拉普拉斯变换解微分方程

43拉普拉斯變換解微分方程LAPLACE變換之解題過程一、常係數微分方程解初始值問題02/Y,10/Y1在式等號兩邊做拉普拉斯變換L2/YL0利用線性性質，得L/L/2L則2SLTYSYS0/L20FTL0TY代入初始條件，得LT之代數方程2SLSL2L1STYA2解代數方程A，得LTY21S困難簡單L1L的線性ODETYL之代數方程或低階ODESTYODE的解TYLSTY3在上式兩邊做反拉普拉斯變換，得TYL1LTYL121S利用13212SSS及LATE，得初始值問題的解為TYL12SL11S31TET解初始值問題TY2SIN/,10/1在式等號兩邊做拉普拉斯變換LY/LT2SIN利用拉普拉斯變換的微分性質以及L2IAST，得2SLY0/YSL42代入初始條件，得LT之代數方程12SLY12SB2解代數方程B，得LY41325141682223SSSS3在上式兩邊做反拉普拉斯變換，得初始值問題的解為TTTTYIN3I5CO2由L2INAST，L2COAST解解初始值問題04Y,0,1/Y1在式等號兩邊做拉普拉斯變換L4YLL0利用拉普拉斯變換的微分性質，得4SL0/23YSYL0代入初始條件，得LT之代數方程14SL2SC2解代數方程C，得L12124SSY3在上式兩邊做反拉普拉斯變換，得初始值問題的解為SINHI2YTTT由L2SINAT以及LSINH2AT註LAPLACETRANSFORM方法的好處在於能直接解出答案而不必去猜特別解及求微分方程的一般解定理設TF在上片段連續,|TF|ATKE,M,A,M為常數,則LNNSFTN,D其中0DTFESFST用數學歸納法1若N1時,0/DTFEDSFT0DTFTESLTF，則D式成立。2假設NK時，D式成立即SLKLTFK成立要證NK1時，D式成立。1SFKSK/0DTFEDST0DTFTETKSL1TFK，則D式成立。得證。二、非常係數線性微分方程BESSEL定義微分方程02/2YPTYT，稱為P階之BESSEL方程BESSELSEQUATIONOFORDERP，P0求0階之BESSEL方程02/2YTYT，T0B之一般解。將B式除以T，0/TY1在上式等號兩邊做拉普拉斯變換，得L/TL/LT0利用上一個定理，得DSL/YL/SF利用拉普拉斯變換的微分性質，得000/2SFYSYSFDS代入初始條件，得可分離方程1/2S2解上式，得21SCF由二項式定理，上式可改寫21SSKKCC201202KKSC，212642153121KKKKCK3在上式兩邊做反拉普拉斯變換，由L1NST，及取C1，得0階之BESSEL方程之一解1TYL1SFKKT2010TJ其中0TJ稱為第一類的0階之BESSEL函數BESSELFUNCTIONOFTHEFIRSTKINDOFORDER0。另一線性獨立解為12202LNNNTHTJTY，其中HN第五章級數解中會介紹解2TY如何求得故0階的BESSEL方程之一般解為21TYCTT另外，定義120102LNLNNTHTJRYTTY稱為第二類的0階之BESSEL函數BESSELFUNCTIONOFTH