天津专用2020届高考数学一轮复习考点规范练36立体几何中的向量方法含解析新人教A版.docx

教学资料范本天津专用2020届高考数学一轮复习考点规范练36立体几何中的向量方法含解析新人教A版编 辑：_时 间：_考点规范练36立体几何中的向量方法一、基础巩固1.直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l平面,则x的值为()A.-2B.-C.D.2.已知平面的一个法向量为n=(1,-,0),则y轴与平面所成的角的大小为()A.B.C.D.3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE,则点M的坐标为()A.(1,1,1)B.C.D.4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上,且,N为B1B的中点,则|为()A.aB.aC.aD.a5.如图,过正方形ABCD的顶点A,作PA平面ABCD.若PA=BA,则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A.30B.45C.60D.906.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A.B.C.D.7.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为.8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,且=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:APAB;APAD;是平面ABCD的法向量;.其中正确的是.(填序号)9.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为.(填序号)10.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2, AC=CD=.(1)求证:PD平面PAB.(2)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.11.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.二、能力提升12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为,则sin 的取值范围是()A.B.C.D.14.如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值等于.15.如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.三、高考预测16.如图,在四棱锥A-EFCB中,AEF为等边三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O为EF的中点.(1)求证:AOBE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE平面AOC,求a的值.考点规范练36立体几何中的向量方法1.D解析当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故-12+1(x2+x)+1(-x)=0,解得x=.2.B解析可知y轴的方向向量为m=(0,1,0),设y轴与平面所成的角为,则sin=|cos|.cos=-,sin=,=.3.C解析设M(x,x,1).由已知得A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),则=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1).设平面BDE的一个法向量为n=(a,b,c),则解得令b=1,则n=(1,1,).又AM平面BDE,所以n=0,即2(x-)+=0,得x=.所以M.4.A解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N.设M(x,y,z),点M在AC1上,且,(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z).x=a,y=,z=,得M.|=a.5.B解析(方法一)建立如图所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为,故所求的二面角的大小是45.图图(方法二)将其补成正方体.如图,不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角,其大小为45.6.C解析取B1C1的中点D1,以A1为原点,A1D1,A1A所在直线为x轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则C1(,1,0),A(0,0,2),=(,1,-2),平面BB1C1C的一个法向量为n=(1,0,0).所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为.7.30解析如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P.则=(2a,0,0),=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos=.=60,直线BC与平面PAC所成的角为90-60=30.8.解析因为=0,=0,所以ABAP,ADAP,则正确.又不平行,所以是平面ABCD的法向量,则正确.因为=(2,3,4),=(-1,2,-1),所以不平行,故错误.9.解析以D为原点,DA,DC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系.设M(x,y,0),设正方形边长为a,则P,C(0,a,0),则MC=,MP=.由MP=MC,得x=2y,所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y=x的一部分.10.(1)证明因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,ABAD,AB平面ABCD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD,PAAB=A,所以PD平面PAB.(2)解存在.取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以POAD.又因为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD,所以POCO.因为AC=CD,所以COAD.故PO,CO,OA两两垂直.建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).=(0,-1,1),=(2,1,0),=(0,1,1).设平面PCD的一个法向量n=(x,y,z),则令x=1,得y=-2,z=2.所以平面PCD的一个法向量n=(1,-2,2).设M是棱PA上一点,则存在0,1,使得=,因此点M(0,1-,),=(-1,-,).因为BM平面PCD,所以要使BM平面PCD,当且仅当n=0,即(-1,-,)(1,-2,2)=0,所以-1+4=0,解得=.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD,此时.11.(1)证明取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EFAD,EF=AD.由BAD=ABC=90得BCAD,又BC=AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)解由已知得BAAD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).设M(x,y,z)(0x1),则=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).因为BM与底面ABCD所成的角为45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos|=sin45,即(x-1)2+y2-z2=0.又M在棱PC上,设=,则x=,y=1,z=.由解得(舍去),所以M,从而.设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则即所以可取m=(0,-,2).于是cos=.因此二面角M-AB-D的余弦值为.12.B解析以点D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=(-1,-1,1),=-=0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.故选B.13.B解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设DC=DA=DD1=1,则D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),O,并设点P(0,1,t)且0t1.则=(-1,0,-1),=(0,1,-1).设平面A1BD的法向量为n=(x0,y0,z0),则有取x0=1,y0=-1,z0=-1,n=(1,-1,-1).sin=|cos|=(0t1),sin2=,0t1.令f(t)=,0t1,则f(t)=-,可知当t时,f(t)0;当t时,f(t)0.又f(0)=,f=1,f(1)=,f(t)max=f=1,f(t)min=f(0)=.sin的最大值为1,最小值为.sin的取值范围为.14.解析过C点作CO平面ABDE,垂足为O,取AB中点F,连接CF,OF,则CFO为二面角C-AB-D的平面角,设AB=1,则CF=,OF=CFcosCFO=,OC=,则O为正方形ABDE的中心,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则E,M,A,N,cos=.15.解如图,以A为原点,分别以方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明:=(0,2,0),=(2,0,-2),设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则不妨设z=1,可得n=(1,0,1).又=(1,2,-1),可得n=0.因为MN平面BDE,所以MN平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x,y,z)为平面EMN的法向量,则因为=(0,-2,-1),=(1,2,-1),所以不妨设y=1,可得n2=(-4,1,-2).因此有cos=-,于是sin=.所以,二面角C-EM-N的正弦值为.(3)依题意,设AH=h(0h4),则H(0,0,h),进而可得=(-1,-2,h),=(-2,2,2).由已知,得|cos|=,整理得10h2-21h+8=0,解得h=或h=.所以,线段AH的长为.16.(1)证明因为AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB,AO平面AEF,所以AO平面EFCB,所以AOBE.(2)解取BC中点G,连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形,所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB,又OG平面EFCB,所以OAOG.如图建立空间直角坐标系Oxyz,则E