九年级数学下册第30章样本与总体30.3借助调查做决策课件华东师大版20200325428.ppt
九年级数学下册 全一册课件（打包28套） 华东师大版
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第27章二次函数 27 1二次函数 1 探索具体问题中的数量关系和变化规律 2 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义 并了解二次函数的有关概念 我们学习过哪些函数 一次函数y kx b k 0 正比例函数y kx k 0 反比例函数 1 如图 设矩形花圃的垂直于墙的一边ab的长为 矩形的面积为y 2 能用含x的代数式来表示y吗 要用长为20m的铁栏杆 一面靠墙 围成一个矩形的花圃 怎样围法才能使围成的花圃的面积最大 做一做 2 试填下面的表 3 x的值可以任意取吗 有限定范围吗 4 我们发现y是x的函数 试写出这个函数的关系式 y x 20 2x 0 x 10 或y 2x2 20 x 0 x 10 18 18 32 14 42 16 10 50 8 48 6 42 4 32 18 2 解析 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售 一天可售出约100件 该店想通过降低售价 增加销售量的办法来提高利润 经过市场调查 发现这种商品单价每降低0 1元 其销售量可增加约10件 将这种商品的售价降低多少时 能使销售利润最大 1 设每件商品降低x元 0 x 2 该商品每天的利润为y元 y是x的函数吗 2 怎样写出该关系式 利润 售价 进价 销售量 100 10 8 100 10 8 10 x 8 10 x 8 100 100 x 100 100 x y 10 x 8 100 100 x 即y 100 x2 100 x 200 0 x 2 解析 讨论 得到的两个函数关系式有什么共同特点 答 1 右边都是关于x的整式 2 自变量x的最高次数是2 即都是自变量的二次整式 观察 1 y 2x2 20 x 0 x 10 2 y 100 x2 100 x 200 0 x 2 提问 对比一次函数 归纳二次函数的定义 想一想 y ax2 bx c 定义 形如y ax2 bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 如 y 5x2 100 x 63 a 5 100 b 63 c 思考 由问题1和2你认为判断一个函数是否是二次函数的关键是什么 判断一个函数是否是二次函数的关键是 看二次项的系数是否为0 1 上述概念中的a为什么不能是0 2 对于二次函数y ax2 bx c中的b和c可否为0 若b和c各自为0或均为0 上述函数的式子可以改写成怎样 你认为它们还是不是二次函数 议一议 规律方法 二次函数的一般形式是y ax2 bx c a b c是常数 a 0 常见的几种特殊形式 1 y ax2 a 0 但是b c 0 2 y ax2 bx a 0 且b 0 而c 0 3 y ax2 c a 0 且c 0 而b 0 像这些形式的函数都属于二次函数 例1 下列函数中 哪些是二次函数 哪些不是二次函数 1 y 3x 1 2 y 3x2 3 y 3x3 2x2 4 y 2x2 2x 1 5 y x 2 x 6 y x2 x 1 x 不是 是 不是 不是 是 不是 例题 思考 二次函数的一般式y ax2 bx c a 0 与一元二次方程ax bx c 0 a 0 有什么联系和区别 联系 1 等式一边都是ax2 bx c且a 0 2 方程ax2 bx c 0可以看成是函数y ax2 bx c中y 0时得到的 区别 前者是函数 后者是方程 等式另一边前者是y 后者是0 想一想 m2 2m 1 2 m 1 0 m 3 例2 m取何值时 函数y m 1 x m 3 x m是二次函数 解 由题意得 例题 例3 若函数y m 3 x m 2 x 2 当m时 函数是二次函数 当m 时 函数是一次函数 3 3 分析 当函数是二次函数时 其二次项系数a不能等于0 而当函数是一次函数时 二次项系数为0 而一次项系数不为0 例题 例4 1 写出正方体的表面积s与正方体棱长a之间的函数关系 并说出是什么函数 2 菱形的两条对角线的和为26cm 求菱形的面积s与一对角线x之间的函数关系 并说出是什么函数 解 s 6a2 它是一个关于a的二次函数 解 s x 26 x x2 13x 0 x 26 它是一个关于x的二次函数 例题 1 下列函数中 哪些是二次函数 哪些不是二次函数 1 y 3 x 1 1 3 s 3 2t 5 y x 3 x 6 v 10 r 是 不是 是 不是 不是 是 跟踪训练 解 s a a a 30 a 30a a a 30a 是函数关系 且是二次函数关系 2 用长为60m的篱笆围成矩形场地 场地面积s m 与矩形一边长a m 之间的关系是什么 是函数关系吗 是哪一种函数 4 如果函数y k 3 kx 1是二次函数 则k的值是 0 3 如果函数y kx 1是二次函数 则k的值是 0或3 1 物体从某一高度落下 已知下落的高度h m 与下落的时间t s 的关系是 h 4 9t2 填表表示物体下落的高度 4 9 19 6 44 1 78 4 122 5 2 某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆 长方体的长和宽相等 高比长多0 5m 1 长方体的长和宽用x m 表示 长方体需要涂漆的表面积s m2 如何表示 2 如果涂漆每平方米所需要的费用是5元 涂漆每个长方体所需要的费用用y 元 表示 那么y的表达式是什么 解析 1 s 2x2 x x 0 5 4 6x2 2x 2 y 5s 5 6x2 2x y 30 x2 10 x 3 若函数为二次函数 求m的值 解析 因为该函数为二次函数 则 解 得 m 2或m 1 解 得 所以m 2 规律方法 1 关于x的二次函数表达式y ax bx c的代数式一定是整式 a b c为常数 且a 0 2 等式的右边最高次数为2 可以没有一次项和常数项 但不能没有二次项 1 定义 形如y ax bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 2 y ax bx c a b c是常数 a 0 的几种不同表示形式 1 y ax a 0 b 0 c 0 2 y ax c a 0 b 0 c 0 3 y ax bx a 0 b 0 c 0 3 定义的实质是 ax bx c是整式 自变量x的最高次数是2 自变量x的取值范围是全体实数 失败往往是黎明前的黑暗 继之而出现的就是成功的朝霞 霍奇斯 27 2二次函数的图象与性质1 二次函数的图象与性质 1 经历探索二次函数y x2的图象的作法和性质的过程 获得利用图象研究函数性质的经验 2 能够利用描点法作出y x2的图象 并能根据图象认识和理解二次函数y x2的性质 3 能够作出二次函数y x2的图象 并能比较它与y x2的图象的异同 初步建立二次函数表达式与图象间的联系 函数 在一个变化过程中 如果有两个变量x与y 并且对于x的每一个确定的值 y都有唯一确定的值与其对应 那么就说x是自变量 y是x的函数 形如y ax2 bx c a b c为常数 a 0 的函数 叫做二次函数 其中 x是自变量 a b c分别是函数表达式的二次项系数 一次项系数和常数项 二次函数 思考 一次函数的图象是一条直线 反比例函数的图象是双曲线 二次函数的图象是什么形状呢 通常怎样画一个函数的图象 画二次函数y x2的图象 解 1 列表 2 描点 3 连线 根据表中x y的数值在坐标平面中描点 x y 再用平滑曲线顺次连结各点 就得到y x2的图象 y x2 请画出函数y x2的图象 解 1 列表 2 描点 3 连线 y x2 根据表中x y的数值在坐标平面中描点 x y 再用平滑曲线顺次连结各点 就得到y x2的图象 从图象可以看出 二次函数y x2和y x2的图象都是一条曲线 它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线 这样的曲线叫做抛物线 y x2的图象叫做抛物线y x2 y x2的图象叫做抛物线y x2 实际上 二次函数的图象都是抛物线 它们的开口向上或者向下 y x2 y x2 还可以看出 二次函数y x2和y x2的图象都是轴对称图形 y轴是它们的对称轴 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点 抛物线y x2的顶点 0 0 是它的最低点 抛物线y x2的顶点 0 0 是它的最高点 定义 例1 在同一平面直角坐标系中画出函数y x2和y 2x2的图象 解 1 列表 8 2 0 5 0 0 5 2 4 5 8 4 5 例题 2 描点 3 连线 函数y x2 y 2x2的图象与函数y x2的图象相比 有什么共同点和不同点 共同点 不同点 开口向上 除顶点外 图象都在x轴上方 开口大小不同 议一议 在同一平面直角坐标系中画出函数y x2和y 2x2的图象 x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 解 1 列表 y x2 做一做 2 描点 3 连线 共同点 不同点 开口向下 除顶点外 图象都在x轴下方 开口大小不同 函数y x2 y 2x2的图象与函数y x2的图象相比 有什么共同点和不同点 议一议 抛物线y ax2的对称轴是y轴 顶点是原点 当a 0时 抛物线的开口向上 顶点是抛物线的最低点 a越大 抛物线的开口越小 当a 0时 抛物线的开口向下 顶点是抛物线的最高点 a越大 抛物线的开口越大 在同一平面直角坐标系内 抛物线y ax2与抛物线y ax2是关于x轴对称的 a 0 a 0 规律方法 1 函数y 2x2的图象的开口 对称轴是 顶点是 2 函数y 3x2的图象的开口 对称轴是 顶点是 向上 向下 y轴 y轴 0 0 0 0 跟踪训练 3 观察函数y x2的图象 则下列判断中正确的是 a 若a b互为相反数 则x a与x b的函数值相等b 对于同一个自变量x 有两个函数值与它对应c 对任一个实数y 都有两个x和它对应d 对任意实数x 都有y 0 a 例2 已知y m 1 x是二次函数且其图象开口向上 求m的值和函数关系式 m2 m 解 依题意有 m 1 0 m2 m 2 解 得 m1 2 m2 1 由 得 m 1 m 1 此时 二次函数为 y 2x2 例题 1 盐城 中考 写出图象经过点 1 1 的一个函数关系式 答案 y x或y 或y x2 2x 答案不唯一 2 烟台 中考 如图 ab为半圆的直径 点p为ab上一动点 动点p从点a出发 沿ab匀速运动到点b 运动时间为t 分别以ap与pb为直径作半圆 则图中阴影部分的面积s与时间t之间的函数图象大致为 答案 d abcd a 4 4 b 1 4 c 2 0 d 0 4 3 哈尔滨 中考 在抛物线上的一个点是 答案 c 1 二次函数的图象都是抛物线 2 抛物线y ax2的图象性质 2 当a 0时 抛物线的开口向上 顶点是抛物线的最低点 当a 0时 抛物线的开口向下 顶点是抛物线的最高点 a 越大 抛物线的开口越小 1 抛物线y ax2的对称轴是y轴 顶点是原点 二次函数y ax2图象知识的归纳小结 增大 0 0 最低点 0 0 最高点 y轴 y轴 向上 向下 增大 减小 增大 增大 增大 减小 增大 y o x y x o 善性是难能可贵的 也是高尚和值得称赞的 亚里士多德 2 二次函数y ax2 bx c的图象与性质 第3课时 1 能够作出y a x h 2和y a x h 2 k的图象 并能理解它与y ax2的图象的关系 理解a h和k对二次函数的影响 2 能够正确说出y a x h 2 k的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 x y o 二次函数y 3x2 6x 5的图象是什么形状 它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系 解 y 3x2 6x 5 3 x 1 2 2 列表 x y 3 x 1 2 2 x 1 y 描点 连线 2 1 2 2 4 6 8 1 二次函数y 3 x 1 2 2的图象的开口方向 对称轴 顶点坐标和增减性分别是什么 2 它与抛物线y 3x 有什么关系 1 抛物线y x2 1的开口向 对称轴是 顶点坐标是 在对称轴的左侧 y随x的增大而 在右侧 y随x的增大而 可由y x2沿 轴向 平移 个单位而得到 2 抛物线y 2 x 3 2的开口向 对称轴是 顶点坐标是 在对称轴的左侧 y随x的增大而 在右侧 y随x的增大而 可由y 2x2沿 轴向 平移 个单位而得到 下 y轴 0 1 增大 减小 y 下 1 上 x 3 3 0 减小 增大 3 x 右 跟踪训练 3 抛物线y 2 x 3 1的开口向 对称轴为 顶点坐标为 当x 时 y随x的增大而增大 4 二次函数化为y a x h k的形式是 a b c d 下 x 3 3 1 3 答案 a 5 抛物线y 3x 先向上平移2个单位 后向右平移3个单位 所得到的抛物线是 a y 3 x 3 2b y 3 x 3 2c y 3 x 3 2d y 3 x 3 26 某二次函数的图象向左平移2个单位 然后向上平移3个单位后 得到的函数表达式是y 2x 则原函数关系式是 答案 d y 2 x 2 2 3 7 如图 抛物线的顶点p的坐标是 1 3 则此抛物线对应的二次函数有 a 最大值1b 最小值 3c 最大值 3d 最小值1 答案 b 8 已知二次函数y a x 1 c的图象如图所示 则函数y ax c的图象只可能是图中的 a b c d 答案 c 1 襄樊 中考 将抛物线向上平移2个单位 再向右平移1个单位后 得到的抛物线的关系式为 答案 b 2 宁夏 中考 把抛物线向左平移1个单位 然后向上平移3个单位 则平移后抛物线的关系式是 b c d a a 0 5b 0 1c 4 5d 4 1 3 安徽 中考 若二次函数配方 后为 则b k的值分别为 答案 d 4 重庆 中考 已知抛物线y ax2 bx c在平面直角坐标系中的位置如图所示 则下列结论中 正确的是 a b c d 解析 选d 抛物线开口向下 a 0 对称轴在y轴的右边 b 0 抛物线与y轴交于正半轴 c 0 当x 1时 y 0 即a b c 0 二次函数y a x h k与y ax 的关系 y ax a 0 y ax k a 0 y a x h a 0 y a x h k a 0 沿对称轴向上 k 0 下 k 0 平移 k 个单位 沿x轴向左 h0 平移 h 个单位 再沿x轴向左 h0 平移 h 个单位 再沿对称轴向上 k 0 下 k 0 平移 k 个单位 注 上加下减 左加右减 忍耐是痛苦的 但它的果实是甜蜜的 卢梭 2 二次函数y ax2 bx c的图象与性质 第4课时 1 会用配方法将二次函数y ax2 bx c化为形如y a x h 2 k的形式 总结归纳并掌握二次函数y ax2 bx c的性质 2 理解并掌握二次函数y ax2 bx c的顶点 对称轴与a b c的关系 2 你能用配方的方法把y 3x2 6x 5变形成y a x h 2 k的形式吗 1 二次函数y 3x2 6x 5的图象是什么形状 它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系 4 在同一平面直角坐标系中作出二次函数y 3x2和y 3 x 1 2的图象 3 由于y 3x2 6x 5 3 x 1 2 2 因此我们先作二次函数y 3 x 1 2的图象 观察图象 回答问题 1 函数y 3 x 1 2的图象与y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 2 x取哪些值时 函数y 3 x 1 2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时 函数y 3 x 1 2的值随x值的增大而减小 1 在同一平面直角坐标系中作出二次函数y 3x y 3 x 1 2和y 3 x 1 2 2的图象 2 二次函数y 3x y 3 x 1 2和y 3 x 1 2 2的图象有什么关系 它们的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 作图看一看 顶点是 1 2 开口向上 当x 1时有最小值 且最小值为2 x 1 对称轴仍是平行于y轴的直线 x 1 增减性与y 3x2类似 解析 二次函数y 3 x 1 2 2的图象可以看作是抛物线y 3x2先沿着x轴向右平移1个单位 再沿直线x 1向上平移2个单位后得到的 1 在同一平面直角坐标系中作出二次函数y 3 x 1 2 2 y 3 x 1 2 2 y 3x 和y 3 x 1 2的图象2 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2和y 3x 的图象有什么关系 它们是轴对称图形吗 它们的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而减小 做一做 顶点分别是 1 2 和 1 2 开口向下 当x 1时y有最大值 且最大值为2 或最大值为 2 y x 1 对称轴仍是平行于y轴的直线x 1 增减性与y 3x2类似 解析 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2的图象可以看作是抛物线y 3x2先沿着x轴向右平移1个单位 再沿直线x 1向上 或向下 平移2个单位后得到的 规律方法 二次函数y a x h k与y ax 的关系一般地 由y ax 的图象便可得到二次函数y a x h k的图象 y a x h k a 0 的图象可以看成y ax 的图象先沿x轴整体向左 右 平移 h 个单位 当h 0时 向右平移 当h0时向上平移 当k 0时 向下平移 得到的 因此 二次函数y a x h k的图象是一条抛物线 它的开口方向 对称轴和顶点坐标与a h k的值有关 二次函数y a x h 2 k的图象和性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 y x x y 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y a x h 2 k a 0 y a x h 2 k a 0 h k h k 直线x h 直线x h 由h和k确定 由h和k确定 向上 向下 当x h时 最小值为k 当x h时 最大值为k 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 根据图形填表 1 指出下列函数图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 跟踪训练 2 1 二次函数y 3 x 1 2的图象与二次函数y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 2 二次函数y 3 x 2 2 4的图象与二次函数y 3x2的图象有什么关系 对于二次函数y 3 x 1 2 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而减小 二次函数y 3 x 1 2 4呢 解析 1 二次函数y 3 x 1 2的图象由二次函数y 3x2的图象向左平移1个单位得到 它是轴对称图形 它的对称轴是直线x 1 顶点坐标是 1 0 2 二次函数y 3 x 2 2 4的图象由二次函数y 3x2的图象向右平移2个单位再向上平移4个单位得到 对于二次函数y 3 x 1 2 当x 1时 y的值随x值的增大而增大 当x 1时 y的值随x值的增大而减小 二次函数y 3 x 1 2 4的增减性与y 3 x 1 2相同 3 心理学家发现 学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x 单位 min 之间满足函数关系y 0 1x 2 6x 43 0 x 30 y值越大 表示接受能力越强 1 x在什么范围内 学生的接受能力逐步增强 x在什么范围内 学生的接受能力逐步降低 2 第10min时 学生的接受能力是多少 3 多长时间时 学生的接受能力最强 为多少 1 当0 x 13时 学生的接受能力逐步增强 当13 x 30时 学生的接受能力逐步降低 2 当x 10时 y 59 3 当x 13时 学生的接受能力最强为59 9 解 y 0 1 x 13 59 9 0 x 30 1 黔东南州 中考 在平面直角坐标系中 若关系式为y 2x2 4x 5的函数图象沿着x轴向左平移两个单位 再沿着y轴向下平移一个单位 此时图象的关系式为 a y 2 x 3 4b y 2 x 3 2c y 2 x 1 4d y 2 x 1 2 答案 d 2 兰州 中考 抛物线的图象向右 平移2个单位再向下平移3个单位 所得图象的关系式为 则b c的值为 a b 2 c 2b b 2 c 0c b 2 c 1d b 3 c 2 答案 b a 最小值 3b 最大值 3c 最小值2d 最大值2 3 金华 中考 已知抛物线的开口 向下 顶点坐标为 2 3 那么该抛物线有 答案 b 4 台州 中考 如图 点a b的坐标分别为 1 4 和 4 4 抛物线的顶点在线段ab上运动 与x轴交于c d两点 c在d的左侧 点c的横坐标最小值为 3 则点d的横坐标最大值为 a 3b 1c 5d 8 答案 d 二次函数y a x h k与y ax 的关系1 相同点 1 形状相同 图象都是抛物线 开口方向相同 2 都是轴对称图形 3 都有最 大或小 值 4 a 0时 开口向上 在对称轴左侧 y都随x的增大而减小 在对称轴右侧 y都随x的增大而增大 a 0时 开口向下 在对称轴左侧 y都随x的增大而增大 在对称轴右侧 y都随x的增大而减小 2 不同点 1 位置不同 2 顶点不同 分别是 h k 和 0 0 3 对称轴不同 分别是直线x h和y轴 4 最值不同 分别是k和0 3 联系 y a x h k a 0 的图象可以看成是y ax 的图象先沿x轴整体向左 右 平移 h 个单位 当h 0时 向右平移 当h0时 向上平移 当k 0时 向下平移 得到的 忍耐之草是苦的 但最终会结出甘甜而柔软的果实 辛姆洛克 3 求二次函数的关系式 1 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式 2 使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式 3 让学生体验二次函数的函数关系式的应用 提高学生应用数学的意识 二次函数是初中代数的重要内容之一 也是历年中考的重点 这部分知识命题形式比较灵活 既有填空题 选择题 又有解答题 而且常与方程 几何 三角函数等综合在一起 出现在压轴题之中 因此 熟练掌握二次函数的相关知识 会灵活运用一般式 顶点式 交点式求二次函数的关系式是解决综合应用题的基础和关键 一 二次函数常用的几种关系式的确定 已知抛物线上三点的坐标 通常选择一般式 已知抛物线上顶点坐标 对称轴或最值 通常选择顶点式 已知抛物线与x轴的交点坐标 通常选择交点式 1 一般式 2 顶点式 3 交点式 4 平移式 将抛物线平移 函数关系式中发生变化的只有顶点坐标 可将原函数用顶点式表示 再根据 左加右减 上加下减 的法则 即可得出所求新函数的关系式 转化思想解方程或方程组 二 求二次函数关系式的思想方法 1 求二次函数关系式的常用方法 2 求二次函数关系式的常用思想 3 二次函数关系式的最终形式 待定系数法 配方法 数形结合法等 无论采用哪一种关系式求解 最后结果都化为一般式 例1 已知二次函数的图象如图所示 求其关系式 例题 解法一 一般式 顶点c 1 4 对称轴x 1 a 1 0 关于x 1对称 b 3 0 a 1 0 b 3 0 和c 1 4 在抛物线上 即 设关系式为 解法二 顶点式 顶点c 1 4 又 a 1 0 在抛物线上 a 1 h 1 k 4 设关系式为 即 解法三 交点式 抛物线与x轴的两个交点的坐标为a 1 0 b 3 0 y a x 1 x 3 又 c 1 4 在抛物线上 4 a 1 1 1 3 a 1 y x 1 x 3 设关系式为 即 本题可采用一般式 顶点式和交点式求解 通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便 同时也培养学生一题多思 一题多解的能力 从不同角度进行思维开放 解题方法开放的培养 注重解题技巧的养成训练 可事半功倍 评析 归纳升华 例2 已知 如图是某一抛物线形拱形桥 拱桥底面宽度ob是12米 当水位是2米时 测得水面宽度ac是8米 1 求拱桥所在抛物线的关系式 2 当水位是2 5米时 高1 4米的船能否通过拱桥 请说明理由 不考虑船的宽度 船的高度指船在水面上的高度 例题 e f 解 1 由图可知 四边形acbo是等腰梯形 过a c作ob的垂线ae cf 垂足分别为e f点 oe bf 12 8 2 2 o 0 0 b 12 0 a 2 2 又 点a 2 2 在图象上 设关系式为 a 0 1 即 p q 2 分析 船能否通过 只要看船在拱桥正中间时 船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标 y 水位 船高 2 5 1 4 3 9 3 6 当水位为2 5米时 船不能通过拱桥 顶点 6 3 6 pq是对称轴 例3 将抛物线向左平移4个单位 再向下平移3个单位 求平移后所得抛物线的关系式 1 已知二次函数的图象过原点 当x 1时 y有最小值为 1 求其关系式 解 设二次函数的关系式为y a x h 2 k 当x 1时 y有最小值为 1 顶点为 1 1 又 0 0 在抛物线上 a 1 跟踪训练 2 已知二次函数与x轴的交点坐标为 1 0 1 0 点 0 1 在图象上 求其关系式 解 设所求的关系式为y a x x1 x x2 抛物线与x轴的交点坐标为 1 0 1 0 又 点 0 1 在图象上 a 1 x1 1 x2 1 y a x 1 x 1 1 a 0 1 0 1 即 y x2 1 y x 1 x 1 3 如图 有一个抛物线形的隧道桥拱 这个桥拱的最大高度为3 6米 跨度为7 2米 一辆卡车高3米 宽1 6米 它能否通过隧道 即当x oc 1 6 2 0 8米时 过c点作cd ab交抛物线于d点 若y cd 3米 则卡车可以通过 分析 卡车能否通过 只要看卡车在隧道正中间时 其车高3米是否超过其位置的拱高 解 由图知 ab 7 2米 op 3 6米 a 3 6 0 b 3 6 0 p 0 3 6 又 p 0 3 6 在图象上 卡车能通过这个隧道 设关系式为y a x x1 x x2 3 6 a 0 3 6 0 3 6 a 当x oc 0 8时 4 将二次函数的图象向右平移1个单位 再向上平移4个单位 求其关系式 解 二次函数关系式为 1 由向右平移1个单位得 左加右减 2 再把向上平移4个单位得 上加下减 即 所求的关系式为 1 乐山 中考 设a b是常数 且b 0 抛物线y ax2 bx a2 5a 6为下图中四个图象之一 则a的值为 答案 d a 6或 1b 6或1c 6d 1 中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示 点a x1 y1 b x2 y2 在函数的图象上 当0 x1 1 2 x2 3时 y1与y2的大小关系正确的是 a y1 y2b y1 y2c y1 y2d y1 y2 2 鄂尔多斯 中考 已知二次函数 答案 c 3 自贡 中考 y x2 1 a x 1是关于x的二次函数 当x的取值范围是1 x 3时 y在x 1时取得最大值 则实数a的取值范围是 a a 5b a 5c a 3d a 3 答案 b 4 咸宁 中考 已知抛物线 a 0 过a 2 0 o 0 0 b 3 y1 c 3 y2 四点 则y1与y2的大小关系是 a y1 y2b y1 y2c y1 y2d 不能确定 答案 a 5 柳州 中考 抛物线y x2 bx c上部分点的横坐标x 纵坐标y的对应值如下表 从上表可知 下列说法正确的个数是 抛物线与x轴的一个交点为 2 0 抛物线与y轴的交点为 0 6 抛物线的对称轴是 x 1 在对称轴左侧y随x的增大而增大a 1个b 2个c 3个d 4个 答案 c 1 二次函数常用关系式 1 已知图象上三点坐标 通常选择一般式 2 已知图象的顶点坐标 对称轴或最值 通常选择顶点式 3 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1 x2 通常选择交点式 一般式 顶点式 交点式 2 求二次函数关系式的一般方法 4 已知图象发生的平移变化 上下或左右平移 通常选择平移式 平移式 海浪为劈风斩浪的航船饯行 为随波逐流的轻舟送葬 27 3实践与探索 第1课时 1 经历探索实践问题的解决过程 体会二次函数是解决一类最优化问题的数学模型 感受数学的应用价值 2 掌握实际问题中变量之间的二次函数关系 并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值 最小值 二次函数关系式的几种表达式 一般式 y ax2 bx c 顶点式 y a x h 2 k a 0 两根式 y a x x1 x x2 例1 桃河公园要建造圆形喷水池 在水池中央垂直于水面处安装一个柱子oa o恰在水面中心 oa 1 25m 由柱子顶端a处的喷头向外喷水 水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下 为使水流形状较为漂亮 要求设计成水流在离oa距离为1m处达到最大高度2 25m 如果不计其他因素 那么水池的半径至少要多少m 才能使喷出的水流不致落到池外 例题 解 建立如图所示的平面直角坐标系 根据题意得 a 0 1 25 顶点b 1 2 25 当y 0时 得点c 2 5 0 同理 点d 2 5 0 根据对称性 那么水池的半径至少要2 5m 才能使喷出的水流不致落到池外 设抛物线为y a x h 2 k 由待定系数法可求得抛物线关系式为 y x 1 2 2 25 b 1 2 25 0 1 25 例2 如图 二次函数y x2 4x 3的图象交x轴于a b两点 交y轴于点c 设抛物线的顶点为p 1 求 abc cob的面积 2 求四边形capb的面积 例题 解 1 y x2 4x 3 x 2 2 1 顶点坐标是 2 1 y x2 4x 3 0时 x1 1 x2 3 a 1 0 b 3 0 二次函数y x2 4x 3与y轴的交点是c 0 3 ab 3 1 2 ob 3 0 3 abc的高 3 3 abp的高 1 1 s abc 2 3 2 3s cob 3 3 2 4 5 2 s abp 2 1 2 1 s四边形capb s abc s abp 3 1 4 如图 二次函数的图象经过a b c三点 1 求这个二次函数的关系式 2 抛物线上是否存在一点p p不与c重合 使 pab的面积等于 abc的面积 如果存在 求出点p的坐标 若不存在 请说明理由 跟踪训练 解 1 抛物线与x轴交于a 2 0 b 4 0 两点 设抛物线的关系式为y a x x1 x x2 a x 2 x 4 抛物线过点c 0 3 3 a 0 2 0 4 得a y x 2 x 4 x2 x 3 2 假设存在一点p 使 pab的面积等于 abc的面积设点p的坐标为 x0 y0 s abc 4 2 3 2 9 s abp 4 2 y0 2 9 y0 3即y0 3当y0 3时 x2 x 3 3 解得 1 兰州 中考 如图 小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子 给小明做了一个简易的秋千 拴绳子的地方距地面高都是2 5米 绳子自然下垂呈抛物线状 身高1米的小明距较近的那棵树0 5米时 头部刚好接触到绳子 则绳子的最低点距地面的距离为米 答案 2 定西 中考 向空中发射一枚炮弹 经x秒后的高度为y米 且时间与高度的关系式为y ax2 bx c a 0 若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等 则在下列时间中炮弹所在高度最高的是 a 第8秒b 第10秒c 第12秒d 第15秒 答案 b 3 青海 中考 某水果批发商场经销一种水果 如果每千克盈利5元 每天可售出200千克 经市场调查发现 在进价不变的情况下 若每千克涨价1元 销售量将减少10千克 1 现该商场要保证每天盈利1500元 同时又要顾客得到实惠 那么每千克应涨价多少元 2 若该商场单纯从经济利益角度考虑 这种水果每千克涨价多少元 能使商场获利最多 解析 1 设每千克应涨价x元 列方程得 5 x 200 10 x 1500解得 x1 10 x2 5因为要顾客得到实惠 5 10所以x 5答 每千克应涨价5元 2 设商场每天获得的利润为y元 则根据题意 得y x 5 200 10 x 10 x2 150 x 1000当x 时 y有最大值 因此 这种水果每千克涨价7 5元时 能使商场获利最多 4 德州 中考 为迎接第四届世界太阳城大会 德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯 已知太阳能路灯售价为5000元 个 目前两个商家有此产品 甲商家用如下方法促销 若购买路灯不超过100个 按原价付款 若一次购买100个以上 且购买的个数每增加一个 其价格减少10元 但太阳能路灯的售价不得低于3500元 个 乙商家一律按原价的80 销售 现购买太阳能路灯x个 如果全部在甲商家购买 则所需金额为y1元 如果全部在乙商家购买 则所需金额为y2元 1 分别求出y1 y2与x之间的函数关系式 2 若市政府投资140万元 最多能购买多少个太阳能路灯 当x 100时 因为购买个数每增加一个 其价格减少10元但售价不得低于3500元 个 所以x 即100 x 250时 购买一个需5000 10 x 100 元 故y1 6000 x 10 x2 解析 1 由题意可知 当x 100时 购买一个需5000元 故y1 5000 x 当x 250时 购买一个需3500元 故y1 3500 x 2 当0 x 100时 y1 5000 x 500000 1400000 当100 x 250时 y1 6000 x 10 x2 10 x 300 2 900000 14000
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