四川省树德中学2020届高三数学上学期11月阶段性检测试题 文（PDF）

高高 20172017 级高三上期级高三上期 1 11 1 月阶段性测试数学试题 文科 月阶段性测试数学试题 文科 考试时间 120 分钟 全卷满分 150 分 i 卷 一 选择题 共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 1 设集合 1 0 a bt tyx xa ya 则ab a 1 b 1 c 1 1 d 1 0 2 在复平面内 给出以下四个说法 实轴上的点表示的数均为实数 虚轴上的点表示的数均为纯虚数 互为共轭复数的两个复数的实部相等 虚部互为相反数 已知复数z满足 1 3i zi 则1 2zi 其中说法正确的个数为 a1 b2 c3 d4 3 设等比数列 n a前n项和为 n s 2 1a 2 57 2aa 则 6 s a31 b 63 2 c63 d 31 2 4 采用系统抽样法从960人中抽取40人参与一项问卷调查 为此将他们随机编号为1 2 960 并按编号依序分为第一组 第二组 第四十组 然后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的 号码为9 那么 在第八组中抽到的编号是 a129 b153 c177 d 201 5 魏晋时期数学家刘徽在他的著作 九章算术注 中 称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所 围成的几何体为 牟合方盖 刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与 牟合方盖 的体积之 比应为 4 若已知正方体的棱长为2 则 牟合方盖 的体积为 a16 b16 3 c 16 3 d 128 3 6 如图 一高为h且装满水的鱼缸 其底部设计了一个排水小孔 当小孔打开时 水从孔中匀速流出 水流完所用时间为t 若鱼缸 水深为h时 水流出所用时间为t 则函数 hf t 的图象大致是 a b c d 7 如图三棱锥sabc 中 sa 底面abc abbc 2abbc 2 2sa 则sc与ab所成角的大小为 a90 b60 c45 d30 8 我国现代著名数学家徐利治教授提出 图形的对称性是数学美的具体内容 如图 一个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何图形 正方形 abcd所围成的区域记为 在圆内且在正方形abcd外的部分记为 在圆外且在大正方形内的部分记为 在整个图形中随机取一点 此点取自 的概率分别记为 123 ppp 则 a 123 ppp b 132 ppp c 123 ppp d 123 ppp 9 如图所示框图 若输入三个不同的实数x 输出的y值相同 则此输出结果y可能是 a2 b1 c 1 2 d4 10 平面直角坐标系中 过坐标原点o和点 0 1 分别作曲线 x c ye 的切线 1 l和 2 l 则直线 1 l 2 l与y轴所围成的封闭图形的面积为 a 1 22e b 22 e e c 1 2 e d 2 2 1 e e 11 已知椭圆 双曲线均是以线段ac的两端点为焦点的曲线 点b是它们的一个公共点 且满足0ba bc 记此椭圆和双曲线的离心率分别为 12 ee 则 22 12 11 ee a 3 2 b2 c 5 2 d 3 12 已知 yf x 是定义在r上的偶函数 且 1 1 fxf x 当 1 0 x 时 3 f xx 则函数 cos g xf xx 在区间 5 1 2 2 上的所有零点之和为 a7 b6 c5 d4 ii 卷 二 填空题 共 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 13 已知以点c 1 2 为圆心的圆c与直线20 xy 相切 则圆c的方程为 14 在矩形abcd中 2ab 4ad 1 3 ammd 则bm mc 15 已知函数 2 ln1f xxx 设 3 log 0 2af 0 2 4bf 1 1 2cf 请将abc 按照由大到小的排列顺序写出 16 已知数列 n a满足 23 123 2222 n n aaaan nn 记数列 221 1 loglog nn aa 的 前n项和为 n s 则 123 n ssss s a bc 2019 11 高三数月 11 文 第 1 页共 2 页 a b c a1 b1 c1 e f 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个 试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 abc 的内角 a b c所对的边长分别为 a b c 且 23 cos3 cosbcaac 求角a的大小 若角 6 b 点m为bc边上靠近点c的一个四等分点 且am的长为21 求abc 的 面积 abc s 18 12 分 如图 已知直三棱柱 111 abcabc 中 abac 1 2abacaa e是bc的中点 f是 1 ae上一点 且 1 2affe 证明 af 平面 1 abc 求三棱锥 11 cafc 的体积 19 12 分 某市房管局为了了解该市市民 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间购买二手房情况 首先随 机抽样其中 200 名购房者 并对其购房面积m 单位 平方米 60130m 进行了一次调查统 计 制成了如图 1 所示的频率分布直方图 接着调查了该市 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间当月在 售二手房均价y 单位 万元 平方米 制成了如图 2 所示的散点图 图中月份代码 1 13 分别对 应 2018 年 1 月至 2019 年 1 月 试估计该市市民的购房面积的中位数 0 m 现采用分层抽样的方法从购房面积位于 110 130 的 40 位市民中随机抽取 4 人 再从这 4 人 中随机抽取 2 人 求这 2 人的购房面积恰好有一人在 120 130 的概率 根据散点图选择 yab x 和 lnycdx 两个模型进行拟合 经过数据处理得到两个回 归方程 分别为 0 93690 0285yx 和 0 95540 0306lnyx 并得到一些统计量的值 如下表所示 0 93690 0285yx 0 95540 0306lnyx 13 2 1 ii i yy 0 000591 0 000164 13 2 1 i i yy 0 006050 请利用相关指数 2 r判断哪个模型的拟合效果更好 并用拟合效果更好的模型预测出 2019 年 12 月份的二手房购房均价 精确到0 001 参考数据 ln20 69 ln31 10 ln233 14 ln253 22 21 41 31 73 234 80 参考公式 2 2 1 2 1 1 n ii i n i i yy r yy 20 12 分 设椭圆 22 1 22 1 0 xy cab ab 的一个顶点与抛物线 2 2 4cxy 的焦点重合 12 ff 分别是椭圆 1 c的左 右焦点 其离心率 6 3 e 过椭圆 1 c右焦点 2 f的直线l与椭圆 1 c 交于ab 两点 求椭圆 1 c的方程 是否存在直线l 使得1oa ob 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 21 12 分 已知函数 2 1 ln 2 f xxxax ar 讨论 f x的单调性 若 12 xx 为 f x的两个极值点 证明 2 1212 44 282 f xf xxxaa f 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 若多做 则按所做的第一题记分 22 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知极点与坐标原点o重合 极轴与x轴非负半轴重合 m是曲线 1 2sinc 上任一点 点p满足3opom 设点p的轨迹为q 求曲线q的平面直角坐标方程 将曲线q向右平移1个单位后得到曲线n 设曲线n与直线 1 xt l yt t为参数 相交于 ab 两点 记点 0 1 t 求 tatb 23 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 5 f xx 求不等式 2 3f xf x 的解集 若0a 16 1 1n 三 解答题 17 解 由 23 cos3 cosbcaac 结合正弦定理可得 2sin3sin cos3sincosbcaac 从而有2sincos3sin 3sinbaacb 由abc 中 sin0b 则 3 cos 2 a 故得 6 a 为所求 6 分 由 知 6 a 又 6 b 则cacb 且 2 3 c 设cmx 则4cax 又21am 那么在amc 中 有余弦定理可得 2 2 2 2 21424cos 3 xxxx 解得1x 从而可得 2 112 sin4sin4 3 223 abc sca cbcx 为所求 12 分 18 解 由题意知 等腰直角三角形abc 中 中线aebc 且 1 2 2 aebc 而直三棱柱 111 abcabc 中 1 aa 底面abc 从而知 1 aaae 1 aabc 一方面 在 1 rt a ae 中 因为 1 2a a 2ae 则 1 6ae 由 1 2affe 可得 6 3 ef 从而可知 1 aeae efae 又 1 aefaea 则得 1 aefaea 由此可得 1 90afea ae 即有 1 afae 另一方面 由 1 aabc aebc 1 aaaea 得bc 平面 1 a ae 又af 平面 1 a ae 则知bcaf 综上 1 afae 且afbc 又 1 bcaee 故af 平面 1 abc 得证之 6 分 如图 过点e作edac 于d 连接 1 ad 在 1 aed 中作 fged 交 1 ad于g 由 1 aa 底面abc 则 1 aaed 又因为edac 1 aaaca 则ed 平面 1 aac 那么平面fg 1 aac 由 2212 3323 fgedab 11 1 2 22 2 acc s 可得 1111 1124 2 3339 ca fcacc vsfg 为所求 12 分 说明 18 题两个小问的解法思路均不唯一 请依据实际解答 酌情判分 i 也可补形为正方体中研究 或注意到三棱锥 1 aabc 是正三棱锥的特征应用 或用面面垂直 证明线面垂直等 ii 也可考虑用等体积转换的方法求解之 19 解 由频率分布直方图 可得 前三组频率和为0 050 1 0 20 35 前四组频率和为 0 050 1 0 20 250 6 故中位数出现在第四组 且 0 0 15 90 1096 0 25 m 4 分 设从位于 110 120 的市民中抽取x人 从位于 120 130 的市民中抽取y人 由分层抽样可知 4 403010 xy 则3x 1y 在抽取的4人中 记 3 名位于 110 120 的市民为 123 a a a 位于 120 130 的市民为b 则所有抽样情况为 121312323 a aa aa ba aa ba b 共 6 种 而其中恰有一人在 120 130 的情况共有 3 种 故所求概率 31 62 p 8 分 设模型 0 93690 0285yx 和 0 95540 0306lnyx 的相关指数分别为 22 12 rr 则 2 1 0 000591 1 0 006050 r 2 2 0 000164 1 0 006050 r 显然 22 12 rr恒成立 且有 2 12 2 6 2 31 k xx k 2 12 2 63 31 k x x k 那么 22 12121212 2 2 2 2y ykxxkx xxx 2222 2 2222 631262 31313131 kkkk k kkkk 则 2 1212 2 53 1 31 k oa obx xy y k 由此解得 1 2 k 为所求 12 分 c ab m x 3x 4x 21 2019 11 高三数月 11 文 第 3 页共 2 页 21 f x的定义域为 0 2 1 0 xax fxx x 法一 考察 u x的图象特征 分析导函数的正负 记 2 1u xxax 注意到 u x图象开口向上 对称轴为 2 a x 图象过定点 0 1 在区间 0 上讨论如下 1 当0 2 a 即0a 时 如右图可知 0 10u xu 则 0fx 恒成立 此时 f x在 0 上为增函数 2 当0 2 a 即0a 时 由 2 4a 若0 即20a 即2a 此时 0fx 12 0u xxxx 此时 0fx 则可得 f x在 1 0 x上为增 在 12 x x上为减 在 2 x 上为增 综上所述 当2a 时 f x在 0 上为增函数 当2a 并注意到 x 的值域为 2 考察直线ya 与 1 0 xxx x 的图象的交点情况 讨论如下 1 当2a 即2a 时 可知 1 0fxax x 恒成立 此时 f x在 0 上为增函数 2 当2a 即2a 的图象有两个不同交点 1 xa 2 xa 且由 1 ax x 可解得 2 1 4 2 aa x 2 2 4 2 aa x 那么可得 当 1 0 xx 时 0fx 当 12 xxx 时 0fx 则可得 f x在 1 0 x上为增 在 12 x x上为减 在 2 x 上为增 综上所述 当2a 时 f x在 0 上为增函数 当2a 时 f x在 1 0 x上为增 在 12 x x上为减 在 2 x 上为增 6 分 由 可知2a 令 2 a t 则1t 那么等价于证明ln10 1 ttt 构造函数 ln1 1 g tttt 有 11 10 t g t tt 那么有 g t在区间 1 上为减函数 故 1 0g tg 即ln10 1 ttt 成立 综上可得 所证不等式成立 12 分 22 解 设 p 由3opom 可知点3opom 那么 3 m 将