 （ ，使用正弦定理解出 合角的范围可求 5， C=2，利用三角形面积公式即可得解 【解答】 解：（ ）在 ，由余弦定理得 2， 所以 （ 4 分） （ ）在 ，由正弦定理得 = ，则 ， 又 0 120，所以 5，从而有 5， 由 50，得 5，又 0，所以 等腰三角形， 即 C=2，故 S 2 2 =1 （ 12 分） 【点评】 本题主要考查了正弦 定理，余弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题 18为迎接即将举行的集体跳绳比赛，高一年级对甲、乙两个代表队各进行了 6 轮测试， 测试成绩（单位：次 /分钟）如表： 轮次 一 二 三 四 五 六 甲 73 66 82 72 63 76 乙 83 75 62 69 75 68 （ ）补全茎叶图并指出乙队测试成绩的中位数和众数； （ ）试用统计学中的平均数、方差知识对甲乙两个代表队的测试成绩进行分析 【分析】 （ ）根据题意补全茎叶图，求出乙队测试成绩的中位数与众数； （ ）求出甲、乙二人的平均数与方差，进行比较即可 【解答】 解：（ ）画出茎叶图如下： （ 4 分） 乙队测试成绩的中位数为 72，众数为 75 （ 6 分） （ ） = =72， =39； = =72， =44， （ 10 分） 因为 = ， ，所以甲乙 两队水平相当，但甲队发挥较稳定 （ 12 分） 【点评】 本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数与方差的应用问题，是基础题目 19如图，直四棱柱 棱长均为 2， ， M 为 中点， （ ）求证： 平面 （ ）求 平面 距离 【分析】 （ ）证明 据勾股定理，证明 可证明： 平面 （ ）证明 平面 距离等于 平面 距离，即可求 平面 距离 【解答】 （ ）证明：连接 在直四棱柱 ， 平面 面 四边形 边长为 2 的菱形， 又 ， 平面 又 面 直四棱柱所有棱长均为 2， ， M 为 中点， ， ， M=1， 11， ， 11， 1 又 M=A， 平面 （ 6 分） （ ）解： 平面 即 平面 距离等于 平面 距离， 由（ ）得 平面 ， 即点 平面 距离为 （ 12 分） 【点评】 本题考查了线面垂直的判定，点 平面 距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的右焦点为 F（ 2， 0），点 P（ 2， ）在椭圆上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 F 的直线，交椭圆 C 于 A、 B 两点，点 M 在椭圆 C 上，坐标原点 O 恰为 直线 l 的方程 【分析】 （ ）由题意可得 c=2， | ，运用勾股定理可得 |再由椭圆的定义可得 2a，由 a， b， c 的关系可得 b，进而得到椭圆方程； （ ）显然直线 l 与 x 轴不垂直，设 l： y=k（ x 2）， A（ B（ 代入椭圆方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式可得 M 的坐标，代入椭圆方程，解方程即可得到所求直线的方程 【解答】 解：（ ）由题意可得 c=2，左焦点 2， 0）， | ， 所以 | = ，即 2a=|2 ， 即 ， b2=， 故椭圆 C 的方程为 + =1； （ ）显然直线 l 与 x 轴不垂直， 设 l： y=k（ x 2）， A（ B（ 将 l 的方程代入 C 得（ 1+31226=0， 可得 x1+， 所以 中点 N （ ， ）， 由坐标原点 O 恰为 重心，可得 M （ ， ） 由点 M 在 C 上，可得 151=0， 解得 或 （舍），即 k= 故直线 l 的方程为 y= （ x 2） 【点评】 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和 a， b， c 的关系及点满足椭圆方程，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和三角形的重 心坐标公式，考查运算能力，属于中档题 21已知函数 f（ x） =a（ x+l） （ ）若 f（ x）在 x=0 处的切线经过点（ 2， 3），求 a 的值； （ ） x （ 0， ）时， f（ x） 0，求 a 的取值范围 【分析】 （ ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式解方程可得 a； （ ）由 x （ 0， ）时， f（ x） 0，得 a ，令 g（ x） = ，求出导数，求得单调区间和最大值，即可得到所求范围 【解答】 解：（ ） f（ x） =a（ l） 导数为 f（ x） = 可得 f（ 0） =a 1， 又 f（ 0） =a 1， 所以 a 1= ，解得 a=2 （ ）由 x （ 0， ）时， f（ x） 0，得 a ， 令 g（ x） = ， 则 g（ x） = = ， 当 x （ 0， ）， g（ x） 0； x （ ， ）， g（ x） 0， 所以 g （ x）的最大值为 g（ ） = ， 故所求 a 的取值范围是 a 【点评】 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，转化为求函数的最值问题，属于中档题 四 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分作答时用 2题号后的方框涂黑 选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 相切于点 B， 圆 O 上两点，延长 圆 O 于点 E， D 于点 F （ I）证明： （ ）若 圆 O 的直径， ，求 【分析】 （ ）根据 有 根据同一条弦所对的圆周角相等即可得出 样即可得出： 似； （ ）根据条件便可得出 由上面即可得出 样即可得出 等腰直角三角形，从而可求出 ，根据射影定理即可求出 值 【解答】 解： （ ）证明： 又 又 （ ）因为 以 由（ ）得 以 又因为 圆 O 的直径， 所以 等 腰直角三角形， ， 因为 圆 O 相切于 B，所以 【点评】 考查内错角相等，同条弦所对的圆周角相等，以及三角形相似的判定定理，直径所对的圆周角为直角，以及射影定理 选修 4标系与参数方程 23 在直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系半圆 C（圆心为点 C）的极坐标方程为 =2 （ ， ） （ ） 求半圆 C 的参数方程； （ ）直线