小学奥数各年级年龄问题、对称变换、归一法经典题解题技巧大全.docx

年龄问题例1：小明今年5岁，爸爸的年龄是小明的7倍，再过多少年爸爸的年龄是小明年龄的3倍？讲析：可先求出当爸爸年龄是小明年龄的3倍时，小明的年龄是多少岁：（57-5）（3-1）=15（岁）。故，再过10年，爸爸的年龄是小明年龄的3倍。例2：今年祖父的年龄是小明年龄的6倍。几年后，祖父年龄是小明年龄的5倍。又过几年后，祖父年龄是小明年龄的4倍。问：祖父今年多少岁？讲析：因为今年祖父年龄是小明年龄的6倍。所以，年龄差是小明年龄的5倍，即一定是5的倍数。同理，又过几年后，祖父的年龄分别是小明年龄的5倍和4倍，可知年龄差也是4和3的倍数。而年龄差是不变的。由3、4、5的公倍数是60、120、可知，60是比较合理的。所以，小明今年的年龄是60（6-1）=12（岁）；祖父今年的年龄是126=72（岁）。例3：1994年姐妹两人年龄之和是55岁。若干年前，当姐姐的年龄只有妹妹现在这么大时，妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半。姐姐是哪一年出生的？讲析：设若干年前，妹妹的年龄为x岁，则现在妹妹为2x岁；姐姐在“若干年前”那一年的年龄也为2x岁，则姐姐现在的年龄为3x岁。由2x+3x=55，可知，x=11。所以，今年姐姐的年龄是311=33（岁）。故姐姐是1960年出生的。对称变换【将军饮马】据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教一个问题：从A地出发到河边饮马，再到B地（如图4.32所示），走什么样的路最近？如何确定饮马的地点？海伦的方法是这样的：如图4.33，设L为河，作AOL交L于O点，延长AO至A，使AO=AO。连结AB，交L于C，则C点就是所要求的饮马地点。再连结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。为什么呢？因为A是A点关于L的对称点，AC与AC是相等的。而AB是一条线段，所以AB是连结A、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=AC+CB=AB也是最短的一条路了。这就是海伦运用对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。运用这种办法，可以巧妙地解决许多几何问题。【划线均分】通过中心对称图形的对称中心，任意画一条直线，都可以把原图形均分成两个大小、形状完全相同的图形。利用这一性质，可以使某些较复杂的问题迅速地解答出来。例如（1）把图形（图4.34）的面积，用一条直线分成相等的两个部分。解题时，只要把这个图形看成是由两个矩形（长方形）组成的组合图形，而矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形， 所以只要找出两个对称中心（对角线交点），利用中心对称图形的上述性质，通过两个对称中心作一条直线，就能把它的面积分成相等的两个部分了。如前页的三种分法都行（如图4.35所示）。（2）如图4.36，长方形ABCD内有一个以O点为圆心的圆，请画一条直线，同时将长方形和圆分为面积相等的两个部分。大家知道，长方形和圆都既是轴对称图形，又是中心对称图形。长方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是它的圆心。根据中心对称图形的上述性质，先找出这两个对称中心O点和P点（如图4.37），再过O、P作直线L，此直线L即是所画的那根直线。归一法先求出单位数量（如单价、工效、单位面积的产量等），再以单位数量为标准，计算出所求数量的解题方法叫做归一法。归一法分为一次直进归一法、一次逆反归一法、二次直进归一法、二次逆反归一法。用归一法一般是解答整数、小数应用题，但也可以解答分数应用题。有些应用题用其它方法解答比较麻烦，不易懂，用归一法解则简单，容易懂。（一）一次直进归一法通过一步运算求出单位数量之后，再求出若干个单位数量和的解题方法叫做一次直进归一法。例1：某零件加工小组，5天加工零件1500个。照这样计算，14天加工零件多少个？（适于三年级程度）解：（1）一天加工零件多少个？15005=300（个）（2）14天加工零件多少个？30014=4200（个）综合算式：1500514=4200（个）答略。此类型题是适宜用一次直进归一法解的基本题型，下面的题都在此类型题的基础上有所扩展。例2用一台大型抽水机浇地，5小时浇了15公顷。照这样计算，再浇3小时，这台抽水机比原来多浇多少公顷地？（适于三年级程度）解：（1）一小时浇地多少公顷？155=3（公顷）（2）3小时浇地多少公顷？33=9（公顷）综合算式：1553=9（公顷）答略。例3：一辆汽车3小时行驶了123.6千米。照这样的速度，再行驶4小时，这辆汽车一共行驶了多少千米？（适于五年级程度）解：（1）一小时行驶多少千米？12