河北省清河县清河中学高一数学《33 等比数列》课件.ppt

基础知识一 等比数列的基本概念与公式1 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的等于 这个数列叫等比数列 这个常数叫等比数列的 即 q n n 且n 2 或 q n n 或an 比 同一个常数 公比 2 若 an 是等比数列 则通项an 或an 当n m为大于1的奇数时 q用an am表示为q 当n m为正偶数时 q an a1qn 1可变形为an aqn 其中a 点 n an 是曲线y 上一群彼此的点 单调性 an 是 a1qn 1 amqn m 孤立 递增数列 an 是 q 1 an 是 q 0 an 为 若a b c成等比数列 则称b为a c的 且b2 或b 因此 a b c是等比数列 递减数列 常数数列 摆动数列 等比中项 ac b2 ac或 b 其中ac 0 3 等比数列 an 中 sn 求和公式的推导方法是 求和公式变形为sn bqn b q 1 其中b 且q 0 q 1 已知三数成等比 设三数为或设为四个数成等比 可设为 其中公比为 乘公比 错位相减法 a aq aq2 q2 4 等比数列的判定方法 1 an 1 anq q是不为0的常数 n n an 是等比数列 2 an cqn c q均是不为0的常数 n n an 是等比数列 3 a an an 2 an an 1 an 2 0 n n an 是等比数列 4 sn a qn a a q为常数且a 0 q 0 1 an 是公比不为1的等比数列 二 等比数列的性质1 am anqm n q m n n 2 在等比数列中 若p q m n 则ap aq am an 若2m p q 则a ap aq p q m n n 3 若 an bn 均为等比数列 且公比为q1 q2 则数列 p an an bn 仍为等比数列且公比为 q1 q1 q2 4 在等比数列中 等距离取出若干项 也构成一个等比数列 即an an m an 2m 仍为等比数列 公比为 5 等比数列前n项和 均不为零 构成等比数列 即sn s2n sn s3n s2n 构成等比数列且公比为 6 等比数列中依次k项积成等比数列 记tn为前n项积 即tk 成等比数列 其公比为 qm qm qk2 7 等比数列 an 的前n项积为tn 则 当n为奇数时 tn 为中间项 8 对于一个确定的等比数列 在通项公式an a1qn 1中 an是n的函数 这个函数由正比例函数an 和指数函数u qn n n 复合而成 当a1 0 或a1 0 时 等比数列是递增数列 当a1 0 或a1 0 时 等比数列 an 是递减数列 当时 是一个常数列 当时 无法判断数列的单调性 它是一个摆动数列 q 1 0 q 1 0 q 1 q 1 q 1 q 0 易错知识一 不理解等比数列的定义 1 设数列 an 为等比数列 则下列四个数列 a pan p为非零常数 an an 1 an an 1 其中是等比数列的有 填正确的序号 答案 二 等比数列的性质应用失误 2 等比数列 an 中 s2 7 s6 91 则s4 答案 28三 忽视隐含条件失误3 x 是a x b成等比数列的 条件 答案 既不充分也不必要 四 设元不当失误4 若四个数符号相同成等比数列 还知这四个数的积 则可设这四个数为 答案 5 若这四个数符号不相同成等比数列 还知这四个数的积 则可设这四个数为 答案 五 等比数列中的符号问题6 已知等比数列 an 中的a3 a9是方程x2 6x 2 0的两根 则a6 若改为a2 a10是方程的两根 则a6 答案 回归教材1 2009 北京西城 若数列 an 是公差为2的等差数列 则数列 2an 是 a 公比为4的等比数列b 公比为2的等比数列c 公比为的等比数列d 公比为的等比数列 解析 n 1 2an an 1 22 4 所以数列 2an 是公比为4的等比数列 答案 a 2 等比数列 an 中 a1 1 a10 3 则a2a3a4a5a6a7a8a9 答案 a 3 在等比数列 an 中 若a2 1 a5 2 则a11 答案 84 2009 北京丰台 设s 1 3 9 3n 2 n n 则s 解析 由等比数列求和公式可得 s 答案 5 课本p133 7题原题 已知 an 是等比数列 sn是其前n项和 a1 a7 a4成等差数列 求证 2s3 s6 s12 s6成等比数列 证明 由已知得2a1q6 a1 a1q3即2q6 q3 1 0得q3 1或q3 当q3 1时即q 1 an 为常数列 2s3 s6 s12 s6命题成立 当q3 命题成立 例1 an 为等比数列 求下列各值 1 已知a3 a6 36 a4 a7 18 an 求n 2 已知a2 a8 36 a3 a7 15 求公比q 3 已知q s8 15 1 求a1 命题意图 本题考查等比数列的基本公式 解答 1 解法一 又 a3 a6 a3 1 q3 36 a3 32 an a3 qn 3 32 n 3 28 n 2 1 8 n 1 即n 9 解法二 a4 a7 a1 q3 1 q3 18且a3 a6 a1 q2 1 q3 36 q a1 128又 an a1 qn 1 27 n 1 28 n 2 1 8 n 1 即n 9 2 a2 a8 a3 a7 36且a3 a7 15 a3 3 a7 12或a3 12 a7 3 2008 福建 设 an 是公比为正数的等比数列 若a1 1 a5 16 则数列 an 前7项的和为 a 63b 64c 127d 128答案 c解析 a5 a1q4 16 q4 又q 0 故q 2 s7 课本p129习题3 5 1题 在等比数列 an 中 a3 1 例2 1 已知等比数列 an a1 a2 a3 7 a1a2a3 8 则an 2 已知数列 an 是等比数列 且sm 10 s2m 30 则s3m m n 3 在等比数列 an 中 公比q 2 前99项的和s99 56 则a3 a6 a9 a99 分析 利用等比数列的性质解题 解答 1 a1a2a3 a 8 当a1 1 a2 2 a3 4时 q 2 an 2n 1 当a1 4 a2 2 a3 1时 2 an 是等比数列 s2m sm 2 sm s3m s2m 即202 10 s3m 30 得s3m 70 3 a3 a6 a9 a99是数列 an 的前99项中的一组 还有另外两组 它们之间存在着必然的联系 设b1 a1 a4 a7 a97 b2 a2 a5 a8 a98 b3 a3 a6 a9 a99 则b1q b2 b2q b3且b1 b2 b3 56 b3 b1q2 32 答案 1 4 总结评述 整体思想就是从整体着眼考查所研究的问题中的数列特征 结构特征 以探求解题思想 从而优化简化解题过程的思想方法 在数列中 倘若抓住等差 等比数列的项的性质 整体代换可简化解答过程 2009 山东济南 在等比数列 an 中 若a3 a5 a7 a9 a11 32 则的值为 a 4b 2c 2d 4答案 b 解析 由等比数列的性质可得 等比数列 an 中 a1 an 66 a2an 1 128 前n项的和sn 126 求n和公比q 分析 利用等比数列的性质 建立a1 an的方程组求出n与q 解答 a1an a2an 1 128 又a1 an 66 列的前n项和公式时 注意公比是否等于1 如不确定要讨论 例3 2008 陕西 文 已知数列 an 的首项a1 在数列 an 中 a1 2 an 1 4an 3n 1 n n 1 证明数列 an n 是等比数列 2 求数列 an 的前n项和sn 3 求证对任意n n 都有sn 1 4sn 命题意图 本小题以数列的递推关系式为载体 主要考查等比数列的概念 等比数列的通项公式及前n项和公式 不等式的证明等基础知识 考查运算能力和推理论证能力 解答 1 由题设an 1 4an 3n 1 得an 1 n 1 4 an n n n 又a1 1 1 所以数列 an n 是首项为1 且公比为4的等比数列 2 由 1 可知an n 4n 1 于是数列 an 的通项公式为an 4n 1 n 所以 数列 an 的前n项和sn 设 an bn 是公比不相等的两个等比数列 且cn an bn 证明数列 cn 不是等比数列 分析 考查等比数列的定义 证明一个数列是等比数列应从定义入手 证明一个数列不是等比数列 只需举出三项不成等比即可 证明 采用分析法证明 设 an bn 的公比分别为p q p q cn an bn c a1p b1q 2 ap2 bq2 2a1b1pq c1c3 a1 b1 a1p2 b1q2 ap2 bq2 a1b1 p2 q2 由于p