福建省宁德市2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年福建省宁德市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求 1已知集合 A=x|2x 3 0， B=x Z|x 2，则 AB 中的元素个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 2已知命题 p： x 1， 1，则命题 p 是（ ） A： x 1， 1 B x 1， 1 C： x 1， 1 D x 1， 1 3为了研究高中学生对某项体育活 动的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用 2 2 列联表进行独立性检验，经计算得 有（ ）以上的把握认为 “喜欢体育活动与性别有关系 ” P（ B 1% C 99% D 4已知 i 是虚数单位，执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A 1 i B 1+i C 0 D 1 5曲线 f（ x） = 在 x=e 处的切线方程为（ ） A y= B y=e C y=x D y=x e+ 6假设某人的手机在一天内收到 1 条、 2 条、 3 条垃圾短信的概率分别为 该手机明天和后天一共收到至少 5 条垃圾短信的概率为（ ） A 已知命题 p：定义在 R 上不恒为常数的函数 y=f（ x），满足 f（ x） = ，则函数 f（ x）的周期为 6； 命题 q：函数 f（ x） =2x+1 是增函数下列说法正确的是（ ） A p q 为假 B p q 为真 C（ p） q 为真 D p （ q）为真 8函数 f（ x） = 的图象大致为（ ） A B C D 9已知函数 f（ x） =x3+bx+c，给出四个结论： 函数 f（ x）一定有两个极值点 若 x= f（ x）的极小值点，则 f（ x）在区间（ ， 单调递减 f（ x）的图象是中心对称图形 若 f（ =0，则 x= f（ x）的极值点 第 2 页（共 17 页） 则结论正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 10已知函数 f（ x） =1+ ） +1，若 f（ a） =2，则 f（ a）的值是（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 11已知 f（ x）的定义域为（ 0， +）， f（ x）为 f（ x）的导函数，且满足 f（ x） x），则不等式 f（ +1） （ 1） f（ x 1）的解集是（ ） A（ 0， 4） B（ 1， 4） C（ 1， +） D（ 4， +） 12已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的不等式 f（ x） 2+x） 0 恰有 1个整数解，则实数 a 的最大值是（ ） A 9 B 10 C 11 D 12 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置 13已知复数 z 满足 z（ 1+i） =1（ i 为虚数单位），则 z= 14已知定义在 R 上的函数 f（ x） = ，若存在 a 0 且 f（ 1 a） =f（ 1+a），则 a= 15函数 y= 的图象的对称中心为（ 0， 0）；函数 y= + 的图象的对称中心为（ ， 0）；函数 y= + + 的图象的对称中心为（ 1， 0）； ；由此推测函数 y= + + 的图象的对称中心为 16已知点 M 在曲线 y=x 1）上，点 N 在曲线 y= （ x 1）上，点 P 在直线 y= |最小值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤 17已知集合 A=m|方程 x2+=0 有两个不相等的实根 ，集合 B=x|a （ ）求集合 A； （ ）若 x B 是 x A 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 18已知函数 f（ x） =2 x=1 时取得极值 （ ）求 a 的值 （ ）若关于 x 的不等式 f（ x） k 0 在 0， 4上恒成立，求实数 k 的取值范围 19为了美化景区环境，景区管理单位决定对游客乱扔垃圾现象进行罚款处理为了更好地实行措施特向游客征求意见，随机抽取了 200 人进行了调查，得到 如表数据： 罚款金额 x（单位：元） 0 10 20 50 100 会继续乱扔垃圾的人数 y 20 15 10 5 0 第 3 页（共 17 页） （ ）画出散点图，判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关，并求回归直线方程 =x+ ，其中 = = ； （ ）由（ ）分析，要使乱扔垃圾者的人数不超过 5%，罚款金额至少是多少元？ 20已知函数 f（ x） = k 1） a x（ a 1）是定义域为 R 的偶函数 （ ）求 k 的值 （ ）若 f（ 1） = 且 g（ x） =a 2x 2mf（ x）的最小值为 3，求 m 的值 21已知函数 f（ x） =m R） （ ）当 m=2 时，求函数 f（ x）的单调区间 （ ）当 m 0 时，是否存在实数 0 使得当 x ，函数 f（ x）的值域是 1， 1（ a R）？若存在，求出实数 a 的取值范围；若不存在，说明理由 选修 4何证明选讲 22如图， O 的半径为 6，线段 相交于点 C、 D， ， A， O 相交于点 E （ 1）求 ； （ 2）当 ，求证： D 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中， A（ 4， 0）， B（ 2 ， ），圆 C 的极坐标方程为 =2 （ ）求直线 圆 C 的直角坐标方程 （ ）已知 P 为圆 C 上的任意一点，求 积的最大值 选修 4等式选讲 24已知 f（ x） =|x |+|x |，记 f（ x） 2 的解集为 M （ ）求集合 M （ ）若 a M，试比较 a+1 与 的大小 第 4 页（共 17 页） 2015年福建省宁德市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求 1已知集合 A=x|2x 3 0， B=x Z|x 2，则 AB 中的元素个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集，即可作出判断 【解答】 解：由 A 中不等式变形得：（ x 3）（ x+1） 0， 解得： 1 x 3，即 A=x| 1 x 3， B=x Z|x 2， AB=x Z| 1 x 2= 1， 0， 1， 2， 则 AB 中的元素个数为 4， 故选： C 2已知命题 p： x 1， 1，则命题 p 是（ ） A： x 1， 1 B x 1， 1 C： x 1， 1 D x 1， 1 【考点】 命题的否定 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题进行判断 【解答】 解：命题是全称命题，则命题的否定为： x 1， 1， 故选： B 3为了研究高中学生对某项体育活动的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用 2 2 列联表进行独立性检验，经计算得 有（ ）以上的把握认为 “喜欢体育活动与性别有关系 ” P（ B 1% C 99% D 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 把观测值同临界值进行比较得到有 99%的把握说学生喜欢体育活动与性别有关系 【解答】 解：由题意， 照表格，可得有 99%的把握 “喜欢体育活动与性别有关系 ” 故选： C 4已知 i 是虚数单位，执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） 第 5 页（共 17 页） A 1 i B 1+i C 0 D 1 【考点】 程序框图 【分析】 根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦不满足条件就退出循环，输出结果 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 S=1， k=1 执行循环体， S=1+i， k=2 满足条件 k 13，执行循环体， S=i， k=3 满足条件 k 13，执行循环体， S=0， k=4 满足条件 k 13，执行循环体， S=1， k=5 满足条件 k 13，执行循环体， S=1+i， k=6 观察规律可知， S 的取值周期为 4，故 满足条件 k 13，执行循环体， S=1， k=13 满 足条件 k 13，执行循环体， S=1+i， k=14 不满足条件 k 13，退出循环，输出 S 的值为 1+i 故选： B 5曲线 f（ x） = 在 x=e 处的切线方程为（ ） A y= B y=e C y=x D y=x e+ 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 欲求在 x=e 处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在 x=结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决 【解答】 解： f（ x） = ， f（ x） = ， f（ e） =0 x=e， f（ e） = 曲线 f（ x） = 在 x=e 处的切线方程为 y= ， 故选： A 6假设某人的 手机在一天内收到 1 条、 2 条、 3 条垃圾短信的概率分别为 该手机明天和后天一共收到至少 5 条垃圾短信的概率为（ ） A 考点】 互斥事件的概率加法公式 【分析】 该手机明天和后天一共收到至少 5 条垃圾短信包括三种情况：明天收到两条垃圾短信后天收到三条垃圾短信；明天收到三条垃圾短信后天收到两条垃圾短信；明天、后天都收到三条垃圾短信，由此能求出结果 第 6 页（共 17 页） 【解答】 解： 某人的手机在一天内收到 1 条、 2 条、 3 条垃圾短信的概率分别为 该手机明天和后天一共收到至少 5 条垃圾短信的概率： p= 故选： B 7已知命题 p：定义在 R 上不恒为常数的函数 y=f（ x），满足 f（ x） = ，则函数 f（ x）的周期为 6； 命题 q：函数 f（ x） =2x+1 是增函数下列说法正确的是（ ） A p q 为假 B p q 为真 C（ p） q 为真 D p （ q）为真 【考点】 复合命题的真假 【分析】 根据函数的性质分别判断命题 p， q 的真假，结合复合 命题真假关系进行判断即可 【解答】 解： f（ x） = ， f（ x） f（ x+3） =1，则 f（ x+6） f（ x+3） =1， 即 f（ x） f（ x+3） =f（ x+6） f（ x+3） =1， 则 f（ x+6） =f（ x），即函数 f（ x）的周期是 6，故 p 是真命题， 命题 q：函数 f（ x） =2x+1 是增函数，为真命题， 则 p q 为真， 其余为假， 故选： A 8函数 f（ x） = 的图象大致为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 根据函数为奇函数，它的图象关于原点对称，当 x 0 时， f（ x） 0，当 x 趋于 +时， f（ x）趋于 0，从而得出结论 【解答】 解：由于函数 f（ x） = 为奇函数，故它的图象关于原点对称，故排除 B； 由于当 x 0 时， f（ x） 0，故排除 A； 再根据当 x 趋于 +时， f（ x）趋于 0，故排除 D， 故选： C 9已知函数 f（ x） =x3+bx+c，给出四个结论： 函数 f（ x）一定有两个极值点 若 x= f（ x）的极小值点，则 f（ x）在区间（ ， 单调递减 f（ x）的图象是中心对称图形 第 7 页（共 17 页） 若 f（ =0，则 x= f（ x）的极值点 则结论正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 根据二次函数的性质判断即可 根据极值点的定义进 行判断 根据三次函数的性质进行判断 【解答】 解： f（ x） =3ax+b，若 =412b 0，函数无极值点，故 错误； 若 f（ x）的极小值点，则 f（ x）必有极大值 x=m，且 m 函数 f（ x）在区间（ m， 单调递减，故 错误； f（ x） =（ x 3+b（ x +对称中心是（ f（ x） =x3+bx+c 如果能写成 f（ x） =（ x 3+b（ x +形式，那么三次函数的对称中心就是（ f（ 设 f（ x） =（ x 3+p（ x+m） +n， 得 f（ x） = 3p） x+pm+n， 3am=b； 3p=c； pm+n=d； m= ， p= ， n=d+ ， f（ x） =a（ x+ ） 3+（ c ）（ x+ ） +d+ ， 故函数 y=f（ x）的图象一定是中心对称图形，故 正确； 若 f（ =0，则 x=一定是 f（ x）的极值点，故 错误； 故选： A 10已知函数 f（ x） =1+ ） +1，若 f（ a） =2，则 f（ a）的值是（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据条件建立方程关系进行求解即可 【解答】 解： f（ x） =1+ ） +1=1， f（ a） =2， f（ a） =1=2，则 1， f（ a） =1= 1= =1， 故选： C 11已知 f（ x）的定义域为（ 0， +）， f（ x）为 f（ x）的导函数，且满足 f（ x） x），则不等式 f（ +1） （ 1） f（ x 1）的解集是（ ） A（ 0， 4） B（ 1， 4） C（ 1， +） D（ 4， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 构造函数 g（ x） =x）求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式 【解答】 解：设 g（ x） =x）， 第 8 页（共 17 页） 则 g（ x） =x） = x） +f（ x） 0， 即当 x 0 时，函数 g（ x） =x）单调递减， f（ +1） （ 1） f（ x 1） （ +1） f（ +1） （ x 1） f（ x 1）， g（ +1） g（ x 1）， ，解得： x 4 则不等式的解集为（ 4， +）， 故选： D 12已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的不等式 f（ x） 2+x） 0 恰有 1个整数解，则实数 a 的最大值是（ ） A 9 B 10 C 11 D 12 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 函数 f（ x），如图所示， f（ x） 2+x） 0，当 a 0 时， a f（ x） 0由于关于 x 的不等式 f（ x） 2+x） 0 恰有 1 个整数解，因此其整数解为 4， f（ 3） =0可得 f（ 5） a， a f（ 4） 0，解出即可得出 【解答】 解：函数 f（ x），如图所示， f（ x） 2+x） 0， 当 a 0 时， a f（ x） 0， 由于关于 x 的不等式 f（ x） 2+x） 0 恰有 1 个整数解， 因此其整数解为 4，又 f（ 5） = 52+3 5= 10 f（ 4） = 42+3 4= 4， f（ 3） = 32+3 3=0 f（ 5） a， a f（ 4） 0 则 10 a 4， a 0 不必考虑， 可得：实数 a 的最大值是 10 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置 第 9 页（共 17 页） 13已知复数 z 满足 z（ 1+i） =1（ i 为虚数单位），则 z= i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 分母实数化，求出 z 即可 【解答】 解： z（ 1+i） =1， z= = = i 故答案为： i 14已知定义在 R 上的函数 f（ x） = ，若存在 a 0 且 f（ 1 a） =f（ 1+a），则 a= 1 【考点】 分段函数的应用 【分析】 对 a 讨论，分 a 0， a 0，由分段函数式，可得 a 的方程，即可得到 a 的值 【解答】 解：若 a 0，则 1 a 1， 1+a 1，由 f（ 1 a） =f（ 1+a）， 可得 2（ 1 a） +a=1（ 1+a），解得 a ； 若 a 0，则 1 a 1， 1+a 1，由 f（ 1 a） =f（ 1+a）， 可得（ 1 a） +1=2（ 1+a） +a，解得 a= 1 综上可得， a= 1 故答案为： 1 15函数 y= 的图象 的对称中心为（ 0， 0）；函数 y= + 的图象的对称中心为（ ， 0）；函数 y= + + 的图象的对称中心为（ 1， 0）； ；由此推测函数 y= + + 的图象的对称中心为 （ ， 0） 【考点】 归纳推理 【分析】 题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为 0， ， 1， ，即 0， ， ， ，此数列通项公式易求 【解答】 解：题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为 0， ， 1， ， 即 0， ， ， ， 由此推测，函数 y= + + + 的图象的对称中心为（ ， 0） 故答案为：（ ， 0） 第 10 页（共 17 页） 16已知点 M 在曲线 y=x 1）上，点 N 在曲线 y= （ x 1）上，点 P 在直线 y= |最小值为 2 【考点】 两点间距离公式的应用 【分析】 求出曲线 y=x 1） 与曲线 y= （ x 1）的交点为（ 2， 0），两曲线在（ 2，0）处有相同的切线，利用（ 2， 0）到直线 y=x 的距离为 ，可得 |最小值 【解答】 解：由题意，曲线 y=x 1）与曲线 y= （ x 1）的交点为（ 2， 0） y=x 1）， y= ， x=2 时， y=1； y= =1 ， y= ， x=2 时， y=1， 两曲线在（ 2， 0）处有相同的切线， （ 2， 0）到直线 y=x 的距离为 ， |最小值为 2 ， 故答案为： 2 三、解 答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知集合 A=m|方程 x2+=0 有两个不相等的实根 ，集合 B=x|a （ ）求集合 A； （ ）若 x B 是 x A 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 （ ）根据二次函数的性质得到 0，解出 m 的范围即可； （ ）求出集合 B，结合充分必要条件的定义求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ ）由方程 x2+=0 有两个不相等的实根， =4 0，解 得： m 2 或 m 2， A=m|m 2 或 m 2； （ ） B=x|a=x|x 2a， 由 x B 是 x A 的充分不必要条件， 2a 2，解得： a 1， 实数 a 的取值范围为 1， +） 18已知函数 f（ x） =2 x=1 时取得极值 （ ）求 a 的值 （ ）若关于 x 的不等式 f（ x） k 0 在 0， 4上恒成立，求实数 k 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ ）求出 f（ x）的导数，得 到 f（ 1） =0，从而求出 a 的值，检验即可； （ ） x 0， 4， f（ x） k 0 恒成立，即 k f（ x） 据函数的单调性，求出 f（ x）的最大值，从而求出 k 的范围即可 【解答】 解：（ ）由题意的得 f（ x） =34a， x=1 是函数的极值点， 第 11 页（共 17 页） f（ 1） =0， 即 3 4a+3a=0， 解得 a=3， 经检验 a=3 符合题意， a=3； （ ）由（ ）知 f（ x） =6x， x 0， 4， f（ x） k 0 恒成立， 即 k f（ x） 由（ ）可知 f（ x）在 0， 1） 单调递增，在 1， 3单调递减，（ 3， 4单调递增， f（ 1） =f（ 4） =4， k 4 19为了美化景区环境，景区管理单位决定对游客乱扔垃圾现象进行罚款处理为了更好地实行措施特向游客征求意见，随机抽取了 200 人进行了调查，得到如表数据： 罚款金额 x（单位：元） 0 10 20 50 100 会继续乱扔垃圾的人数 y 20 15 10 5 0 （ ）画出散点图，判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关，并求回归直线方程 =x+ ，其中 = = ； （ ）由（ ）分析，要使乱扔垃圾者的人数不超过 5%，罚款金额至少是多少元？ 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ ）根据表中所给的数据，得到点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图先求出罚款金额 x 和会继续乱扔垃圾的人数 y 的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出 a 的值，写出线性回归方程 （ ）由题意可知，回归直线方程 200 5%，求得 x 的取值范围 【解答】 解：（ ）散点图： 由散点图可判断它们之间负相关 由表中数据条件 可得 = =36， = =10， 第 12 页（共 17 页） 则 ， 故回归直线方程为 ， （ ）由 200 5%，可得 x 36， 所以，要使乱扔垃圾者不超过 5%，处罚金额至少是 36 元 20已知函数 f（ x） = k 1） a x（ a 1）是定义域为 R 的偶函数 （ ）求 k 的值 （ ）若 f（ 1） = 且 g（ x） =a 2x 2mf（ x）的最小值为 3，求 m 的值 【考点】 函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质 【分析】 （ ）运用偶函数的定义： f（ x） =f（ x），化简整理可得 k=2； （ ）由 ，可得 a= ， 即有 f（ x） =2x+2 x， g（ x） =22x+2 2x 2m（ 2x+2 x），可令 t=2x+2 x 2，则 22x+2 2x=2，令 h（ t） =22，求出对称轴，讨论与区间 2， +）的关系，求得最小值，解方程可得 m 的值 【解答】 解：（ ）由 f（ x）是定义域为 R 的偶函数，可得 x R， f（ x） =f（ x）， 即 a x+（ k 1） ax= k 1） a x， 化简得：（ k 2）（ a x） =0 因为 x 为任意实数，所以 k=2（用特殊值法要检验，否则扣一分） ； （ ）由（ ）得 f（ x） =ax+a x，因为 ，所以 ， 解得 a= 或 a=2（舍去）， 故 f（ x） =2x+2 x， g（ x） =22x+2 2x 2m（ 2x+2 x）， 令 t=2x+2 x 2，则 22x+2 2x=2， 令 h（ t） =22=（ t m） 2 2， t 2，又因为 3， 当 m 2 时， h（ t）在 2， +）上是增函数， 则 h（ 2） = 3，即 4 4m 2= 3， 解得 m= ， 当 m 2 时， h（ t）在 2， m上是减函数，在 m， +）上是增函数， 则 h（ m） = 3，即 2= 3，解得 m= 1（舍去） 综上： m= 21已知函数 f（ x） =m R） （ ）当 m=2 时，求函数 f（ x）的单调区间 （ ）当 m 0 时，是否存在实数 0 使得当 x ，函数 f（ x）的值域是 1， 1（ a R）？若存在，求出实数 a 的取值范围；若不存在，说明理由 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出 f（ x）的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可； 第 13 页（共 17 页） （ ）设 g（ x） =f（ x）（ 1） = m+a） ，则 y=g（ x）必须有两个不同零点 通过讨论函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ ）当 m=2 时，函数 f（ x） =2义域为 （ 0， +）， ，由 f（ x） =0，得 ，（ x= 舍去） 列表： x （ ， +） f（ x） + 0 f（ x） 递增 极大值 递减 f（ x）的递增区间为（ 0， ），递减区间为（ ， +） （ ）假设存在实数 0 使得当 x ，函数 f（ x）的值域 ， 由于 a 1 a 1（ 0 所以 a 0 当 m 0 时， f（ x）在 区间（ 0， +）上单调递增， f（ =a 1， f（ =a 1， 设 g（ x） =f（ x）（ 1） = m+a） ， 则 y=g（ x）必须有两个不同零点 当 m+a 0 时， g（ x） 0， g（ x）单调递增，没有两个不同零点，不成立； 当 m+a 0 即 a m 时，由 ，列表： x （ 0， ） g（ x） + 0 g（ x） 递增 极大值 递减 g（ x）的递增区间为（ 0， ），递减区间为（ ， +）， g（ x）的最大值 = 要使 y=g（ x）有两个不同零点 则 g（ x）的最大值 ， 解得： 又 x+或 x0 时， g（ x） 所以存在实数 a，取值范围