2020年中考数学复习提分专练(05)　以矩形、菱形、正方形为背景的

提分专练(五)以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算与证明|类型1|以矩形为背景的问题1.2018连云港 如图T5-1,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.图T5-12.2018通辽 如图T5-2,ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=CD,连接CF.(1)求证:AEFDEB;(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.图T5-23.2019鄂州 如图T5-3,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点O是对角线BD的中点,过点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.(1)求证:四边形DEBF是平行四边形;(2)当DE=DF时,求EF的长.图T5-3|类型2|以菱形为背景的问题4.2017北京 如图T5-4,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.图T5-45.2019宁波 如图T5-5,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.(1)求证:BG=DE;(2)若E为AD中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.图T5-5|类型3|以正方形为背景的问题6.2018盐城 在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图T5-6所示.(1)求证:ABEADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.图T5-67.2018遵义 如图T5-7,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AEBE),且EOF=90,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.图T5-78.2019临沂 如图T5-8,在正方形ABCD中,E是DC边上一点(与D,C不重合),连接AE,将ADE沿AE所在的直线折叠得到AFE,延长EF交BC于点G,连接AG,作GHAG,与AE的延长线交于点H,连接CH.显然AE是DAF的平分线,EA是DEF的平分线.仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180的角的平分线),并说明理由.图T5-8【参考答案】1.解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,ABCD,FAE=CDE,E是AD的中点,AE=DE,又FEA=CED,FAECDE,CD=FA,又CDAF,四边形ACDF是平行四边形.(2)BC=2CD.理由:CF平分BCD,DCE=45,CDE=90,CDE是等腰直角三角形,CD=DE,E是AD的中点,AD=2CD,AD=BC,BC=2CD.2.解:(1)证明:E是AD的中点,AE=DE,又AFBC,AFE=DBE,EAF=EDB,AEFDEB.(2)四边形ADCF是矩形.证明:AFCD,AF=CD,四边形ADCF是平行四边形.AEFDEB,AF=BD,BD=CD,即AD是ABC的中线,又AB=AC,ADBC,ADC=90.四边形ADCF是矩形.3.解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,ABCD,DFO=BEO.又DOF=BOE,OD=OB,DOFBOE(AAS),DF=BE,又DFBE,四边形DEBF是平行四边形.(2)DE=DF,四边形BEDF是平行四边形,四边形BEDF是菱形,DE=BE,EFBD,OE=OF,设AE=x,则DE=BE=8-x,在RtADE中,根据勾股定理,得AE2+AD2=DE2,x2+62=(8-x)2,解得:x=74,DE=8-74=254.在RtABD中,根据勾股定理,得AB2+AD2=BD2,BD=62+82=10,OD=12BD=5,在RtDOE中,根据勾股定理,得DE2-OD2=OE2,OE=(254)2-52=154,EF=2OE=152.4.解:(1)证明:E为AD的中点,AD=2BC,BC=ED,ADBC,四边形BCDE是平行四边形,ABD=90,AE=DE,BE=ED,四边形BCDE是菱形.(2)ADBC,AC平分BAD,BAC=DAC=BCA,BA=BC=1,AD=2BC=2,sinADB=12,ADB=30,DAC=12BAD=30,ADC=2ADB=60.ACD=90.在RtACD中,AD=2,CD=1,AC=3.5.解:(1)证明:在矩形EFGH中,EH=FG,EHFG,GFH=EHF.BFG=180-GFH,DHE=180-EHF,BFG=DHE,在菱形ABCD中,ADBC,GBF=EDH,BGFDEH(AAS),BG=DE.(2)连接EG,在菱形ABCD中,ADBC,AD=BC,E为AD中点,AE=ED,BG=DE,AE=BG,又AEBG,四边形ABGE是平行四边形,AB=EG,在矩形EFGH中,EG=FH=2,AB=2,菱形ABCD的周长为8.6.解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,ABD=45,ADB=45,AB=AD.ABE=ADF=135.又BE=DF,ABEADF(SAS).(2)四边形AECF是菱形.理由:连接AC交BD于点O,图略.则ACBD,OA=OC,OB=OD.又BE=DF,OE=OF,四边形AECF是菱形.7.解:(1)证明:正方形ABCD中,AC=BD,OA=12AC,OB=OD=12BD,OA=OB=OD,ACBD,AOB=AOD=90,OAD=OBA=45,OAM=OBN,又EOF=90,AOM=BON,AOMBON,OM=ON.(2)如图,过点O作OPAB于P,OPA=90,OPA=MAE,E为OM中点,OE=ME,又AEM=PEO,AEMPEO,AE=EP,OA=OB,OPAB,AP=BP=12AB=2,EP=1.RtOPB中,OBP=45,OP=PB=2,RtOEP中,OE=OP2+PE2=5,OM=2OE=25,RtOMN中,OM=ON,MN=2OM=210.8.解析过点H作HNBM于N,利用正方形的性质及轴对称的性质,证明ABGAFG,可推出AG是BAF的平分线,GA是BGF的平分线;证明ABGGNH,推出HN=CN,得到DCH=NCH,推出CH是DCM的平分线;再证HGN=EGH,可知GH是EGM的平分线.解:过点H作HNBM于N,则HNC=90,四边形ABCD为正方形,AD=AB=BC,D=DAB=B=DCB=DCM=90.将ADE沿AE所在的直线折叠得到AFE,ADEAFE,D=AFE=AFG=90,AD=AF,DAE=FAE,AF=AB.又AG=AG,RtABGRtAFG(HL),BAG=FAG,AGB=AGF,AG是BAF的平分线,GA是BGF的平分线.由知,DAE=FAE,BAG=FAG,又BAD=90,GAF+EAF=1290=45,即GAH=45.GHAG,GHA=90-GAH=45,AGH为等腰直角三角形,AG=GH.AGB+BAG=90,AGB+HGN=90,BAG=NGH.又B=HNG=90,AG=GH,ABGGNH(AAS),BG=NH,AB=GN,BC=GN.BC-CG=GN-CG,BG=CN,CN=