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巧用“旋转”求解一类几何最值问题【模型1 】如图，正方形abcd的边长为2 ，在对角线bd 上有一点p ，求当 pa+pc+pb的值最小时，则这个最小值为多少？【解析】如图，将 abp以点 b 为中心逆时针旋转60 o，得到 ebq ，连接pq ，则 bpq和 abe均为等边三角形。设y=pa+pc+pb，则 y=eq+qp+pc，故当点e 、 q 、 p、c 在同一条直线上时y 最小，即y 的最小值为ce 的长度。过点e 作 em bc ，交 cb 延长线于点m，易知， ebm=30o， em= 2/2 ， bm= 3 2/2= 6/2 ； ce 2=（ 2/2 ） 2+（ 6/2+ 2 ） 2=4+2 3= （ 3+1 ） 2， ce= 3+1 ，即当pa+pc+pb的和最小时，最小值为3+1 。通过求解过程我们发现，点 p 在不在bd 上与结果并无关系，可以认为点p 为 abc内部的一点，当 abc=90o， ba=bc=2 时， pa+pb+pc的最小值仍然是3+1 。于是我们设想当 abc为其他特殊角，ba 和 bc 不相等时，pa+pb+pc的最小值可以求得吗？【模型2 】在 abc中， bac=30o， ab=6 ， ac=8 ，点p 为 abc内一点，连接pa ， pb ， pc ，求 pa+pb+pc的最小值。【解析】如图，将 abp以点 a 为中心逆时针旋转60 o，得到 ab p ，连接pp 。则 app 为等边三角形。则pa+pc+pb=bp +pp +pc ，故当pa+pc+pb最小时，点 b 、 p 、 p、 c 在同一条直线上，即pa+pc+pb的最小值为b c 的长度。易知， b ac=30 o+60 o=90 o， ab =ab=6 ， b c=10 ，即当pa+pc+pb的和最小时，最小值为10 。【模型3 】在 abc中， bac=60o， ab=2 3 ， ac=4- 3 ，点p 为 abc内一点， 连接 pa ， pb ， pc ，求 pa+pb+pc的最小值。【解析】如图，将 abp以点 a 为中心逆时针旋转60 o，得到 ab p ，连接pp 。则 app 为等边三角形。则pa+pc+pb=bp +pp +pc ，故当pa+pc+pb最小时，点 b 、 p 、 p、 c 在同一条直线上，即pa+pb+pc的最小值为b c 的长度。过点 b 作 b d ac ，交 ca 延长线于点d ，易知， b ad=60 o， b d=2 33/2=3 ， ad= 3 ； cd=4- 3+ 3=4 ， b c=5 ，即当pa+pc+pb的和最小时，最小值为5 。【模型4 】在 abc中， bac=90o，ab=2
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