概率论与数理统计第三版课后习题答案.1

1习题一11写出下列随机试验的样本空间1某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数解连续5次都命中，至少要投5次以上，故；,76512掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和解；124,323观察某医院一天内前来就诊的人数解医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；,21034从编号为1，2，3，4，5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产品解属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故,4JIJ5检查两件产品是否合格解用0表示合格,1表示不合格，则；1,0,56观察某地一天内的最高气温和最低气温假设最低气温不低于T1,最高气温不高于T2解用表示最低气温,表示最高气温考虑到这是一个二维的样本空间，故XY；216,TX7在单位圆内任取两点,观察这两点的距离解；07X8在长为的线段上任取一点,该点将线段分成两段,观察两线段的长度L解；LYXXY08121A与B都发生,但C不发生；AB2A发生,且B与C至少有一个发生；C3A,B,C中至少有一个发生；24A,B,C中恰有一个发生；CBABA5A,B,C中至少有两个发生；6A,B,C中至多有一个发生；7ABC中至多有两个发生ABC8A,B,C中恰有两个发生；注意此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。13设样本空间,事件,20XA150X6180XB具体写出下列各事件1234ABB（1）；180X2；53BA280XX4615016按从小到大次序排列,并说明理由,BPABAP解由于故，而由加法公式，有,ABP17解1昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为1750WEPEWP32由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛对应事WEW件概率为10PEP3昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为82501EWP18解1由于，故显然当时PABBA,BAPA取到最大值。最大值是062由于。显然当时PAB取到最小P1值，最小值是0419解因为PAB0，故PABC0至少有一个发生的概率为CBA,70ABCPBCPPCBAP110解（1）通过作图，可以知道，30BPABP（2）61ABP70113AB由于111解用表示事件“杯中球的最大个数为个”1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有IAI种，每种放法等可能。464对事件必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432种，故1A831AP选排列好比3个球在4个位置做排列。对事件必须三球都放入一杯中。放法有4种。只需从4个杯中选1个杯子，放入此3A3个球，选法有4种，故。163AP691832112解此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为。8同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5的概率各是。91,21113解从10个数中任取三个数，共有种取法，亦即基本事件总数为120。1203C1若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有种，故所求概率为。624C202若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有种，故所求概率为。10251114解分别用表示事件321,A1取到两只黄球2取到两只白球3取到一只白球,一只黄球则。,16,346821421CPCP316213APAP1155解BPABPAP由于，故0B501161（2）BAPBAP解（1）805411BAPAP（2）6注意因为，所以。50BAP501BAP117解用表示事件“第次取到的是正品”（），则表示事件“第次取到的II3,21III是次品”（）。3,21112153421,20498PAPAPA1事件“在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品”的概率为。31258PA2事件“第三次才取到次品”的概率为123121312543509182PA（3）事件“第三次取到次品”的概率为此题要注意区分事件（1）、2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用表示事件“第次取到的是正品”（IAI），2,I6则事件“在第一次取到正品的条件下,第二次取到次品”的概率为；而事件12AP“第二次才取到次品”的概率为。区别是显然的。12121AP118。解用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。用表示事件“从2,10IAIB第二箱中取到的是次品”。则21212044146,999CCCPPPA，02BA1BA23根据全概率公式，有2832100ABPPP119解设表示事件“所用小麦种子为等种子”，3,21IAI表示事件“种子所结的穗有50颗以上麦粒”。B则，12309,05,0,PPA105BA2015PBA，根据全概率公式，有3A470533221B120解用表示色盲，表示男性，则表示女性，由已知条件，显然有BA因此,025,05,490,51ABPPA7根据贝叶斯公式，所求概率为1502ABPAPBAPBAP121解用表示对试验呈阳性反应，表示癌症患者，则表示非癌症患者，显然有BAA,01,950,950,50BPAP因此根据贝叶斯公式，所求概率为2945ABPAPBAPBAP1221求该批产品的合格率2从该10箱中任取一箱,再从这箱中任取一件,若此件产品为合格品,问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少解设，,321产品为丙厂生产产品为乙厂生产产品为甲厂生产BBB，则产品为合格品A（1）根据全概率公式，该批940321BAPBAPBPA产品的合格率为094（2）根据贝叶斯公式，94132111同理可以求得，因此，从该10箱中任取一箱,再从这箱中任472,9273ABP取一件,若此件产品为合格品,此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为。472918123解记目标被击中，则A9407180911AP124解记四次独立试验，事件A至少发生一次，四次独立试验，事件A一次也不44发生。而，因此。所以5904AP409614PAP281,80三次独立试验中,事件A发生一次的概率为。384062313APC二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充（10）加法公式PABPAPBPAB当PAB0时，PABPAPB（11）减法公式PABPAPAB当BA时，PABPAPB当A时，P1PB（12）条件概率定义设A、B是两个事件，且PA0，则称为事件A发生条件下，PB事件B发生的条件概率，记为。/A（16）贝叶斯公式，I1，2，N。NJJJIIIBAPAP1/此公式即为贝叶斯公式。9第二章随机变量21X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/3622解根据，得，即。10KX10KAE1EA故EA23解用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，XB2,07用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,YB2,041两人投中的次数相同PXYPX0,Y0PX1,Y1PX2,Y2001122220022734607340673463124CCC2甲比乙投中的次数多PXYPX1,Y0PX2,Y0PX2,Y110202102222734673467346052824解（1）P1X3PX1PX2PX31552P050（3）设FYY，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则FY当时，Y020YPXYP当时，221XYYFYXED对求关于Y的导数，得Y222LN1110YYYEEEFY0223XU,10XFXX其它（1）2LNY当时22LNLN0YFPXYPY162LNY当时22201LLNYEYYFPXYPYXEPDX对求关于Y的导数，得到Y2210YYYEFLNLY（2），当Y1或时COS0YFYPXYP,当时ARCOS1ARYYDX对求关于Y的导数，得到YF211ARCOS0YFYY1Y其它（3）当1或时SIN0YFPXYP，0Y当时ARCSIN0ARCSIN0ARCSINARCSIN11YYYFPXPYPYXDXDX对求关于Y的导数，得到Y21ARCSINARCSIN10YYFYY01其它17第三章随机向量31P1X2,3Y5F2,5F1,3F1,5F2,3312832YX12202345C331245C034（1）A9（2）5（3）1112000,6699|YYPXYDDXDYXD123208655937|YY35解（1）222200000,|1YXYXUVVUVYUXYXFEDEDEE（2）18222000002232300|11|XXXYVXYXXXXXPYXEDEDYEDE36解22222011AXYARPXYDDXY222220011|AADDRRA37参见课本后面P227的答案38311120003,2|XYXFXFYDX222000,|YFF,20XXF其它23YYF1其它39解X的边缘概率密度函数为XFX当时，10X或,0FYF122220014824848148244|YYYXXXFXDXYFYDYX或当时，1220084|XXXFDYX19Y的边缘概率密度函数为YFY当时，10Y或,0FXYFY当时，112214824848|YYYFXDXY2243Y310（1）参见课本后面P227的答案（2）260XXDYF1其它60X（）1X其它60YYDXF1其它60Y（）1其它311参见课本后面P228的答案312参见课本后面P228的答案313（1）203XXYDFX01其它23X01X其它1203YXYDFY02其它136Y02其它对于时，2Y0YFY所以2|3,160XYYXYFXYF1其它260XY1X其它20对于时，01X0XFX所以2|3,0YXXXYFXYFY2其它360XY2其它111222|0003317|25406YXYYPYFYDDD314XY025X的边缘分布10150250350753005018002025Y的边缘分布020430371由表格可知PX1Y2025PX1PY203225故PPYYXXYXIIII所以X与Y不独立315XY123X的边缘分布16911831231ABABY的边缘分布2A91B181由独立的条件则PPYYXXYYXIIII212PX2PYY331PI可以列出方程ABA93183BA0,解得91,2BA316解（1）在38中20XXF其它230YYF1其它当，时，02X01YXYFXY2,XFY当或时，当或时，0XYF0,FX所以，X与Y之间相互独立。（2）在39中，240XXF01X其它2430YYFY其它当，时，1XY22XYFXY222243457634XYXY，所以X与Y之间不相互独立。,F317解XEYXEFXDDYXF021,2021,FYXFYX,12YXFYXEFX故X与Y相互独立318参见课本后面P228的答案第四章数字特征41解1IEXXP09IYY甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又两台机床的总的产量相同乙机床生产的零件的质量较好。42解X的所有可能取值为3，4，53510PC2354X23243506PXC135064IEXP43参见课本230页参考答案44解1,2,3NPXP1211NINPEX46参考课本230页参考答案47解设途中遇到红灯次数为X，则3,04B40312EXNP48解XDFXD3013015215025001000150049参见课本后面230页参考答案410参见课本后面231页参考答案411解设均值为,方差为,则XN,根据题意有2296196XP2472961XPT32,解得T2即12970T所以成绩在60到84的概率为12784X1260P84XP6012084364122222101EX222254054354053401413解00002|XXXXXEYXEDEEDE22330001|XXXXDEE414解34RV设球的直径为X,则10FXBAXB其它2533342411266|BBAAXEVEXDXBA415参看课本后面231页答案416解XYFDYXFXX41302,YDFYY322,5410XXXE31043DYYDYF103103102122,XXYXYDYFXE305224DF521022YYFEY6222YXE417解X与Y相互独立，1153500522|YYEXXDEXDE5552433|YYE418，419，420参看课本后面231，232页答案26421设X表示10颗骰子出现的点数之和，表示第颗骰子出现的点数，IX1,20I则，且是10II1210,独立同分布的，又1266IEX所以101035IIII422参看课本后面232页答案4232222041301EX222D22220315031EY22294EY424424222443020111163|XXDXDXX223DE425140XXYDFX1X其它201X其它112222VAREXXDX11323|XX140YYDFY其它201Y其它27112222VARYEYYDY11323|YY426因为XN0,4,YU0,4所以有VARX4VARY34故VARXYVARXVARY43416VAR2X3Y4VARX9VARY289427参看课本后面232页答案4281212NNXXXEZEEN12NN12NXXXDZDDN221222NEEN后面4题不作详解第五章极限理53解用表示每包大米的重量，则,IX10IEX201IDX102,10,IINN1010120,10IIIIIIXXZNN2810109109IIIIXPXP101021098654解因为服从区间0,10上的均匀分布，IV0152IE210ID200201110,25,1IIIIVNVN2020201110,53IIIIIIEZNDV2020115101051553IIVPPPVP10503874355解方法1用表示每个部件的情况，则，IX1,0IX正常工作损坏1,09IXB,09IEP19IDP10,0,01IINNN2910101090,13IIIIIIXNPXZN101010985085853IIIIIIPXPXP923方法2用X表示100个部件中正常工作的部件数，则10,9B0ENP1091DXNP,19,XNN0,3XZN0,131NPXZ90858585310923XPP56略第六章样本与统计61631证明由B可得，对等式两边求和再除以N有30NBANNIINIIXY11由于NIIY1NIIX1所以由可得YNBANII1XA632因为YNIINII2112BXAININI21222221XABXABNININIIINI122212NIIAI1222NIX122SAX2YN21所以有X223162证明NENXI1IVARARI21I263（1）21N2I122XXSIIINI21I1I2NNIIN21I2XI21II（2）由于22EXIVARII所以有222IIVARIENXR222222121NNIENI两边同时除以（N1）可得即21NIENI2SE64同例633可知320951N321N032|XP|得查表可知196又根据题意可知N43975N03Z65解（1）记这25个电阻的电阻值分别为,它们来自均值为200欧姆，标准差为10欧姆的正态分布的样本则根据题意有2510NX251092X19PP5013282根据题意有510X2P510P21II2NP972066解（1）记一个月（30天）中每天的停机时间分别为，它们是来自均值为4小时，标准差为08小时的总体的样本。根据题意有30845NX308415X1P46425086133（注当时，的值趋近于1，相反当时，其值趋近于0）U6U6U（2）根据题意有15X03P15P30II14NP1427067证明因为T，则，随机变量的密度函数为Y/T显然，则为偶函数，则TNTFTN,211TFFTF0000000TDFTFTDFTFTDFTFTDFTE68解记，则XN,N25故5122251047N5104P7XP400X2052085769解记这100人的年均收入为，它们是来自均值为万元，标准差51为万元的总体的样本，N100则根据题意有（1）16XP6P341056NXP12197208（2）（1053NXP134NXP41103）1056N1052P16P260972610解根据题意可知此样本是来自均值为，标准差为的总体，样本容量122为N5（1）依题意有13408612NXP1523NXP13XP（2）要求样本的最小值小于10概率，即5个数中至少有一个小于10的概率，首先计算每个样本小于10的概率015874311210P10P设X是5个样本中小于10的样本个数则X服从二项分布B5,01587故有355780110PX1C505BP即样本的最小值小于10的概率是05785（3）同（2）要求样本的最大值大于15的概率，即5个数中至少有一个大于15的概率，首先计算每个样本大于15的概率068932121XP15P15XP设X是5个样本中大于15的样本个数则X服从二项分布B5,00668故有29301101C5505BP即样本的最大值大于15的概率是02923第七章参数估计71解因为是抽自二项分布B（M,P）的样本，故都独立同分布所以有用样本均值代替总体均值，则P的矩估计为MPXEXMXP72解用样本均值代替总体均值，则的矩估计为10XDXEXXE1由概率密度函数可知联合密度分布函数为对它们两边求对数可得EEXXLN21NIX136对求导并令其为0得NINXEXLI1LLLN1即可得的似然估计值为0L1NIXNI173解记随机变量X服从总体为0,上的均匀分布，则故的矩估计为20XEX2X的密度函数为故它的是似然函数为1XP要使达到最大，首先一点是示性函数的取值IIXLNINI10L应该为1，其次是尽可能大。由于是的单调减函数，所以的取值应该尽可能NN1小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计（示性函数I，MINMAX）74解记随机变量X服从总体为,上的均匀分布，则所以的矩估计为23XEX32X的密度函数为故它的是似然函数为1XPIIINNINNIXL2212X1X1137要使达到最大