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文档简介

1 第十二节 曲线的弯曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 主要内容 一 曲线弧的微分 二 曲率与曲率半经 弧微分与曲率 第二章 2 一 曲线弧的微分 设 在 a b 内有连续导数 其图形为AB 弧长 3 则弧长微分公式为 或 几何意义 若曲线由参数方程表示 称为曲线 的弧微分公式 4 例1 求正弦曲线 解因为 所以 例2求第一象限内星形线 的弧微分 所以 的弧微分 解因为 5 二 曲率与曲率半经 在光滑弧上自点M开始取弧段 其长为 定义 弧段上的平均曲率 点M处的曲率 注意 直线上任意点处的曲率为0 对应切线转角为 6 例1 求半径为R的圆上任意点处的曲率 解 如图所示 可见 R愈小 则K愈大 圆弧弯曲得愈厉害 R愈大 则K愈小 圆弧弯曲得愈小 7 有曲率近似计算公式 故曲率计算公式为 又 曲率K的计算公式 二阶可导 设曲线弧 则由 8 说明 1 若曲线由参数方程 给出 则 2 若曲线方程为 则 若曲线 在点M处的曲率K不为零 称 为曲线在点M处的曲率半经 9 例2求曲线 在点 处的曲率半径 解方程两边同时对x求导 整理得 两边再对x求导 整理得 将点 代人 1 得 将点 代人 2 得 故曲线在点 处的曲率半径 10 例3 我国铁路常用立方抛物线 作缓和曲线 处的曲率 点击图片任意处播放 暂停 说明 铁路转弯时为保证行车 平稳安全 求此缓和曲线在其两个端点 且l R 其中R是圆弧弯道的半径 l是缓和曲线的长度 离心力必须 连续变化 因此铁道的 曲率应连续变化 11 例3 我国铁路常用立方抛物线 作缓和曲线 且l R 处的曲率 其中R是圆弧弯道的半径 l是缓和曲线的长度 求此缓和曲线在其两个端点 解 显然 12 内容小结 1 弧长微分 或 2 曲率公式 3 曲率半径 13 作业 P1661 2 4 5 14 例4 求椭圆 在何处曲率最大 解 故曲率为 K最大 最小 求驻点 15 设 从而K取最大值 这说明椭圆在点 处曲率 计算驻点处的函数值 最大 16 例5设一工件内表面的截痕为一椭圆 现要用砂轮磨 削其内表面 问选择多大的砂轮比较合适 解 设椭圆方程为 由例3可知 椭圆在 处曲率最
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