2019-2020年三年级数学 奥数讲座 乘、除法的运算律和性质.doc

2019-2020年三年级数学 奥数讲座 乘、除法的运算律和性质我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。1.乘法的运算律乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。即ab=ba。其中，a，b为任意数。例如，35120=12035=4200。乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。即abc=(ab)c=a(bc)。注意：(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。(2)这两个运算律常一起并用。例如，并用的结果有abc=b(ac)等。例1计算下列各题：(1)17425； (2)125198；(3)12572； (4)2512516。分析：由于254=100，1258=1000，1254=500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算。解：(2)125198=(1258)19=100019=19000；(3)12572=125(89)=(1258)9=10009=9000；(4)2512516或=2512528=(252)(1258)=501000=50000，2512516=2512544=(254)(1254)=100500=50000。乘法分配律：两个数之和(或差)与一数相乘，可用此数先分别乘和(或差)中的各数，然后再把这两个积相加(或减)。即(a+b)c=ac+bc，(a-b)c=ac-bc。例2计算下列各题：(1)125(40+8)； (2)(100-4)25；(3)xx25； (4)125792。解：(1)125(40+8)=12540+1258 =5000+1000=6000；(2)(100-4)25=10025-425=2500-100=2400；(3)xx25=(xx+4)25=xx25+425=50000+100=50100；(4)125792=125(800-8)=125800-1258=(1258)100-1000=1000100-1000=1000(100-1)=99000。2.除法的运算律和性质商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变。即ab=(an)(bn)(n0)=(am)(bm)(m0)例3计算：(1)42525；(2)364070。解：(1)42525=(4254)(254)=1700100=17；(2)364070=(364010)(7010)=3647=52。(2)两数之和(或差)除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和(或差)。即(ab)c=acbc。例如，(8+4)2=82+42，(9-6)3=93-63。此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。例如(1000-688-136)8=10008-6888-1368=125-86-17=22。(3)在连除中，可以交换除数的位置，商不变。即abc=acb。在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。例如，168743=168347=例4计算下列各题：(1)(182+325)13；(2)(2046-1059-735)3；(3)77525；(4)2275135。解：(1)(182325)13=18213+32513=14+25=39；(2)(2046-1059-735)3=20463-10593-7353=682-353-245=84；(3)77525=(700+75)25=70025+7525=28+3=31；(4)2275135=2275513=45513=35。3.乘、除法混合运算的性质(1)在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如，abc=acb=bca。(2)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：括号前是“”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即a(bc)=abc，a(bc)=abc。括号前是“”时，去括号后，括号内的“”变为“”，“”变为“”。即a(bc)=abc，a(bc)=abc。添加括号情形：加括号时，括号前是“”时，原符号不变；括号前是“”时，原符号“”变为“”，“”变为“”。即abc=a(bc)，abc=a(bc)，abc=a(bc)，abc=a(bc)。(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即(ab)(cd)=(ac )(bd)=(ad)(bc)。上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。例5计算下列各题：(1)13658=13685=175=85；(2)4032(89)=403289=5049=56；(3)125(1610)=1251610=2564(4)2560(104)=25601041024；(5)246052=2460(52)=246010=246；(6)527155=527(155)=5273=1581；(7)(5424)(94)=(549)(244)= 66=36。 练习用简便方法计算下列各题。1.(1)12425；(2)125138；(3)12556；(4)2532125。2.(1)125(80+4)；(2)(100-8)25；(3)180125；(4)12588。3.(1)137525；(2)12880230。4.(1)(128+1088)8；(2)(1040-324-528)4；(3)1125125；(4)4505175。5.(1)384128；(2)2352(78)；(3)1200(412)；(4)1250(108)；(5)2250753；(6)636357；(7)(12656)(718)。附送：2019-2020年三年级数学 奥数讲座 乘法中的巧算上一讲我们介绍了乘、除法的一些运算律和性质，它是乘、除法中巧算的理论根据，也给出了一些巧算的方法。本讲在此基础上再介绍一些乘法中的巧算方法。1.乘11，101，1001的速算法。一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得a11=a(101)=10aa，a101=a(1011)=100aa，a1001=a(10001)=1000aa。例如，38101=3810038=3838。2.乘9，99，999的速算法。一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得a9=a(10-1)=10a-a，a99=a(100-1)=100a- a，a999=a(1000-1)=1000a-a。例如，1899=18100-18=1782。上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。例1 计算：(1) 3561001356(10001)3561000356356000356356356；(2) 3810238(1002)38100382 3800763876；(3)52699526(100-1) 526100-526 52600-52652074；(4)12349998 1234(10000-2)123410000-1234212340000-246812337532。3.乘5，25，125的速算法。一个数乘以 5，25，125时，因为 5210，254100，12581000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到例如，7625760041900。上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。例2 计算：(1) 1865=186(52)2=18602=930；(2) 96125=96(1258)8=960008=1xx。有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。例3 计算：(1) 8475=(214)(253)=(213)(425)=63100=6300；(2)56625=(78)(1255)=(75)(8125)=351000=35000；(3) 33125=32125+1125=4000+125=4125；(4) 3975=(32+1)125 =(40-1)75=4075-175=3000-75=2925。4.个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法。个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位是25，25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。例如：仿此同学们自己算算下面的乘积3535_ 5555_6565_ 8585_9595_这种方法也适用于个位数是5的两个相同的多位数相乘的计算，例如， 练习用速算法计算下列各题：1.(1) 68101； (2) 74201；(3) 2561002； (4) 154601。2.(1)459；(2)45799； (3)762999； (4) 3498。