2019_2020学年高中数学课时分层作业15抛物线的几何性质（一）（含解析）新人教B版.docx

课时分层作业(十五)抛物线的几何性质(一)(建议用时：60分钟)基础达标练一、选择题1顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()Ax23yBy26xCx212y Dx26yC依题意知抛物线方程为x22py(p0)的形式，又3，p6,2p12，故方程为x212y.2若双曲线1(p0)的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p的值为()A2B3C4D4C双曲线的方程可化为1，双曲线的左焦点为.又抛物线的准线为x，由题意，解得p4.3过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果x1x26，则|AB|的值为()A10 B8 C6 D4By24x，2p4，p2.由抛物线定义知：|AF|x11，|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x22628.4等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则RtABO的面积是()A8p2 B4p2 C2p2 Dp2B由抛物线的对称性，可知kOA1，可得A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，2p)，SABO2p4p4p2.5已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A4 B4 Cp2 Dp2A若焦点弦ABx轴， 则x1x2，x1x2；y1p，y2p，y1y2p2，4.若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为yk，联立y22px得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.y1y2p2.故4.二、填空题6已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A、B两点，若ABF为等边三角形，则p_.6由题意知B，代入方程1得p6.7已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y22x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为_xy10依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y2x1，y2x2，两式相减得yy2(x1x2)，即1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y1x2，即xy10.8在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的标准方程是_y25x线段OA的垂直平分线为4x2y50，与x轴的交点为，抛物线的焦点为，其标准方程是y25x.三、解答题9抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程解依题意可设抛物线方程为y22px(p0)，则直线方程为yxp.设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足为C，D，则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2，即x1x28.又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由消去y，得x23px0，x1x23p.将其代入，得p2.所求的抛物线方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p0)时，同理可求得抛物线方程为y24x.综上所述，抛物线方程为y24x或y24x.10已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为.由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)由y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值)(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切能力提升练1已知直线l与抛物线y28x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是 ()A.B.C.D25A抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l的方程为y(x2)，由得B点的坐标为.|AB|AF|BF|282.AB的中点到准线的距离为.2(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.2法一：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，则y1y2，y1y24.由AMB90，得(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21与y1y2，y1y24代入，得k2.法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4(x1x2)，则k.取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B，又AMB90，点M在准线x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M为AB的中点，所以MM平行于x轴，且y01，所以y1y22，所以k2.3过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为_由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，如图所示，|AF|x113，x12，y12.设AB的方程为x1ty，由消去x得y24ty40.y1y24.y2，x2，SAOB1|y1y2|.4平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x1的距离相等，若机器人接触不到过点P(1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_(，1)(1，)由题意可知机器人的轨迹为抛物线，其轨迹方程为y24x，过点P(1,0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立两方程并消去y，得k2x2(2k24)xk20，则(2k24)24k40，所以k21，解得k1或k1.5已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直线l的方程为y.联立消去y得x25x0.若设A(x1，y1)，B(x2