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初中数学知识点整理 顾依琳正数与负数大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，数0既不是正数也不是负数数轴定义：规定了唯一的原点，正方向和单位长度的一条直线叫做数轴。 数轴三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。 数轴是直线，可以向两方无限延伸，因此所有的有理数都可用数轴上的点来表示 表示正数的点都在原点右边，表示负数的点都在原点左边。 数轴上的点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，可借助数轴比较有理数的大小。相反数定义：像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。相反数的几何意义：在数轴上到原点距离相等的两个点表示的两个数叫做互为相反数。相反数的代数意义：如果两个数的和为零，其中一个数是另一个数的相反数，这两个数称为互为相反数。相反数的规律：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。相反数的表示方法：a的相反数是-a，-a的相反数是a；a-b的相反数是b-a，b-a的相反数是a-b；a+b的相反数是-（a+b），即-a-b。绝对值定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。绝对值的有关性质：任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性； 绝对值等于0的数只有一个，就是0； 绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数； 互为相反数的两个数的绝对值相等。 倒数倒数的定义：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数就叫做互为倒数注：若a、b互为倒数，则ab=1，或，反之也成立；0没有倒数；乘积为-1的两个数互为负倒数，即ab=-1，则ab互为负倒数，反之也成立。有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。有理数加法的运算律：加法的交换律 ：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)。注：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加 有理数的加减混合运算步骤 把减法转化为加法，写成省略加号和括号的形式；应用加法的交换律与结合律，简化运算；有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数。乘方的性质：乘方是乘法的特例，其性质如下：正数的任何次幂都是正数； 负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数； 0的任何（除0以外）次幂都是0； a2是一个非负数，即a20。估算无理数的大小在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方。一般情况下从1到达20整数的平方都应牢记。例1：估算的取值范围。解：因为134，所以即：12如果想估算的更精确一些，比如说想精确到0.1可以这样考虑：因为17的平方是289，18的平方是324，所以1.7的平方是2.89，1.8的平方是3.24因为2.8933.24，所以所以1.71.8。如果需要估算的数比较大，可以找几个比较接近的数值验证一下。实数的比较大小法则：正实数都大于0，负实数都小于0；正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小；在数轴上，右边的数要比左边的大。具体方法： 求差法：设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a-b0时，a0时，ab”来比较a与b的大小。 求商法：设a，b（b0）为任意两个正实数，先求出a与b的商，再根据“当1时，a1时，ab”来比较a与b的大小；当a，b（b0）为任意两个负实数时再根据“当b；当 =1时，a=b；当 1时，ab” 来比较a与b的大小。倒数法：设a，b（a0，b0）为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当b；当 时，ab2 得到ab”比较大小。也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平方大，则这个数大于另一个数。 还有估算法、近似值法等。 平行线的性质，平行线的公理平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行线的性质：两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。平行于同一条直线的两直线平行。垂直于同一条直线的两直线平行平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。定理推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。垂线的性质： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 垂直的判定：垂线的定义。 去括号与添括号去括号法则：（1）括号前面有“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号不改变；（2）括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要变为相反的符号。添括号法则：（1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；（2）括号前面是“-”号，括到括号里的各项的符号都要变为相反的符号。有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数；两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都等于0。注：0不能做除数。有理数的混合运算先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；若有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行计算。平方根定义：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，如果x2=a，那么x叫做a的平方根，这里a是x的平方，它是一个非负数，即a0。表示：一个正数有两个平方根，用表示平方根中正的那个，用- 表示负的平方根。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。立方根定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个x叫做a的立方根。表示：数a的立方根记作，读作“三次根号a”。性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。算术平方根概念：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根。规定：0的算术平方根是0。表示：a的算术平方根记为，读作“根号a”。注：只有非负数有算术平方根，而且只有一个算术平方根。平方根和算术平方根的区别于联系：它们之间的区别：定义不同：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根；非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根。个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；而一个正数的算术平方根只有一个。表示方法不同：正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示为。取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根一正一负，两数互为相反数。它们之间的联系：具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种，是正的平方根。存在条件相同：只有非负数才有平方根和算术平方根。0的平方根，算术平方根均为0。开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。注：（1）平方和开平方的关系是互为逆运算；乘方是求根的途径，开平方是一种运算，是求平方根的过程；开方的方式是根号形式。无理数是无限不循环小数。如圆周率等。无理数与有理数的区别：把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数实数的定义 实数由有理数和无理数组成实数的运算1、加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即：a+b=b+a；加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变；即：（a+b）+c=a+（b+c）。2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+（-b）3、乘法法则：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。（3）乘法可使用乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即：ab=ba；乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即：（ab）c=a（bc）；分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加,即：a（b+c）=ab+ac。4、除法法则：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。5、乘方：所表示的意义是n个a相乘，即an，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，乘方与开方互为逆运算。6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。代数式的概念代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。单独一个数和字母也是代数式。注：代数式中含有加、减、乘、除、乘方等运算符号，不含有等号或不等号。单项式：只有数与字母的乘积的代数式，单独的一个数或字母也是单项式。（1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（包括其前面的符号）；（2）单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和。多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。（1）多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数；（2）多项式的排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列；（3）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列。整式的定义整式包含单项式和多项式（分母含有字母的代数式不是整式）。分式的定义分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，AB就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义同类项同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。两个单项式是同类项的条件有两个：一是含有相同的字母；而是相同字母的指数分别相等；同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关，只与字母及字母的指数有关；所有的常数项都是同类项。合并同类项：概念：把多项式中的同类项合成一项，叫做合并同类项。法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。合并同类项的步骤：准确的找出同类项；逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变；写出合并后的结果。整式的加减整式的加减：其实质是去括号和合并同类项，其一般步骤为：如果有括号，那么先去括号；如果有同类项，再合并同类项。注：整式加减的最后结果中不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止。一元一次方程的定义定义：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程。注：主要用于判断一个等式是不是一元一次方程。一元一次方程的解法解一元一次方程的步骤： （1）去分母：在方程两边的各项同乘以各分母的最小公倍数，约去分母； （2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号； （3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号； （4）合并同类项：把方程化成ax=b（a0）的形式； （5）系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。 一元二次方程的定义1、定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中 ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。等式的性质等式的性质： 性质1：等式两边同加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 即若a=b，则am=bm。 性质2：等式两边同乘以（或除以）同一个数（除数不能为零），所得结果仍是等式。 即若a=b，则am=bm ，（m0）。 还有等式的对称性（若a=b，则b=a），传递性（若a=b，b=c，则a=c）。一元一次方程的应用1、列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意； （2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案。 2、列方程解应用题的几种常见类型： （1）和差倍分问题： 基本数量关系：增长量原有量增长率，现在量原有量增长量。 （2）行程问题： 基本数量关系：路程速度时间，时间路程速度，速度路程时间， 路程=速度时间。 相遇问题：快行距慢行距原距； 追及问题：快行距慢行距原距； 航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度， 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 （3）劳力分配问题：抓住劳力调配后，从甲处人数与乙处人数之间的关系来考虑。 （4）工程问题： 三个基本量：工作量、工作时间、工作效率； 其基本关系为：工作量=工作效率工作时间；相关关系：各部分工作量之和为1。 （5）利润问题： 基本关系：商品利润=商品售价-商品进价； 商品利润率=商品利润/商品进价100%； 商品销售额商品销售价商品销售量； 商品的销售利润（销售价成本价）销售量。 （6）数字问题：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a，然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 （7）盈亏问题：“盈”表示分配中的多余情况；“亏”表示不足或缺少部分。 （8）储蓄问题：本息和=本金+期数利率，利息本金利率期数（注意：利息税）。 直线，线段，射线1、基本概念