向量组与矩阵ppt课件

1向量组与矩阵2极大线性无关组与向量组的秩3向量组的秩与矩阵秩的关系 第三章第二讲 一 向量组与矩阵 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵 m个n维的行向量所组成的向量组构成矩阵 n个m维的列向量所组成的向量组构成矩阵 向量组称为矩阵A的行向量组 问题 是否可以利用矩阵来研究向量组的相关问题 例如研究列向量组的线性相关性 只须考察方程 是否有非零解 利用矩阵乘法 方程变形为 这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论 行向量组线性相关的充要条件是 线性无关的充要条件是 推论 定理1 若列向量组所构造的矩阵A 则 例1讨论下列向量组的线性相关性 解 1 向量组是3个二维向量 故线性相关 2 由矩阵 1 如果线性相关 那么也线性相关 定理3在r维向量组的各向量添上n r个分量变成n维向量组 2 如果线性无关 那么也线性无关 定理2设p1 p2 pn为1 2 n的一个排列 和为两向量组 其中 即是对各分量的顺序进行重排后得到的向量组 则这两个向量组有相同的线性相关性 证明 考察向量组 设 则其行列式 B 为范德蒙行列式 所以线性无关 从而线性无关 二 极大线性无关组与向量组的秩 定义1一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组 如果这个部分组本身是线性无关的 并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量 如果还有的话 所得的部分组都线性相关 极大无关组中向量的个数就称为向量组的秩 易知有如下结论 1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价 2 向量组线性无关当且仅当其秩等于向量组所含向量的个数 例3基本向量组是Rn的极大无关组 解由上一节 基本向量组是线性无关的 且任何一个n维向量都可以由它线性表示 即坐标表示 定理4如果向量组能由向量组线性表出 且向量组A线性无关 那么 证明 不妨设所给向量都是列向量 记矩阵 由已知可得 记 则 反证法 假设 则矩阵K的列向量组线性相关 即有不全为0的数 使得 即 与向量组A线性无关矛盾 所以 推论2等价的向量组必有相同的秩 推论1等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量 推论3秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组 三 向量组的秩与矩阵的秩的关系 设矩阵 则矩阵A可以看作由m个n维行向量或n个m维列向量构成 从而可以得到一个行向量组和列向量组 矩阵A行向量组的秩称为A的行秩 列向量组的秩称为列秩 定理5矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩 证设矩阵A的行秩为r1 A的列秩为r2 那么 A中有r1个行向量线性无关 从而A中有一个r1级子式D不为零 那么A中子式D所在的r1个列向量也线性无关 即有 再由矩阵秩的定义 证毕 定理6如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B 则A的列向量与B中对应的列向量有相同的线性关系 因此 我们不仅可以利用矩阵的初等行变换求出列向量的秩 还可以进一步确定其中某个部分组的线性相关性 并求出出它的极大线性无关组 同理可证 因而 例4求下面向量组的秩和一个极大无关组 并把不属于该极大无关组的向量用该极大无关组线性表示 解把向量组按列排成矩阵A 注意 求向量组的秩和极大线性无关组时 若所给向量是行向量 也要先按列排成矩阵 再作初等行变换 若没有要求交其余向量用所求的极大线性无关组线性表示 则只要化为行阶梯形就行了 而不必化为行最简形 例5求下面向量组的秩和一个极大无关组 解把向量组按列排成矩阵A 四 小结 初等变换法求秩 3 向量组的秩的概念及与矩阵秩的关系 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 2 极大线性无关向量组的概念 最大性 线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系 矩阵的秩 矩阵列向量组的秩 矩阵行